Кристофер Денингер

Кристофер Денингер
Денингер в Обервольфахе , 2005 г.
Рожденный	( 1958-04-08 ) 8 апреля 1958 г.
Альма-матер	Кёльнский университет
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университет Мюнстера
Докторантура	Курт Мейер
Докторанты	Аннетт Хубер-Клавиттер Аннет Вернер

Кристофер Денингер (родился 8 апреля 1958 г.) — немецкий математик из Мюнстерского университета . Исследования Денингера сосредоточены на арифметической геометрии , включая приложения к L -функциям .

Карьера

Денингер получил докторскую степень в Кёльнском университете в 1982 году под руководством Курта Мейера . В 1992 году он разделил премию Готфрида Вильгельма Лейбница с Михаэлем Рапопортом , Петером Шнайдером и Томасом Цинком . В 1998 году он был пленарным докладчиком на Международном конгрессе математиков в 1998 году в Берлине. В 2012 году он стал членом Американского математического общества .

Математическая работа

Двойственность Артина-Вердье

В серии статей между 1984 и 1987 годами Денингер изучал расширения дуальности Артина-Вердье . В широком смысле, двойственность Артина-Вердье, следствие теории полей классов , является арифметическим аналогом двойственности Пуанкаре , двойственности для пучковых когомологий на компактном многообразии. В этой параллели ( спектр ) кольца целых чисел в числовом поле соответствует 3-многообразию . Следуя работе Мазура , Денингер (1984) распространил двойственность Артина-Вердье на функциональные поля . Затем Денингер расширил эти результаты в различных направлениях, таких как пучки без кручения ( 1986 ), арифметические поверхности ( 1987 ), а также локальные поля более высокой размерности ( совместно с Вингбергом, 1986 ). Появление Блоха, мотивных комплексов рассмотренных в последних статьях, повлияло на работы нескольких авторов, включая Гейссера (2010) , которые определили комплексы Блоха как дуализирующие комплексы над схемами более высокой размерности.

Специальные значения L -функций

Другая группа работ Денингера посвящена L -функциям и их специальным значениям. Классическим примером L -функции является дзета-функция Римана ζ( s ), для которой используются такие формулы, как

ζ(2) = р ² / 6

известны со времен Эйлера. В знаковой статье Бейлинсон (1984) предложил ряд далеко идущих гипотез, описывающих специальные значения L -функций, т.е. значения L -функций в целых числах. В очень грубых терминах гипотезы Бейлинсона гладкого проективного алгебраического многообразия X над Q утверждают , мотивные когомологии X должны быть тесно связаны с когомологиями Делиня X что для . Кроме того, связь между этими двумя теориями когомологий должна объяснить, согласно гипотезе Бейлинсона, порядки полюсов и значения

Л ( ч ^н ( Х ), с )

Любые два из трех колец Борромео можно разобрать, но три кольца связаны. Произведение Мэсси трех классов когомологий, заданное вращением вокруг каждого круга, можно использовать для алгебраического отражения этого явления.

в целых числах s . Блох и Бейлинсон доказали существенные части этой гипотезы для h ¹ ( X ) в случае, когда X — эллиптическая кривая с комплексным умножением и s =2. В 1988 году Денингер и Вингберг представили объяснение этого результата. В 1989 и 1990 годах Денингер распространил этот результат на некоторые эллиптические кривые, рассмотренные Шимурой, при всех s ≥2. Денингер и Нарт ( 1995 ) описали спаривание высот , ключевой ингредиент гипотезы Бейлинсона, как естественное спаривание Ext-групп в определенной категории мотивов. В 1995 году Денингер изучил произведения Масси в когомологиях Делиня и на основе этого выдвинул гипотезу о формуле специального значения для L -функции эллиптической кривой при s =3, что впоследствии было подтверждено Гончаровым (1996) . По состоянию на 2018 год гипотеза Бейлинсона все еще широко открыта, и вклад Денингера остается одним из немногих случаев, когда гипотеза Бейлинсона была успешно опровергнута (обзоры по этой теме включают Deninger & Scholl (1991) , Nekovář (1994) ).

