Сингулярный интеграл
В математике гармоническом сингулярные интегралы занимают центральное место в анализе и тесно связаны с изучением уравнений в частных производных. В широком смысле сингулярный интеграл — это интегральный оператор
чья ядерная функция K : R н × R н → R сингулярно вдоль диагонали x = y . В частности, особенность такова, что | К ( Икс , у )| имеет размер | х - у | − п асимптотически как | х - у | → 0. Поскольку такие интегралы, вообще говоря, не могут быть абсолютно интегрируемыми, строгое определение должно определять их как предел интеграла по | у - х | > ε при ε → 0, но на практике это формальность. Обычно для получения таких результатов, как их ограниченность на L п ( Р н ).
Преобразование Гильберта
[ редактировать ]Типичным сингулярным интегральным оператором является преобразование H. Гильберта Это задается сверткой против ядра K ( x ) = 1/(π x ) для x в R . Точнее,
Наиболее простыми аналогами более высоких размерностей являются преобразования Рисса , которые заменяют K ( x ) = 1/ x на
где я = 1,..., n и является i -й компонентой x в R н . Все эти операторы ограничены на L п и удовлетворяют оценкам слабого типа (1, 1). [ 1 ]
Сингулярные интегралы типа свертки
[ редактировать ]Сингулярный интеграл типа свертки — это оператор T, определенный сверткой, с ядром K , локально интегрируемым на R н \{0}, в том смысле, что
( 1 ) |
Предположим, что ядро удовлетворяет:
- Условие размера преобразования Фурье K
- Условие гладкости : для некоторого C > 0
Тогда можно показать, что T ограничено на L п ( Р н ) и удовлетворяет оценке слабого типа (1, 1).
Свойство 1. необходимо для того, чтобы свертка ( 1 ) с умеренным распределением pv K, заданным интегралом главного значения
является корректно определенным множителем Фурье на L 2 . Ни одно из свойств 1 или 2 не обязательно легко проверить, и существует множество достаточных условий. Обычно в приложениях также есть отмены условие .
что довольно легко проверить. Например, это происходит автоматически, если K — нечетная функция . Если, кроме того, принять 2. и следующее условие размера
тогда можно показать, что 1. следует.
следующее достаточное условие ядра К Условие гладкости 2. также зачастую принципиально трудно проверить, можно использовать :
Обратите внимание, что эти условия выполняются для преобразований Гильберта и Рисса, поэтому этот результат является расширением этого результата. [ 2 ]
Сингулярные интегралы несверточного типа
[ редактировать ]Это еще более общие операторы. Однако, поскольку наши предположения настолько слабы, не обязательно, что эти операторы ограничены на L п .
Ядра Кальдерона – Зигмунда
[ редактировать ]Функция K : R н × R н → R называется Кальдерона – Зигмунда ядром , если оно удовлетворяет следующим условиям для некоторых констант C > 0 и δ > 0. [ 2 ]
Сингулярные интегралы несверточного типа
[ редактировать ]T называется сингулярным интегральным оператором типа несвертки, ассоциированным с ядром Кальдерона–Зигмунда K , если
всякий раз, когда f и g гладкие и имеют непересекающуюся поддержку. [ 2 ] Такие операторы не обязательно должны быть ограничены на L п
Операторы Кальдерона – