Кольцо дискретной оценки

В абстрактной алгебре кольцо дискретного нормирования ( DVR ) — это область главных идеалов (PID) ровно с одним ненулевым максимальным идеалом .

Это означает, что цифровой видеорегистратор представляет собой целостную область R , которая удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

R — локальная область главных идеалов , а не поле .
R — кольцо нормирования с группой значений, изоморфной добавляемым целым числам.
R — это локальный домен Дедекинда , а не поле.
R — нётерова локальная область , максимальный идеал которой является главным, а не полем. ^[1]
R — целозамкнутое нётерово локальное кольцо с размерностью Крулля единица.
R — область главных идеалов с уникальным ненулевым простым идеалом .
R — область главных идеалов с единственным неприводимым элементом ( с точностью до умножения на единицы ).
R — уникальная область факторизации с единственным неприводимым элементом (с точностью до умножения на единицы).
R нётерово, а не неприводим в том смысле поле, и каждый ненулевой дробный идеал R , что его нельзя записать как конечное пересечение дробных идеалов, собственно содержащих его.
Существует некоторая дискретная нормировка ν на поле дробей K числа R такая, что R = {0} $\cup$ { х $\in$ К : ν( х ) ≥ 0}.

Примеры

алгебраический

Локализация дедекиндовых колец

Позволять $\mathbb {Z} _{(2)}:=\{z/n\mid z,n\in \mathbb {Z} ,\,\,n{\text{ is odd}}\}$ . Тогда поле дробей $\mathbb {Z} _{(2)}$ является $\mathbb {Q}$ . Для любого ненулевого элемента $r$ из $\mathbb {Q}$ , мы можем применить уникальную факторизацию к числителю и знаменателю r, чтобы записать r как ⁠ 2 ^к z / n ⁠ где z , n и k — целые числа с z и n нечетными. В этом случае мы определяем ν( r )= k .Затем $\mathbb {Z} _{(2)}$ — кольцо дискретного нормирования, соответствующее ν. Максимальный идеал $\mathbb {Z} _{(2)}$ является главным идеалом, порожденным 2, т.е. $2\mathbb {Z} _{(2)}$ , а «уникальный» неприводимый элемент (с точностью до единиц) равен 2 (это также известно как параметр униформизации). Обратите внимание, что $\mathbb {Z} _{(2)}$ это локализация дедекиндовского домена $\mathbb {Z}$ в простом идеале, порожденном 2.

В более общем смысле, любая локализация в дедекиндовой области ненулевом простом идеале представляет собой кольцо дискретного нормирования; на практике часто именно так возникают кольца дискретных оценок. В частности, мы можем определить кольца

\mathbb {Z} _{(p)}:=\left.\left\{{\frac {z}{n}}\,\right|z,n\in \mathbb {Z} ,p\nmid n\right\}

для любого простого числа p в полной аналогии.

p -адические целые числа

Кольцо $\mathbb {Z} _{p}$ из p -адических целых чисел является DVR для любого простого числа $p$ . Здесь $p$ является неприводимым элементом ; оценка присваивается каждому $p$ - то есть целое число $x$ самое большое целое число $k$ такой, что $p^{k}$ делит $x$ .

Формальный степенной ряд

Еще одним важным примером видеорегистратора является кольцо формальных степенных рядов. $R=k[[T]]$ в одной переменной $T$ над каким-то полем $k$ . «Уникальный» неприводимый элемент — это $T$ , максимальный идеал $R$ является главным идеалом, порожденным $T$ , и оценка $\nu$ присваивает каждому степенному ряду индекс (т.е. степень) первого ненулевого коэффициента.

Если мы ограничимся вещественными или комплексными коэффициентами, мы можем рассмотреть кольцо степенных рядов от одной переменной, сходящихся в окрестности 0 (причем окрестность зависит от степенного ряда). Это кольцо дискретной оценки. Это полезно для построения интуиции по Ценностному критерию правильности .

Кольцо в функциональном поле

В качестве примера более геометрического характера возьмем кольцо R = { f / g : f , g полиномов в R [ X ] и g (0) ≠ 0}, рассматриваемое как подкольцо поля рациональных функций R ( X ). переменной Х. в R можно отождествить с кольцом всех вещественнозначных рациональных функций, определенных (т.е. конечных) в окрестности 0 на действительной оси (с окрестностью, зависящей от функции). Это кольцо дискретной оценки; «уникальным» неприводимым элементом является X , и оценка присваивает каждой функции f порядок (возможно, 0) нуля f в точке 0. Этот пример предоставляет шаблон для изучения общих алгебраических кривых вблизи неособых точек, алгебраической кривой в в этом случае это настоящая линия.

