Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых

В математике сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых возникают в задачах анализа , в частности комплексного анализа и гармонического анализа . Два основных сингулярных интегральных оператора, преобразование Гильберта и преобразование Коши, могут быть определены для любой гладкой жордановой кривой на комплексной плоскости и связаны простой алгебраической формулой. В частном случае ряда Фурье для единичной окружности операторы становятся классическим преобразованием Коши , ортогональной проекцией на пространство Харди , а преобразованием Гильберта — вещественной ортогональной линейной комплексной структурой . В общем случае преобразование Коши представляет собой несамосопряженный идемпотент , а преобразование Гильберта — неортогональную комплексную структуру . Областью преобразования Коши является пространство Харди ограниченной области, заключенной в кривую Жордана. Теорию исходной кривой можно вывести из теории единичной окружности, где из-за вращательной симметрии оба оператора являются классическими сингулярными интегральными операторами типа свертки . Преобразование Гильберта удовлетворяет условию соотношения скачка Племеля и Сохоцкого , выражающие исходную функцию как разность граничных значений голоморфной функции на области и ее дополнения. Сингулярные интегральные операторы изучались на различных классах функций, включая пространства Гёльдера, L ^п пространства и пространства Соболева. В случае с Л ² пространства - случай подробно рассматривается ниже - другие операторы, связанные с замкнутой кривой, такие как проекция Сегё на пространство Харди и оператор Неймана-Пуанкаре , могут быть выражены через преобразование Коши и сопряженное с ним.

Операторы на единичном круге

Основная статья: Сингулярные интегральные операторы типа свертки

Если f находится в L ² ( T ), то он имеет разложение в ряд Фурье

$\displaystyle {f(\theta )=\sum _{n\in {\mathbf {Z} }}a_{n}e^{in\theta }.}$

Харди Спейс H ² ( T ) состоит из функций, отрицательные коэффициенты которых равны нулю, a _n = 0 при n < 0. Это именно те функции, интегрируемые с квадратом, которые возникают как граничные значения голоморфных функций в единичном круге | г | < 1. Действительно, f — граничное значение функции

$\displaystyle {F(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n},}$

в том смысле, что функции

$\displaystyle {f_{r}(\theta )=F(re^{i\theta })},$

определяется ограничением F на концентрические окружности | г | = r , удовлетворить

$\displaystyle {\|f_{r}-f\|_{2}\rightarrow 0}$ как $\displaystyle {r\rightarrow 1}$.

Ортогональная проекция P языка L ² ( T ) на H ² ( T ) называется проекцией Сегё . Это ограниченный оператор на L ² ( T ) с операторной нормой 1.

По теореме Коши

$\displaystyle {F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{|\zeta |=1}{f(\zeta ) \over \zeta -z}\,d\zeta ={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\theta ) \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\theta .}$

Таким образом

$\displaystyle {F(re^{i\varphi })={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-re^{i\theta }}\,d\theta .}$

Когда r равно 1, подынтегральная функция в правой части имеет особенность при θ = 0. Усеченное преобразование Гильберта определяется формулой

$\displaystyle {H^{\varepsilon }f(\varphi )={i \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi }\int _{|\zeta -e^{i\varphi }|\geq \delta }{f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,}$

где δ = |1 – e ^{я ε} |. Поскольку он определен как свертка с ограниченной функцией, это ограниченный оператор на L ² ( Т ). Сейчас

$\displaystyle {H^{\varepsilon }{1}={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }2\Re (1-e^{i\theta })^{-1}\,d\theta ={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }1\,d\theta =i-{i\varepsilon \over \pi }.}$

Если f — полином от z, то

$\displaystyle {H^{\varepsilon }f(z)-{i(1-\varepsilon ) \over \pi }f(z)={1 \over \pi i}\int _{|\zeta -z|\geq \delta }{f(\zeta )-f(z) \over \zeta -z}\,d\zeta .}$

По теореме Коши правая часть стремится к 0 равномерно по мере того, как ε, а значит, и δ, стремится к 0. Итак,

$\displaystyle {H^{\varepsilon }f\rightarrow if}$

равномерно для полиномов. С другой стороны, если u ( z ) = z, сразу видно, что

$\displaystyle {{\overline {H^{\varepsilon }f}}=-u^{-1}H^{\varepsilon }(u{\overline {f}}).}$

Таким образом, если f — полином от z ⁻¹ без постоянного срока

$\displaystyle {H^{\varepsilon }f\rightarrow -if}$ равномерно.

