Определитель Фуледе-Кадисона

В математике определитель Фугледа -Кадисона обратимого оператора в конечном множителе представляет собой связанное с ним положительное действительное число. Он определяет мультипликативный гомоморфизм множества обратимых операторов множеству положительных действительных чисел. Определитель Фугледа–Кадисона оператора $A$ часто обозначается $\Delta (A)$.

Для матрицы $A$ в $M_{n}(\mathbb {C} )$, $\Delta (A)=\left|\det(A)\right|^{1/n}$ что является нормированной формой абсолютного определителя значения $A$.

Определение

Позволять ${\mathcal {M}}$ — конечный фактор с каноническим нормированным следом $\tau$ и пусть $X$ быть обратимым оператором в ${\mathcal {M}}$. Тогда определитель Фугледа–Кадисона $X$ определяется как

$\Delta (X):=\exp \tau (\log(X^{*}X)^{1/2}),$

(см. Связь между определителем и следом через собственные значения ). Число $\Delta (X)$ корректно определяется непрерывным функциональным исчислением .

Характеристики

• $\Delta (XY)=\Delta (X)\Delta (Y)$ для обратимых операторов $X,Y\in {\mathcal {M}}$,
• $\Delta (\exp A)=\left|\exp \tau (A)\right|=\exp \Re \tau (A)$ для $A\in {\mathcal {M}}.$
• $\Delta$ является непрерывным по норме на $GL_{1}({\mathcal {M}})$, набор обратимых операторов в ${\mathcal {M}},$
• $\Delta (X)$ не превышает спектрального радиуса $X$.

Расширения сингулярных операторов

Существует много возможных расширений определителя Фугледа–Кадисона до сингулярных операторов в ${\mathcal {M}}$. Все они должны присваивать значение 0 операторам с нетривиальным нулевым пространством. Нет расширения определителя $\Delta$ от обратимых операторов ко всем операторам в ${\mathcal {M}}$, непрерывен в однородной топологии.

Алгебраическое расширение

Алгебраическое расширение $\Delta$ присваивает значение 0 единственному оператору в ${\mathcal {M}}$.

Аналитическое расширение

Для оператора $A$ в ${\mathcal {M}}$, аналитическое расширение $\Delta$ использует спектральное разложение $|A|=\int \lambda \;dE_{\lambda }$ определить $\Delta (A):=\exp \left(\int \log \lambda \;d\tau (E_{\lambda })\right)$ с пониманием того, что $\Delta (A)=0$ если $\int \log \lambda \;d\tau (E_{\lambda })=-\infty$. Это расширение удовлетворяет свойству непрерывности

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\Delta (H+\varepsilon I)=\Delta (H)$ для $H\geq 0.$

Обобщения

Хотя первоначально определитель Фугледа–Кадисона был определен для операторов с конечными факторами, он переносится и на случай операторов в алгебрах фон Неймана со следовым состоянием ( $\tau$), в случае чего он обозначается $\Delta _{\tau }(\cdot )$.

Ссылки

• Фуглид, Бент; Кадисон, Ричард (1952), «Детерминантная теория в конечных факторах», Ann. Математика. , Серия 2, 55 (3): 520–530, doi : 10.2307/1969645 , JSTOR   1969645 .

• де ла Арп, Пьер (2013), «Определитель Фугледа-Кадисона: тема и вариации», Proc. Натл. акад. наук. США , 110 (40): 15864–15877, doi : 10.1073/pnas.1202059110 , PMC   3791716 , PMID   24082099 .