L -функции через регуляризованные определители

ζ-функция Римана определяется с помощью произведения факторов Эйлера

$\zeta _{p}(s):={\frac {1}{1-p^{-s}}}$

для каждого простого числа p . Чтобы получить функциональное уравнение для ζ( s ), нужно умножить их на дополнительный член, включающий Гамма-функцию :

$\zeta _{\infty }(s):=2^{-1/2}\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2).$

Более общие L -функции также определяются произведениями Эйлера, включающими в каждом конечном месте определитель эндоморфизма Фробениуса , действующего на l-адических когомологиях некоторого многообразия X / Q , а фактор Эйлера для бесконечного места равен, согласно Серра , произведения гамма-функций в зависимости от структур Ходжа, присоединенных к X / Q . Денингер (1991) выразил эти Γ-факторы в терминах регуляризованных определителей и в 1992 году , а в более общем виде в 1994 году перешел к унификации факторов Эйлера L -функций как в конечных, так и в бесконечных местах, используя регуляризованные определители. Например, для факторов Эйлера дзета-функции Римана это единообразное описание выглядит следующим образом:

$\zeta _{p}(s)=\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|R_{p})\right)^{-1}.$

Здесь p — либо простое число, либо бесконечность, что соответствует неархимедовым факторам Эйлера и архимедову фактору Эйлера соответственно, а R _p — пространство конечных вещественных рядов Фурье на R /log( p ) Z для простого числа p. , и R _∞ = R [exp(−2 y )]. Наконец, Θ является производной R -действия, заданного сдвигом таких функций. Денингер (1994) также продемонстрировал аналогичный объединяющий подход для ε-факторов (которые выражают соотношение между завершенными L -функциями в момент s и в момент 1− s ).

Арифметический сайт

касающуюся существования «арифметического узла» Y, с компактификацией Spec Эти результаты побудили Денингера предложить программу , Z. связанного Помимо других свойств, этот сайт будет снабжен действием R , и каждое простое число p будет соответствовать замкнутой орбите R -действия длины log( p ). Более того, аналогии между формулами аналитической теории чисел и динамикой в ​​слоенных пространствах привели Денингера к гипотезе о существовании слоения на этом узле. Более того, предполагается, что этот сайт наделен бесконечномерной теорией когомологий такой, что L -функция мотива M задается выражением

$L(M,s)=\prod _{i=0}^{2}\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|H_{c}^{i}(Y,F(M))\right).$

Здесь М — мотив , такой как мотивы ч. ^н ( X ) встречается в гипотезе Бейлинсона, а F ( M ) рассматривается как пучок на Y, к мотиву M. прикрепленный Оператор Θ является бесконечно малым генератором потока , заданного R -действием. Согласно этой программе, гипотеза Римана была бы следствием свойств, параллельных положительности пары пересечений в теории Ходжа . Версия формулы следа Лефшеца на этом участке, которая могла бы быть частью этой предположительной схемы, была доказана другими способами Денингером (1993) . В 2010 году Денингер доказал, что классические гипотезы Бейлинсона и Блоха относительно теории пересечений алгебраических циклов будут дальнейшими следствиями его программы.

Эта программа была рассмотрена Денингером в его выступлениях на Европейском конгрессе математиков в 1992 году , на Международном конгрессе математиков в 1998 году , а также Лейхтнамом (2005) . В 2002 году Денингер построил слоеное пространство, которое соответствует эллиптической кривой над конечным полем , а Хессельхольт (2016) показал, что дзета-функция Хассе-Вейля гладкого собственного многообразия над F _p может быть выражена с помощью регуляризованных определителей, включающих топологический Хохшильд. гомология . Кроме того, аналогия между узлами и простыми числами плодотворно изучалась в арифметической топологии . Однако по состоянию на 2018 год построение расслоенного пространства, соответствующего Spec Z, остается невозможным.

Векторные расслоения на p -адических кривых

В серии совместных статей с Аннет Вернер исследуются векторные расслоения на p -адических кривых. Классическим результатом, мотивирующим это исследование, является теорема Нарасимхана-Сешадри , краеугольный камень соответствия Симпсона . Он утверждает, что векторное расслоение на компактной римановой поверхности X стабильно , если оно возникает из унитарного представления фундаментальной группы π ₁ ( X ).