Определите преобразование Гильберта на окружности с помощью

$\displaystyle {H=i(2P-I).}$

Таким образом, если f — тригонометрический полином

$\displaystyle {H^{\varepsilon }f\rightarrow Hf}$ равномерно.

Отсюда следует, что если f — любой L ² функция

$\displaystyle {H^{\varepsilon }f\rightarrow Hf}$ в Л ² норма.

Это следствие результата для тригонометрических полиномов, поскольку H _ε равномерно ограничены по операторной норме : действительно, их коэффициенты Фурье равномерно ограничены.

Отсюда также следует, что для непрерывной функции f на окружности H _ε f сходится к Hf равномерно , то есть, в частности, поточечно. Поточечный предел — это главное значение Коши , записанное

$\displaystyle {Hf=\mathrm {P.V.} \,{1 \over \pi }\int {f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta .}$

Преобразование Гильберта имеет естественную совместимость с диффеоморфизмами окружности, сохраняющими ориентацию. Таким образом, если H — диффеоморфизм окружности с

$\displaystyle {H(e^{i\theta })=e^{ih(\theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,}$

тогда операторы

$\displaystyle {H_{h}^{\varepsilon }f(e^{i\varphi })={1 \over \pi }\int _{|e^{ih(\theta )}-e^{ih(\varphi )}|\geq \varepsilon }{f(e^{i\theta }) \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\,e^{i\theta }\,d\theta ,}$

равномерно ограничены и стремятся в сильной операторной топологии к H . Более того, если Vf ( z ) = f ( H ( z )), то VHV ⁻¹ – H – оператор с гладким ядром, поэтому оператор Гильберта–Шмидта .

Выносливые пространства

См. Также: Пространство Харди

Пространство Харди на единичной окружности можно обобщить на любую многосвязную ограниченную область Ω с гладкой границей ∂Ω. Пространство Харди H ² (∂Ω) можно определить несколькими эквивалентными способами. Самый простой способ определить его — это замыкание в L ² (∂Ω) пространства голоморфных функций на Ω, которые непрерывно продолжаются до гладких функций на замыкании Ω. Как доказал Уолш , в результате, который был предшественником теоремы Мергеляна , любая голоморфная функция на Ω, продолжающаяся непрерывно до замыкания, может быть аппроксимирована в равномерной норме рациональной функцией с полюсами в дополнительной области Ω ^с . Если Ω односвязна, то рациональную функцию можно считать многочленом. Существует аналог этой теоремы о границе, теорема Хартогса–Розенталя , которая утверждает, что любая непрерывная функция ∂Ω может быть аппроксимирована в равномерной норме рациональными функциями с полюсами в дополнении к ∂Ω. Отсюда следует, что для односвязной области, когда ∂Ω — простая замкнутая кривая, H ² (∂Ω) — это просто замыкание полиномов; вообще говоря, это замыкание пространства рациональных функций с полюсами, лежащими за пределами ∂Ω.

На единичной окружности L ² функция f с разложением в ряд Фурье

$\displaystyle {f(e^{i\theta })=\sum a_{n}e^{in\theta }}$

имеет уникальное расширение до гармонической функции в единичном круге, определяемой интегралом Пуассона

$\displaystyle {f(re^{i\theta })=P_{r}f(e^{i\theta })=\sum a_{n}r^{|n|}e^{in\theta }.}$

В частности

$\displaystyle {\|P_{r}f\|^{2}=\sum |a_{n}|^{2}r^{2|n|},}$

так что нормы увеличиваются до значения при r = 1, нормы f . Аналогично в дополнении к единичному кругу, где гармоническое расширение определяется выражением

$\displaystyle {F_{R}(e^{i\theta })=F(Re^{i\theta })=\sum a_{n}R^{-|n|}a_{n}e^{in\theta }.}$

В этом случае нормы увеличиваются от значения при R = ∞ до нормы f , значения при R = 1.