Теоретико-схемный

Гензельская черта

Для видеорегистратора $R$ поле дроби принято записывать как $K={\text{Frac}}(R)$ и $\kappa =R/{\mathfrak {m}}$ поле остатков. Они соответствуют общей и замкнутой точкам $S={\text{Spec}}(R).$ Например, закрытая точка ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} _{p})$ является $\mathbb {F} _{p}$ и общая точка $\mathbb {Q} _{p}$ . Иногда это обозначается как

\eta \to S\leftarrow s

где $\eta$ является общей точкой и $s$ это закрытая точка.

Локализация точки на кривой

Учитывая алгебраическую кривую $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ , местное кольцо ${\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}$ в гладкой точке ${\mathfrak {p}}$ является кольцом дискретного нормирования, поскольку оно является кольцом главного нормирования. Обратите внимание, поскольку точка ${\mathfrak {p}}$ гладко пополнение локального кольца изоморфно то завершению локализации , $\mathbb {A} ^{1}$ в какой-то момент ${\mathfrak {q}}$ .

Униформизирующий параметр

Для DVR R любой неприводимый элемент R является генератором единственного максимального идеала R и наоборот. Такой элемент также называется параметром униформизации R простым (или элементом униформизации , униформизатором или элементом ).

Если мы зафиксируем униформизирующий параметр t , то M =( t ) будет единственным максимальным идеалом R , а каждый другой ненулевой идеал будет степенью M , т.е. будет иметь вид ( t ^к) для некоторого k ≥0. Все степени t степени M. различны, как и Каждый ненулевой элемент x из R можно записать в виде α t ^к где α - единица в R и k ≥0, оба однозначно определяются x . Оценка определяется как ν ( x ) = kv ( t ). Итак, чтобы полностью понять кольцо, нужно знать группу единиц R и то, как эти единицы аддитивно взаимодействуют со степенями t .

Функция v также превращает любое кольцо дискретного нормирования в евклидову область . ^{[ нужна ссылка ]}

Топология

Каждое кольцо дискретного нормирования, будучи локальным кольцом , несет естественную топологию и является топологическим кольцом . Мы также можем придать ему структуру метрического пространства , в которой расстояние между двумя элементами x и y можно измерить следующим образом:

|x-y|=2^{-\nu (x-y)}

(или любое другое фиксированное действительное число > 1 вместо 2). Интуитивно: элемент z «маленький» и «близок к 0», если его оценка ν( z ) велика. Функция |xy|, дополненная |0|=0, является ограничением модуля, определенного на поле дробей кольца дискретного нормирования.

ДВР компактен тогда и только тогда, когда он полон и его поле вычетов R / M является конечным полем .

Примеры готовых видеорегистраторов включают в себя

кольцо p -адических целых чисел и
кольцо формальных степенных рядов над любым полем

Для данного видеорегистратора часто переходят к его завершению видеорегистратору , — полному содержащему данное кольцо, которое зачастую легче изучить. Эту процедуру завершения можно представить геометрически как переход от рациональных функций к степенным рядам или от рациональных чисел к действительным .

Возвращаясь к нашим примерам: кольцо всех формальных степенных рядов от одной переменной с вещественными коэффициентами есть пополнение кольца рациональных функций, определенных (т.е. конечных) в окрестности нуля на вещественной прямой; это также завершение кольца всех действительных степенных рядов, сходящихся около 0. Пополнение $\mathbb {Z} _{(p)}=\mathbb {Q} \cap \mathbb {Z} _{p}$ (которое можно рассматривать как множество всех рациональных чисел, которые являются целыми p -адическими числами) является кольцом всех целых p -адических чисел Z _p .

См. также

Ссылки

^ «Коммутативная алгебра - условие нётеровости локального кольца, максимальный идеал которого является главным» . MathOverflow .

Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-43334-7 , МР 2286236
Кольцо дискретных оценок , Энциклопедия математики .

[1] «Коммутативная алгебра - условие нётеровости локального кольца, максимальный идеал которого является главным» . MathOverflow .

[1]