Закон рациональной взаимности

В теории чисел рациональный закон взаимности — это закон взаимности, включающий символы остатков, которые связаны коэффициентом +1 или –1, а не общим корнем из единицы.

В качестве примера можно привести рациональные биквадратичные и октические законы взаимности . Определите символ ( x | p ) _k равным +1, если x является k -й степенью по модулю простого числа p, и -1 в противном случае.

Пусть p и q — различные простые числа, конгруэнтные 1 по модулю 4, такие, что ( p | q ) ₂ = ( q | p ) ₂ = +1. Пусть р = а ² + б ² и q = А ² + Б ² с АА нечетным. Затем

$(p|q)_{4}(q|p)_{4}=(-1)^{(q-1)/4}(aB-bA|q)_{2}\ .$

Если, кроме того, p и q конгруэнтны 1 по модулю 8, пусть p = c ² + 2 дня ² и q = C ² + 2D ² . Затем

$(p|q)_{8}=(q|p)_{8}=(aB-bA|q)_{4}(cD-dC|q)_{2}\ .$

Ссылки

• Бурде, К. (1969), «Рациональный биквадратичный закон взаимности», Дж. Рейн Ангью. Математика (на немецком языке), 235 : 175–184, Zbl   0169.36902.
• Лемер, Эмма (1978), «Законы рациональной взаимности», The American Mathematical Monthly , 85 (6): 467–472, doi : 10.2307/2320065 , ISSN   0002-9890 , JSTOR   2320065 , MR   0498352 , Zbl   0383.10003
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer-Verlag , стр. 153–183, ISBN  3-540-66957-4 , МР   1761696 , Збл   0949.11002
• Уильямс, Кеннет С. (1976), «Рациональный октический закон взаимности» , Pacific Journal of Mathematics , 63 (2): 563–570, doi : 10.2140/pjm.1976.63.563 , ISSN   0030-8730 , MR   0414467 , Zbl   0311.10004