Аналогичный результат справедлив для гармонической функции f в односвязной области с гладкой границей при условии, что L ² нормы берутся по линиям уровня в трубчатой ​​окрестности границы. Используя векторную запись v ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) для параметризации граничной кривой по длине дуги, справедливы следующие классические формулы:

$\displaystyle {{\dot {\mathbf {v} }}\cdot {\dot {\mathbf {v} }}=1,\,\,\,{\ddot {\mathbf {v} }}\cdot {\dot {\mathbf {v} }}=0.}$

Таким образом, единичный касательный вектор t ( t ) в точке t и ориентированный вектор нормали n ( t ) определяются выражением

$\displaystyle {\mathbf {t} ={\dot {\mathbf {v} }},\,\,\,\,\,\,\mathbf {n} =(-{\dot {y}},{\dot {x}}).}$

Константа, связывающая вектор ускорения с вектором нормали, представляет собой кривизну кривой:

$\displaystyle {{\ddot {\mathbf {v} }}=\kappa (t)\,\mathbf {n} (t),\,\,\,\,\,\kappa (t)={\ddot {\mathbf {v} }}\cdot \mathbf {n} ={\ddot {y}}{\dot {x}}-{\ddot {x}}{\dot {y}}.}$

Есть еще две формулы Френе :

$\displaystyle {{\dot {\mathbf {n} }}=-\kappa \mathbf {t} ,\,\,\,{\ddot {\mathbf {n} }}={\dot {\kappa }}\mathbf {n} -\kappa ^{2}\mathbf {t} .}$

Трубчатая окрестность границы определяется выражением

$\displaystyle {\mathbf {v} _{s}(t)=\mathbf {v} (t)+s\mathbf {n} (t),}$

так что кривые уровня ∂Ω _s с s постоянными связанными областями Ω _s . Более того

$\displaystyle {{\dot {\mathbf {v} }}_{s}(t)=(1-s\kappa )\mathbf {t} ,\,\,\,\,\partial _{s}|{\dot {\mathbf {v} }}_{s}|=-\kappa .}$

Следовательно, дифференцирование средних интегралов по s , производной в направлении нормали, указывающей внутрь , дает

$\displaystyle {\partial _{s}\int _{\partial \Omega _{s}}|f|^{2}=-\int _{\partial \Omega _{s}}(\partial _{n}f{\overline {f}}+f{\overline {\partial _{n}f}})-\int _{\partial \Omega _{s}}\kappa (1-\kappa s)^{-1}|f|^{2}=-2\iint _{\Omega _{s}}|\nabla f|^{2}-\int _{\partial \Omega _{s}}\kappa (1-\kappa s)^{-1}|f|^{2},}$

используя теорему Грина . Таким образом, для s small

$\displaystyle {\partial _{s}\|f|_{\partial \Omega _{s}}\|^{2}\leq M\|f|_{\partial \Omega _{s}}\|^{2},}$

для некоторой постоянной M, не зависящей от f . Это означает, что

$\displaystyle {\partial _{s}e^{-Ms}\|f|_{\partial \Omega _{s}}\|^{2}\leq 0,}$

так что при интегрировании этого неравенства нормы вблизи границы ограничены:

$\displaystyle {\|f|_{\partial \Omega _{s}}\|\leq e^{Ms/2}\|f|_{\partial \Omega }\|.}$

Это неравенство показывает, что функция из L ² Харди Спейс H ² (Ω) приводит через интегральный оператор Коши C к голоморфной функции на Ω, удовлетворяющей классическому условию, согласно которому интеграл означает

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega _{s}}|f|^{2}}$

ограничены. Более того, ограничения f _s функции f на ∂ _s , которые естественным образом отождествляются с ∂ Ω, имеют тенденцию в L ² к исходной функции в пространстве Харди. На самом деле Х ² (Ω) определяется как замыкание в L ² (Ω) рациональных функций (которые можно считать полиномами, если Ω односвязна). Любая рациональная функция с полюсами только в Ω ^с может быть восстановлена ​​внутри Ω по ее граничному значению g по интегральной формуле Коши

$\displaystyle {Cg(a)={1 \over 2\pi i}\int _{\partial \Omega }{g(z) \over z-a}\,dz.}$

