Двойственность Артина-Вердье

В математике двойственность Артина -Вердье — это теорема двойственности для конструктивных абелевых пучков над спектром кольца алгебраических чисел , введенная Майклом Артином и Жаном-Луи Вердье ( 1964 ), которая обобщает двойственность Тейта .

Он показывает, что с точки зрения ( или плоских ) когомологий этальных кольцо целых чисел в числовом поле ведет себя как трехмерный математический объект .

Заявление

Пусть X — спектр кольца целых чисел в вполне мнимом числовом поле K , а F конструктивный — этальный пучок на X. абелев Тогда пара Йонеды

H^{r}(X,F)\times \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})\to H^{3}(X,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z}

является невырожденной парой конечных абелевых групп для любого целого числа r .

Вот, Х ^р( X,F ) — r -я когомологий этальная группа схемы X со значениями в F, а Ext ^р( G ) — группа r - расширений этального пучка G посредством этального пучка F в категории этальных абелевых пучков на X. Кроме того, G _m обозначает этальный пучок единиц в структурном пучке X. F ,

Кристофер Денингер ( 1986 ) доказал двойственность Артина-Вердье для конструируемых, но не обязательно торсионных пучков. Для такого пучка F указанное выше спаривание индуцирует изоморфизмы

{\begin{aligned}H^{r}(X,F)^{*}&\cong \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})&&r=0,1\\H^{r}(X,F)&\cong \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})^{*}&&r=2,3\end{aligned}}

где

(-)^{*}=\operatorname {Hom} (-,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).

Конечные плоские групповые схемы

Пусть U — открытая подсхема спектра кольца целых чисел в числовом поле K , а F — плоская коммутативная групповая схема над U. конечная Тогда произведение чашки определяет невырожденное спаривание

H^{r}(U,F^{D})\times H_{c}^{3-r}(U,F)\to H_{c}^{3}(U,{\mathbb {G} }_{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z}

конечных абелевых групп для всех целых r .

Здесь Ф ^Д обозначает двойственную по Картье схему F , которая является еще одной конечной плоской коммутативной групповой схемой U. над Более того, $H^{r}(U,F)$ — r - я плоская группа когомологий схемы U со значениями в плоском абелевом пучке F , и $H_{c}^{r}(U,F)$ — r - плоская когомология с компактными носителями U F. со значениями в плоском абелевом пучке я

Определены плоские когомологии с компактными носителями, которые порождают длинную точную последовательность

\cdots \to H_{c}^{r}(U,F)\to H^{r}(U,F)\to \bigoplus \nolimits _{v\notin U}H^{r}(K_{v},F)\to H_{c}^{r+1}(U,F)\to \cdots

Сумма берется по всем местам K , которых нет в U , включая архимедовы. Локальный вклад H ^р( Kv _{позиции} , F ) — когомологии Галуа Kv : группы _K в стиле v , модифицированные в Тейта гензелизации