В Deninger & Werner (2005) был установлен его p -адический аналог: для гладкой проективной алгебраической кривой над C _p , полученной заменой базы из $X/{\overline {\mathbf {Q} }}_{p}$, они построили действие этальной фундаментальной группы π ₁ (X) на слоях некоторых векторных расслоений, в том числе степени 0 и имеющих потенциально сильно полустабильную редукцию. В другой статье 2005 года связали полученные представления фундаментальной группы кривой X представлениями модуля Тейта якобиева многообразия X. они с В 2007 и 2010 годах они продолжили эту работу, показав, что такие векторные расслоения образуют категорию Таннака , что означает идентификацию этого класса векторных расслоений как категории представлений определенной группы.

Слоения и группа Гейзенберга

В нескольких совместных работах Денингер и Вильгельм Зингхоф исследовали факторы n -мерной группы Гейзенберга H по стандартной решетке, состоящей из целочисленных матриц:

Х = Н /С,

с различных точек зрения. В 1984 году они вычислили e-инвариант X n через ζ(− стабильных ), что привело к построению элементов в гомотопических группах сфер сколь угодно большого порядка. В 1988 году они использовали методы аналитической теории чисел для оценки размерности когомологий нильпотентных алгебр Ли .

Классический факт теории Ходжа о том, что любой класс когомологий на кэлеровом многообразии допускает единственную гармонику, был обобщен Альваресом Лопесом и Кордюковым (2001) на римановы слоения . Денингер и Сингхоф (2001) показывают, что слоения на указанном выше пространстве X , которые удовлетворяют лишь немного более слабым условиям, не допускают таких теоретико-ходжевых свойств. В другой совместной статье 2001 года они установили динамическую формулу следов Лефшеца: она связывает след оператора на гармонических формах с локальными следами, появляющимися на замкнутых орбитах (в некоторых расслоенных пространствах с R -действием). Этот результат служит подтверждением упомянутой выше программы Денингера в том смысле, что он подтверждает предсказание, сделанное этой программой, с аналитической стороны, т. е. относительно динамики на слоенных пространствах.

Энтропия и меры Малера

Другая группа статей Денингера посвящена космосу.

$X_{f}:=(\mathbf {Z} \Gamma /\mathbf {Z} \Gamma f){\widehat {\ }}\ ,$

где Γ — дискретная группа, f — элемент ее группового кольца Z Γ, а шляпка обозначает двойственную по Понтрягину . Для Γ = Z ^н и $f\in \mathbb {Z} [x_{1}^{\pm 1},\dots ,x_{n}^{\pm n}]$Линд , Шмидт и Уорд (1990) показали, что энтропия Γ-действия на X _f определяется мерой Малера

$m(f):=(2\pi i)^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}/\Gamma }\log |f(z_{1},\dots ,z_{n})|{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\dots {\frac {dz_{n}}{z_{n}}}.$

Более того, было известно, что меры Малера некоторых полиномов выражаются через специальные значения некоторых L-функций. В 1997 году Денингер заметил, что подынтегральное выражение в определении меры Малера имеет естественное объяснение в терминах когомологий Делиня. случаи гипотезы Бейлинсона, он вывел, что m ( f ) — это образ символа { f , t1 _{Используя известные} ,..., tn _{} под регулятором Бейлинсона} , где многообразие — это дополнение в n -мерном тор нулевого множества f . Это привело к концептуальному объяснению упомянутых выше формул для мер Малера. Бессер и Денингер (1999) и Денингер позже, в 2009 году , перенесли эти идеи в p -адический мир, заменив карту регулятора Бейлинсона на когомологии Делиня на карту регулятора на синтомические когомологии , а логарифм, появляющийся в определении энтропии, на логарифм p -адический .

В 2006 и 2007 годах Денингер и Клаус Шмидт выдвинули параллель между энтропией и мерами Малера за пределы абелевых групп, а именно аппроксимируемых конечных, счетных дискретных аменабельных групп Γ. Они показали, что Γ-действие на X _f является расширяющим тогда и только тогда, когда f обратимо в L ¹ - алгебра свертки Γ. Более того, логарифм определителя Фугледа-Кадисона на алгебре фон Неймана NΓ, ассоциированной с Γ (которая заменяет меру Малера для Z ^н ) согласуется с энтропией вышеуказанного действия.