Приведенные выше оценки показывают, что функции Cg | _{∂Ω s} непрерывно зависят от Cg | _∂Ом . Более того, в этом случае функции стремятся равномерно к граничному значению, а значит, и в L ² , используя естественную идентификацию пространств L ² (∂Ω _s ) с L ² (∂Ом). Поскольку Ch можно определить для любого L ² функция как голоморфная функция на Ω, поскольку h интегрируема на ∂Ω. Поскольку h — предел в L ² рациональных функций g те же результаты справедливы для h и Ch с теми же неравенствами для интегральных средних. Точно так же h является пределом в L ² (∂Ω) функций Ch | _{∂Ом с} .

Приведенные выше оценки интегральных средних вблизи границы показывают, что Cf лежит в L ² (Ω) и что это L ² норма может быть ограничена через норму f . Поскольку Cf также голоморфен, он лежит в пространстве Бергмана A ² (Ом) из Ом. Таким образом, интегральный оператор Коши C определяет естественное отображение пространства Харди границы в пространство Бергмана внутренней части.

Пространство Харди H ² (Ω) имеет естественного партнера — замыкание в L ² (∂Ω) граничных значений рациональных функций, обращающихся в нуль в точке ∞, с полюсами только в Ω. Обозначая это подпространство через H ² ₊ (∂Ω), чтобы отличить его от исходного пространства Харди, которое также будет обозначаться H ² ₋ (∂Ω), можно применить те же рассуждения, что и выше. Применительно к функции h в H ² ₊ (∂Ω) интегральный оператор Коши определяет голоморфную функцию F в Ω ^с обращающийся в нуль на ∞, такой, что вблизи границы ограничение F на кривые уровня, каждая из которых отождествляется с границей, стремятся в L ² до ч . В отличие от случая круга, H ² ₋ (∂Ω) и H ² ₊ (∂Ω) не являются ортогональными пространствами. По теореме Хартогса–Розенталя их сумма плотна в L ² (∂Ом). Как показано ниже, это собственные пространства ±i преобразования Гильберта на ∂Ω, поэтому их сумма фактически прямая и все L ² (∂Ω).

Преобразование Гильберта на замкнутой кривой

Для ограниченной односвязной области Ω на комплексной плоскости с гладкой границей ∂Ω теорию преобразования Гильберта можно вывести путем прямого сравнения с преобразованием Гильберта для единичной окружности.

Чтобы определить преобразование Гильберта H _∂Ω на L ² (∂Ω), возьмем ∂Ω параметризованным длиной дуги и, следовательно, функцией z ( t ). Преобразование Гильберта определяется как предел в сильной операторной топологии усеченных операторов H _∂Ω. ^е определяется

$\displaystyle {H_{\partial \Omega }^{\varepsilon }f(s)={1 \over \pi i}\int _{|s-t|\geq \varepsilon }\,\,\,\,{f(t) \over z(t)-z(s)}\,{\dot {z}}(t)\,dt.}$

Для сравнения будет удобно применить масштабирующее преобразование в C так, чтобы длина ∂Ωравно 2π. (Это меняет приведенные выше операторы только на фиксированный положительный коэффициент.) Тогда существует канонический унитарный изоморфизм L ² (∂Ω) на L ² ( T ), поэтому можно идентифицировать два пространства. Усеченные операторы H _∂Ω ^е можно напрямую сравнить с усеченным преобразованием Гильберта ЧАС ^е :

$\displaystyle {H_{\partial \Omega }^{\varepsilon }g(s)-H^{\varepsilon }g(s)={1 \over \pi i}\int _{|t-s|\geq \varepsilon }K(s,t)\cdot g(t)\,dt,}$

где

$\displaystyle {K(u,v)={{\dot {z}}(t) \over z(t)-z(s)}-{ie^{it} \over e^{it}-e^{is}}=\partial _{t}\log \left({z(t)-z(s) \over e^{it}-e^{is}}\right).}$

Таким образом, ядро ​​K является гладким на T × T , поэтому указанная выше разница в сильной топологии стремится к оператору Гильберта – Шмидта, определяемому ядром. Отсюда следует, что укороченные операторы H _∂Ω ^е равномерно ограничены по норме и имеют предел в сильной операторной топологии, обозначаемой H _∂Ω и называемой преобразованием Гильберта на ∂Ω.

