Теорема Сильвермана – Теплица

В математике теорема Сильвермана -Теплица , впервые доказанная Отто Теплицем , является результатом теории суммируемости, характеризующей матриц регулярные методы суммирования . Метод суммирования регулярных матриц — это матричное преобразование сходящейся последовательности, сохраняющее предел . ^{[ 1 ]}

Бесконечная матрица $(a_{i,j})_{i,j\in \mathbb {N} }$ с записями со сложными значениями определяет регулярный метод суммирования тогда и только тогда, когда он удовлетворяет всем следующим свойствам:

{\begin{aligned}&\lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0\quad j\in \mathbb {N} &&{\text{(Every column sequence converges to 0.)}}\\[3pt]&\lim _{i\to \infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i,j}=1&&{\text{(The row sums converge to 1.)}}\\[3pt]&\sup _{i}\sum _{j=0}^{\infty }\vert a_{i,j}\vert <\infty &&{\text{(The absolute row sums are bounded.)}}\end{aligned}}

Примером является суммирование Чезаро , метод матричного суммирования с

a_{mn}={\begin{cases}{\frac {1}{m}}&n\leq m\\0&n>m\end{cases}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0&\cdots \\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&0&\cdots \\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}},

Ссылки

^ Теорема Сильвермана-Теплица , Рудер, Брайан, опубликовано в 1966 г., номер LD2668. R4 1966 R915, Издательство Университета штата Канзас, Интернет-архив

Тёплиц, Отто (1911) « Об общем линейном усреднении » . Prace мат.-физ. , 22 , 113–118 (оригинал на немецком языке )
Сильверман, Луи Лазарус (1913) «Об определении суммы расходящегося ряда». Университет исследований Миссури, математика. Серия I, 1–96.
Харди, GH (1949), Divergent Series , Oxford: Clarendon Press , 43–48.
Боос, Иоганн (2000). Классические и современные методы суммирования . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 019850165X .