Векторы Витта

Иоахим Кунц и Денингер вместе работали над векторами Витта . В двух статьях примерно в 2014 году они упростили теорию, представив кольцо векторов Витта в терминах пополнения моноидной алгебры Z R . Этот подход позволяет избежать универсальных полиномов, используемых в классическом определении сложения векторов Витта.

Избранная библиография

Двойственность Артина-Вердье

• Денингер, Кристофер (1984), «О двойственности Артина-Вердье для функциональных полей», Mathematical Journal , 188 (1): 91–100, doi : 10.1007/BF01163876 , MR   0767366 , S2CID   123090400
• Денингер, Кристофер (1986), «Распространение двойственности Артена – Вердье на некрученные пучки», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 1986 (366): 18–31, doi : 10.1515/crll.1986.366.18 , MR   0833011 , S2CID   116275426
• Денингер, Кристофер; Вингберг, Кей (1986), «Двойственность Артина-Вердье для n -мерных локальных полей, включающих высшие алгебраические K -пучки», Journal of Pure and Applied Algebra , 43 (3): 243–255, doi : 10.1016/0022-4049( 86)90066-6 , МР   0868985
• Денингер, Кристофер (1987), «Дуальность в этальных когомологиях одномерных собственных схем и обобщений», Mathematische Annalen , 277 (3): 529–541, doi : 10.1007/BF01458330 , MR   0891590 , S2CID   120941469

L -функции и гипотеза Бейлинсона

• Денингер, Кристофер; Вингберг, Кей (1988), «О гипотезах Бейлинсона для эллиптических кривых с комплексным умножением», гипотезы Бейлинсона о специальных значениях L -функций , Перспектива. Матем., вып. 4, Бостон, Массачусетс: Academic Press, MR   0944996.
• Денингер, Кристофер (1989), «Высшие регуляторы и L -серия Гекке мнимых квадратичных полей. I», Inventiones Mathematicae , 96 (1): 1–69, Bibcode : 1989InMat..96....1D , doi : 10.1007 /BF01393970 , MR   0981737 , S2CID   122586535
• Денингер, Кристофер (1990), «Высшие регуляторы и L -серия Гекке мнимых квадратичных полей. II», Annals of Mathematics , Second Series, 132 (1): 131–158, doi : 10.2307/1971502 , JSTOR   1971502 , MR   1059937
• Денингер, Кристофер; Шолль, Энтони Дж. (1991), «Гипотезы Бейлинсона», L -функции и арифметика (Дарем, 1989) , London Math. Соц. Лекционная конспект. Сер., т. 1, с. 153, Кембриджский университет. Press, стр. 173–209, doi : 10.1017/CBO9780511526053.007 , ISBN.  9780521386197 , МР   1110393

• -факторах, связанных с мотивами Mathematicae 104 ( 2 Bibcode 1991InMat : , Денингер, Кристофер (1991 ) » , , Inventions )   123206613 : , «О Γ   245–261
• Денингер, Кристофер (1992), «Локальные L -факторы мотивов и регуляризованные детерминанты», Inventiones Mathematicae , 107 (1): 135–150, Bibcode : 1992InMat.107..135D , doi : 10.1007/BF01231885 , MR   1135468 , S2CID   120740473
• Денингер, Кристофер (1993), «Формулы следов Лефшеца и явные формулы в аналитической теории чисел» , Журнал чистой и прикладной математики , 1993 (441): 1–15, doi : 10.1515/crll.1993.441.1 , S2CID   116031228 , например   0782.11034
• Денингер, Кристофер (1994a), «Мотивационные ε-факторы на бесконечности и регуляризованных измерениях», Indag. Математика. , Новая серия, 5 (4): 403–409, doi : 10.1016/0019-3577(94)90015-9 , МР   1307961
• Денингер, Кристофер (1994b), «Мотивические L -функции и регуляризованные детерминанты», Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 55, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., МР   1265547
• Денингер, Кристофер (1994c), «Свидетельства когомологического подхода к аналитической теории чисел», Первый Европейский математический конгресс, Vol. I (Париж, 1992 г.) , Progr. Матем., вып. 119, Биркхойзер, Базель, стр. 491–510, MR   1341834.
• Денингер, Кристофер; Нарт, Энрик (1995), "На доб. ² мотивов над арифметическими кривыми», Amer. J. Math. , 117 (3): 601–625, doi : 10.2307/2375082 , JSTOR   2375082 , MR   1333938
• Денингер, Кристофер (1995), «Операции высшего порядка в когомологиях Делиня», Invent. Математика. , 120 (2): 289–315, Bibcode : 1995InMat.120..289D , doi : 10.1007/BF01241130 , MR   1329043 , S2CID   121481341
• Денингер, Кристофер (1998), «Некоторые аналогии между теорией чисел и динамическими системами в расслоенных пространствах», Труды Международного конгресса математиков, Vol. I (Берлин, 1998) , Documenta Mathematica (Extra Vol. I), стр. 163–186, MR   1648030.
• Денингер, Кристофер (2002), «О природе «явных формул» в аналитической теории чисел — простой пример», Теоретико-числовые методы (Iizuka, 2001) , Dev. Матем., вып. 8, Дордрехт: Клювер Акад. Publ., стр. 97–118, arXiv : math/0204194 , doi : 10.1007/978-1-4757-3675-5_7 , ISBN.  978-1-4419-5239-4 , МР   1974137 , S2CID   17829739
• Денингер, Кристофер (2010), «Стратегия Гильберта-Пойя и пары высот», сила Казимира, операторы Казимира и гипотеза Римана , Вальтер де Грюйтер, Берлин, стр. 275–283, MR   2777722