$\displaystyle {H_{\partial \Omega }g=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}H_{\partial \Omega }^{\varepsilon }g.}$

Если ε стремится к 0 выше, получим

$\displaystyle {H_{\partial \Omega }g(s)-Hg(s)={1 \over \pi i}\int _{0}^{2\pi }K(s,t)\cdot g(t)\,dt.}$

Поскольку H кососопряжен и H _∂Ω отличается от H оператором Гильберта–Шмидта с гладким ядром, отсюда следует, что H _∂Ω + H _∂Ω * является оператором Гильберта–Шмидта с гладким ядром. Ядро также можно вычислить явно, используя усеченные преобразования Гильберта для ∂Ω:

$\displaystyle {C(s,t)={1 \over \pi i}\left({{\dot {z}}(t) \over z(t)-z(s)}-{{\overline {{\dot {z}}(s)}} \over {\overline {z(t)}}-{\overline {z(s)}}}\right),}$

и можно непосредственно проверить, что это гладкая функция на T × T .

Соотношение Племеля – Сохоцкого

См. Также: теорема Сохоцкого – Племеля.

Пусть C ₋ и C ₊ — интегральные операторы Коши для Ω и Ω ^с . Затем

$\displaystyle {C_{\pm }\circ H=\pm iC_{\pm }.}$

Поскольку операторы C ₋ , C ₊ и H ограничены, достаточно проверить это на рациональных функциях F с полюсами, отличными от ∂Ω и обращающимися в нуль в точке ∞ по теореме Хартогса–Розенталя. Рациональную функцию можно записать как сумму функций F = F ₋ + F _+, где F ₋ имеет полюсы только в Ω. ^с и F ₊ имеет полюсы только в. Пусть f , f _± — ограничения f , f _± на ∂Ω. По интегральной формуле Коши

$\displaystyle {C_{\pm }f_{\pm }=F_{\pm },\,\,\,C_{\pm }f_{\mp }=0.}$

С другой стороны, это легко проверить.

$\displaystyle {Hf_{\pm }=\pm if_{\pm }.}$

Действительно, по теореме Коши, поскольку F ₋ голоморфна в Ω,

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega ,\,\,|z-w|\geq \varepsilon }{f_{-}(z) \over z-w}\,dz=-\int _{|z-w|=\varepsilon ,\,\,z\in \Omega }{F_{-}(z) \over z-w}\,dz.}$

Поскольку ε стремится к 0, последний интеграл стремится к π i f ₋ ( w ) посредством исчисления вычетов . Аналогичный аргумент применим к f ₊ , если взять круговой контур справа внутри Ω ^с .

Из непрерывности следует, что H действует как умножение на i на H ² ₋ и как умножение на − i на H ² ₊ . Поскольку эти пространства замкнуты и их сумма плотна, отсюда следует, что

$\displaystyle {H^{2}=-I.}$

Более того, Х ² ₋ и Ч ² ₊ ± i должны быть собственными пространствами H , поэтому их сумма равна всему L ² (∂Ом). Соотношение Племеля –Сохоцкого для f в L ² (∂Ω) — соотношение

$\displaystyle {-iHf=C_{-}f|_{\partial \Omega }-C_{+}f|_{\partial \Omega }.}$

Это проверено для f в пространствах Харди H ² _± (∂Ω), то же верно и для их суммы. Идемпотент Коши E определяется формулой

$\displaystyle {H=i(2E-I).}$

Таким образом, диапазон E равен H. ² ₋ (∂Ω), а у I − E есть H ² ₊ (∂Ом). Из вышесказанного

$\displaystyle {Ef=C_{-}f|_{\partial \Omega },\,\,\,\,(I-E)f=C_{+}f|_{\partial \Omega }.}$

Операторы на замкнутой кривой

См. Также: ядро ​​Сегё и оператор Неймана – Пуанкаре.

