Явный закон взаимности

В математике явный закон взаимности представляет собой формулу символа Гильберта локального поля . Название «явный закон взаимности» относится к тому факту, что символы Гильберта локальных полей появляются в законе взаимности Гильберта для символа степенного вычета . Определения символа Гильберта обычно довольно окольные, и их может быть сложно использовать непосредственно в явных примерах, а явные законы взаимности дают более явные выражения для символа Гильберта, которые иногда проще использовать.

Существует также несколько явных законов взаимности для различных обобщений символа Гильберта на высшие локальные поля , p -делимые группы и т. д.

История

Артин и Хассе (1928) дали явную формулу для символа Гильберта (α, β) в случае нечетных простых степеней, для некоторых специальных значений α и β, когда поле является (циклотомическим) расширением p -адических чисел. на п ^нкорень единства. Ивасава (1968) распространил формулу Артина и Хассе на большее количество случаев α и β, а Уайлс (1978) и де Шалит (1986) распространили работу Ивасавы на расширения Любина-Тейта локальных полей. Шафаревич (1950) дал явную формулу символа Гильберта для нечетных степеней простых чисел для общих локальных полей. Его формула была довольно сложной, что затрудняло ее использование, и Брюкнер ( 1967 , 1979 ) и Востоков (1978) нашли более простую формулу. Хенниарт (1981) упростил работу Востокова и распространил ее на случай даже простых степеней.

Примеры

Для архимедовых локальных полей или в неразветвленном случае символ Гильберта легко записать явно. Основная проблема состоит в том, чтобы оценить его в разветвленном случае.

Архимедовы поля

Для комплексных чисел ( a , b ) всегда 1.Над вещественными числами символ Гильберта нечетной степени тривиален, а символ Гильберта четной степени задается формулой ( a , b ) _∞ равен +1, если хотя бы один из a или b положителен, и -1, если оба отрицательны. .

Неразветвленный случай: ручной символ Гильберта

В неразветвленном случае, когда порядок символа Гильберта взаимно прост с вычетом, характерным для локального поля, ручной символ Гильберта имеет вид ^[1]

(a,b)=\omega ((-1)^{\operatorname {ord} (a)\operatorname {ord} (b)}b^{\operatorname {ord} (a)}/a^{\operatorname {ord} (b)})^{(q-1)/n}

где ω( a ) — корень ( q – 1)-й степени из единицы, конгруэнтный a , ord( a ) — значение оценки локального поля, а n — степень символа Гильберта, а q — это порядок поля класса вычетов. Число n делит q – 1, поскольку локальное поле по предположению содержит корни n- й степени из единицы.

В частном случае над p-адиками с p нечетным, написав $a=p^{\alpha }u$ и $b=p^{\beta }v$ , где u и v — целые числа, взаимно простые с p , мы имеем для квадратичного символа Гильберта

(a,b)_{p}=(-1)^{\alpha \beta \varepsilon (p)}\left({\frac {u}{p}}\right)^{\beta }\left({\frac {v}{p}}\right)^{\alpha }

, где

\varepsilon (p)=(p-1)/2

и выражение включает два символа Лежандра .

Разветвленный случай

Простейшим примером символа Гильберта в разветвленном случае является квадратичный символ Гильберта над 2-адическими целыми числами.Над 2-адиками снова пишем $a=2^{\alpha }u$ и $b=2^{\beta }v$ , где u и v — нечетные числа , для квадратичного символа Гильберта имеем

(a,b)_{2}=(-1)^{\epsilon (u)\epsilon (v)+\alpha \omega (v)+\beta \omega (u)}

, где

\omega (x)=(x^{2}-1)/8

и

\epsilon (x)=(x-1)/2.

См. также

Закон рациональной взаимности

Примечания

^ Нойкирх (1999) стр.335

Ссылки

Артин, Э.; Хассе, Х. (1928), «Два дополнительных предложения к закону взаимности l ^н-е остатки потенции в организме л ^нКорни -й степени из единицы», статьи Математического семинара Гамбургского университета , 6 : 146–162, doi : 10.1007/bf02940607 , JFM 54.0191.05 , S2CID 121570605
Брюкнер, Хельмут (1967), «Явная формула закона взаимности для показателей степени простого числа p», Алгебраическая теория чисел (Ber. Tagung Math. Forschungsinst. Oberwolfach, 1964) (на немецком языке), Bibliografies Institut, Мангейм, стр. 31 –39, МР 0230702
Брюкнер, Х. (1979), Закон явной взаимности и его приложения , Лекции факультета математики Эссенского университета (на немецком языке), том. 2, Эссенский университет, факультет математики, Эссен, MR 0533354
де Шалит, Эхуд (1986), «Явный закон взаимности в теории полей локальных классов» , Duke Math. Ж. , 53 (1): 163–176, doi : 10.1215/s0012-7094-86-05311-1 , MR 0835803
Хенниарт, Гай (1981), «О явных законах взаимности. I». , Дж. Рейн Ангью. Математика. (на французском языке), 329 : 177–203, MR 0636453.
Ивасава, Кенкичи (1968), «О явных формулах для символа нормированного вычета», J. Math. Соц. Япония. , 20 (1–2): 151–165, doi : 10.2969/jmsj/02010151 , MR 0229609
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . МР 1697859 . Збл 0956.11021 .
Шафаревич И. Р. (1950), "Общий закон взаимности", Матем. Сборник , Новая серия, 26 : 113–146, МР 0031944.
Востоков С.В. (1978), "Явная форма закона взаимности", Изв. Акад. Наук СССР сер. Мат. , 42 (6): 1288–1321, 1439, doi : 10.1070/IM1979v013n03ABEH002077 , MR 0522940
Уайлс, А. (1978). «Высшие явные законы взаимности». Анналы математики . 107 (2): 235–254. дои : 10.2307/1971143 . JSTOR 1971143 . МР 0480442 .

Дальнейшее чтение

Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-66957-4 , МР 1761696 , Збл 0949.11002

[Neu335-1] Нойкирх (1999) стр.335

[1]