p -адические векторные расслоения

• Денингер, Кристофер; Вернер, Аннет (2005), «Векторные расслоения на p -адических кривых и параллельный транспорт» , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Quatrième Série, 38 (4): 553–597, arXiv : math/0403516 , doi : 10.1016 /j.ansens.2005.05.002 , MR   2172951 , S2CID   8884837
• Денингер, Кристофер; Вернер, Аннет (2005), «Расслоения строк и p -адические символы», Числовые поля и функциональные поля – два параллельных мира , Progr. Матем., вып. 239, стр. 101–131, arXiv : math/0407511 , doi : 10.1007/0-8176-4447-4_7 , ISBN  978-0-8176-4397-3 , МР   2176589 , S2CID   119669442
• Денингер, Кристофер; Вернер, Аннет (2007), «О двойственности Таннаки для векторных расслоений на p -адических кривых», Алгебраические циклы и мотивы. Том. 2 , Лондонский мат. Соц. Лекционная конспект. Сер., т. 1, с. 344, стр. 94–111, МР   2187151
• Денингер, Кристофер; Вернер, Аннет (2010), «Векторные расслоения на p -адических кривых и параллельный перенос II», Алгебраические и арифметические структуры пространств модулей (Саппоро, 2007) , Adv. Стад. Чистая математика., вып. 58, стр. 1–26, doi : 10.2969/aspm/05810001 , ISBN  978-4-86497-008-2 , МР   2676155

Группа Гейзенберга, алгебры Ли и слоения

• Денингер, Кристофер; Зингхоф, Вильгельм (1984), « Е -инвариант и спектр лапласиана для компактных нильмногообразий, покрытых группами Гейзенберга», Inventiones Mathematicae , 78 (1): 101–112, Bibcode : 1984InMat..78..101D , doi : 10.1007/BF01388716 , MR   0762355 , S2CID   119465585
• Денингер, Кристофер; Зингхоф, Вильгельм (1988), "О когомологиях нильпотентных алгебр Ли", Bull. Соц. Математика. Франция , 116 (1): 3–14, doi : 10.24033/bsmf.2087 , MR   0946276
• Денингер, Кристофер; Сингхоф, Вильгельм (2001), «Контрпример для сглаживания полистного разложения Ходжа для общих слоений и для типа динамических формул следов» , Ann. Инст. Фурье (Гренобль) , 51 (1): 209–219, doi : 10.5802/aif.1821 , MR   1821074
• Денингер, Кристофер; Сингхоф, Вильгельм (2001b), «Заметки о динамических формулах следов», Динамические, спектральные и арифметические дзета-функции (Сан-Антонио, Техас, 1999) , Contemp. Матем., вып. 290, AMS, стр. 41–55, номер документа : 10.1090/conm/290/04572 , ISBN.  9780821820797 , МР   1868467