определенные на замкнутой кривой ∂Ω, могут быть выражены через преобразования Гильберта и Коши H и E. Два других оператора ,

Проекция Сегё P определяется как ортогональная проекция на пространство Харди H. ² (∂Ом). Поскольку E является идемпотентом с диапазоном H ² (∂Ω), P определяется формулой Керцмана–Стейна :

$\displaystyle {P=E(I+E-E^{*})^{-1}.}$

Действительно, поскольку E − E * кососопряжён, его спектр чисто мнимый, поэтому оператор I + E − E * обратим. Это немедленно, что

$\displaystyle {EP=P,\,\,\,PE=E.}$

Следовательно, PE * = P . Так

$\displaystyle {P(I+E-E^{*})=P+E-P=E.}$

Поскольку оператор H + H * является оператором Гильберта–Шмидта с гладким ядром, то же самое справедливо и для E − E *.

При этом, если J — сопряженно-линейный оператор комплексного сопряжения, а U — оператор умножения на единичный касательный вектор:

$\displaystyle {Jf(t)={\overline {f(t)}},\,\,\,Uf(t)={\dot {z}}(t)\cdot f(t).}$

то формула усеченного преобразования Гильберта на ∂Ω сразу дает следующее тождество для сопряженных

$\displaystyle {(H^{\varepsilon })^{*}=JUH^{\varepsilon }U^{*}J.}$

Устремляя ε к 0, отсюда следует, что

$\displaystyle {H^{*}=JUHU^{*}J}$

и, следовательно,

$\displaystyle {I-E^{*}=JUEU^{*}J.}$

Сравнение с преобразованием Гильберта для окружности показывает, что коммутаторы H и E с диффеоморфизмами окружности являются операторами Гильберта–Шмидта. Аналогичные их коммутаторы с оператором умножения, соответствующим гладкой функции f на окружности, также являются операторами Гильберта–Шмидта. С точностью до константы ядро ​​коммутатора с H задается гладкой функцией

$\displaystyle {A(s,t)={f(s)-f(t) \over z(s)-z(t)}.}$

Оператор Неймана–Пуанкаре T определяется на действительных функциях f как

$\displaystyle {Tf(w)={1 \over 2\pi }\int _{\partial \Omega }\partial _{n}(\log |z-w|)f(z)={1 \over 2}\Re (Hf)(w).}$

Записывая h = f + ig ,

$\displaystyle {2Th=\Re (Hf)+i\Re (Hg)={1 \over 2}(Hf+JHf+iHg+iJHg)={1 \over 2}(H+JHJ)h}$

так что

$\displaystyle {T={1 \over 4}(H+JHJ)={1 \over 4}(H+UH^{*}U^{*}),}$

оператор Гильберта–Шмидта.

Классическое определение пространства Харди.

Классическое определение пространства Харди — это пространство голоморфных функций F на Ω, для которых функции F _s = F | _{∂Ω s} имеют ограниченную норму в L ² (∂Ом). Аргумент, основанный на теореме Каратеодори о ядре, показывает, что это условие выполняется всякий раз, когда в Ω существует семейство жордановых кривых, в конечном итоге содержащее любое компактное подмножество внутри, на котором интегральные средние F. ограничены

Доказать, что классическое определение пространства Харди дает пространство H ² (∂Ω), возьмем F, как указано выше. Некоторая подпоследовательность h _n = F _{s n} слабо сходится в L ² (∂Ω) до h, скажем. Отсюда следует, что Ch = F в Ω. деле, если Cn _{— интегральный оператор Коши ,} соответствующий Ωsn _{, В самом} то

$\displaystyle {Ch(a)-F(a)=Ch(a)-C_{n}h_{n}(a)=C(h-h_{n})(a)+[(C-C_{n})h_{n}](a).}$

Поскольку первый член в правой части определяется спариванием h − h _n с фиксированным L ² функция, она стремится к нулю. Если z _n ( t ) — комплексное число, соответствующее v _{s n} , то

$\displaystyle {[(C-C_{n})h_{n}](a)={1 \over 2\pi i}\int h_{n}(t)\left({{\dot {z}}(t) \over z(t)-a}-{{\dot {z}}_{n}(t) \over z_{n}(t)-a}\right)\,dt.}$

Этот интеграл стремится к нулю, поскольку L ² нормы h _n равномерно ограничены, а выражение в скобках в подынтегральном выражении равномерно стремится к 0 и, следовательно, в L ² .

