Теорема Стэнли взаимности

В комбинаторной математике , утверждает , теорема взаимности Стэнли , названная в честь Массачусетского технологического института математика Ричарда П. Стэнли что определенному функциональному уравнению удовлетворяет производящая функция любого рационального конуса (определенная ниже) и производящая функция внутренней части конуса.

Определения

— Рациональный конус это совокупность всех d - кортежей

( а ₁ , ..., а _г )

целых неотрицательных чисел, удовлетворяющих системе неравенств

$M\left[{\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{d}\end{matrix}}\right]\geq \left[{\begin{matrix}0\\\vdots \\0\end{matrix}}\right]$

где M — матрица целых чисел. D -кортеж , удовлетворяющий соответствующим строгим неравенствам, т. е. с «>», а не с «≥», находится внутри конуса .

Производящая функция такого конуса равна

$F(x_{1},\dots ,x_{d})=\sum _{(a_{1},\dots ,a_{d})\in {\rm {cone}}}x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{d}^{a_{d}}.$

Производящая функция F _int ( x ₁ , ..., x _d ) внутренней части конуса определяется таким же образом, но суммирование производится по d -кортежам внутри, а не по всему конусу.

Можно показать, что это рациональные функции .

Формулировка

Теорема взаимности Стэнли утверждает, что для рационального конуса, как указано выше, мы имеем

$F(1/x_{1},\dots ,1/x_{d})=(-1)^{d}F_{\rm {int}}(x_{1},\dots ,x_{d}).$

Матиас Бек и Майк Девелин показали, как доказать это, используя исчисление остатков .

Теорема Стэнли о взаимности обобщает взаимность Эрхарта-Макдональда для полиномов Эрхарта рациональных выпуклых многогранников .

См. также

• Полином Эрхарта