Энтропия

• Денингер, Кристофер (1997), «Периоды Делиня смешанных мотивов, K -теория и энтропия некоторых Z ^н -действия», Журнал Американского математического общества , 10 (2): 259–281, doi : 10.1090/S0894-0347-97-00228-2 , MR   1415320
• Денингер, Кристофер (2006), «Определители Фугледе-Кадисона и энтропия для действий дискретных аменабельных групп», Журнал Американского математического общества , 19 (3): 737–758, arXiv : math/0502233 , doi : 10.1090/S0894- 0347-06-00519-4 , МР   2220105 , С2КИД   7741105

• Денингер, Кристофер; Шмидт, Клаус (2007), «Расширяющие алгебраические действия дискретных аппроксимируемых конечных аменабельных групп и их энтропия», Ergodic Theory and Dynamical Systems , 27 (3): 769–786, arXiv : math/0605723 , doi : 10.1017/S0143385706000939 , MR   2322178 , S2CID   12803685

• Лучше, Амнон; Денингер, Кристофер (1999), « p -адические меры Малера», Журнал чистой и прикладной математики , 1999 (517): 19–50, doi : 10.1515/crll.1999.093 , MR   1728549
• Денингер, Кристофер (2009), « p -адическая энтропия и p -адический определитель Фугледа-Кадисона», Алгебра, арифметика и геометрия: в честь Ю. И. Манин. Том. Я , прогр. Матем., вып. 269, Биркхойзер, стр. 423–442, arXiv : math/0608539 , doi : 10.1007/978-0-8176-4745-2_10 , ISBN  978-0-8176-4744-5 , МР   2641178 , S2CID   6186513

Векторы Витта

• Кунц, Иоахим; Денингер, Кристофер (2015), «Векторные кольца Витта и относительный комплекс де Рама Витта», Journal of Algebra , 440 : 545–593, arXiv : 1410.5249 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2015.05.029 , MR   3373405 , S2CID   119171724
• Кунц, Иоахим; Денингер, Кристофер (2014), «Альтернатива векторам Витта», Münster Journal of Mathematics , 7 (1): 105–114, arXiv : 1311.2774 , Bibcode : 2013arXiv1311.2774C , doi : 10.1080/18756891.2013.8589 05 , МР   3271241

Ссылки

• Альварес Лопес, Хесус; 2001), «Длительное поведение листового теплового потока для римановых слоений», Mathematica 125 ( 2) Кордюков : 129–153 , Compositio   , Юрий А. (
• Бейлинсон А.А. (1984), "Высшие регуляторы и значения L -функций", Современные проблемы математики, Vol. 24 , Итоги науки и техники, Москва: Акад. Наук СССР, Всесоюз. Инст. Научн. и Техн. Информ., МР   0760999
• Гейссер, Томас (2010), «Двойственность через циклические комплексы», Annals of Mathematics , Second Series, 172 (2): 1095–1127, arXiv : math/0608456 , doi : 10.4007/annals.2010.172.1095 , MR   2680487
• Гончаров, А.Б. (1996), «Гипотеза Денингера об L -функциях эллиптических кривых при s =3», Journal of Mathematical Sciences , 81 (3): 2631–2656, doi : 10.1007/BF02362333 , MR   1420221 , S2CID   15570808
• Хессельхольт, Ларс (2016), Топологические гомологии Хохшильда и дзета-функция Хассе-Вейля , Современная математика, том. 708, стр. 157–180, arXiv : 1602.01980 , Bibcode : 2016arXiv160201980H , doi : 10.1090/conm/708/14264 , ISBN  9781470429119 , S2CID   119145574
• Лейхтнам, Эрик (2005), «Приглашение к работе Денингера над арифметическими дзета-функциями», Геометрия, спектральная теория, группы и динамика , Contemp. Матем., вып. 387, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Soc., стр. 201–236, doi : 10.1090/conm/387/07243 , ISBN.  9780821837108 , МР   2180209
• Линд, Дуглас; Шмидт, Клаус; Уорд, Том (1990), «Мера Малера и энтропия для коммутирующих автоморфизмов компактных групп» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 101 (3): 593–629, Бибкод : 1990InMat.101..593L , doi : 10.1007/BF01231517 , МР   1062797 , S2CID   17077751
• Нековарж, Ян (1994), «Гипотезы Бейлинсона», Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 55, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., МР   1265544

Внешние ссылки

• Сайт Мюнстерского университета