Таким образом, F = Ch . С другой стороны, если E — идемпотент Коши с диапазоном значений H ² (∂Ω), то C ∘ E = C . Следовательно, F = Ch = C ( Eh ). Как уже было показано, F _s стремится к Ch в L ² (∂Ом). Но подпоследовательность слабо стремится к h . Следовательно, Ch = h и, следовательно, эти два определения эквивалентны.

Обобщения

Теория многосвязных ограниченных областей с гладкой границей легко следует из односвязного случая. операторов H , E и P. Существуют аналоги На данном компоненте границы сингулярные вклады в H и E происходят от сингулярного интеграла на этом компоненте границы, поэтому технические части теории являются прямыми следствиями односвязного случая.

Сингулярные интегральные операторы в пространствах гельдеровских функций обсуждаются в работе Гахова (1990) . Их действие на L ^п и пространства Соболева обсуждаются в работе Михлина и Прессдорфа (1986) .

Ссылки

• Белл, SR (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение , Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN  0-8493-8270-Х
• Белл, SR (2016), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение , Исследования по высшей математике (2-е изд.), CRC Press, ISBN  9781498727211
• Конвей, Джон Б. (1995), Функции одной комплексной переменной II , Тексты для аспирантов по математике, том. 159, Спрингер, с. 197, ISBN  0387944605
• Конвей, Джон Б. (2000), Курс теории операторов , Аспирантура по математике , том. 21, Американское математическое общество , стр. 175–176, ISBN.  0821820656
• Дэвид, Гай (1984), «Сингулярные интегральные операторы на некоторых кривых комплексной плоскости», Ann. наук. Норм школа. Как дела. , 17 : 157–189, doi : 10.24033/asens.1469
• Дюрен, Питер Л. (1970), Теория H ^п пространства , Чистая и прикладная математика, вып. 38, Академик Пресс
• Гахов Ф.Д. (1990), Краевые задачи. Перепечатка перевода 1966 года , Dover Publications, ISBN  0-486-66275-6
• Гамелен, Теодор В. (2005), Равномерные алгебры (2-е изд.), Американское математическое общество , стр. 46–47, ISBN  0821840495
• Гарнетт, Дж. Б. (2007), Ограниченные аналитические функции , Тексты для аспирантов по математике, том. 236, Спрингер, ISBN  978-0-387-33621-3
• Гохберг, Израиль; Крупник, Наум (1992), Одномерные линейные сингулярные интегральные уравнения. I. Введение , Теория операторов: достижения и приложения, том. 53, Биркхойзер, ISBN  3-7643-2584-4
• Голузин Г.М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного , Переводы математических монографий, вып. 26, Американское математическое общество
• Кацнельсон, Ицхак (2004), Введение в гармонический анализ , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-54359-0
• Керзман, Н.; Штейн, EM (1978), "Ядро Коши, ядро ​​Сегё и отображающая функция Римана", Math. Энн. , 236 : 85–93, doi : 10.1007/bf01420257 , S2CID   121336615
• Мусхелишвили Н.И. (1992), Сингулярные интегральные уравнения. Краевые задачи теории функций и их применение к математической физике , Дувр, ISBN  0-486-66893-2
• Михлин Соломон Георгиевич ; Прессдорф, Зигфрид (1986), Сингулярные интегральные операторы , Springer-Verlag, ISBN  3-540-15967-3
• Прессли, Эндрю; Сигал, Грэм (1986), Группы циклов , Oxford University Press, ISBN  0-19-853535-Х
• Сигал, Грэм (1981), «Унитарные представления некоторых бесконечномерных групп» , Comm. Математика. Физ. , 80 (3): 301–342, doi : 10.1007/bf01208274 , S2CID   121367853
• Шапиро, Х.С. (1992), Функция Шварца и ее обобщение на более высокие измерения , Конспект лекций Университета Арканзаса по математическим наукам, том. 9, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-57127-Х
• Титчмарш, EC (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN  0-19-853349-7
• Торчинский, Альберто (2004), Методы действительных переменных в гармоническом анализе , Дувр, ISBN  0-486-43508-3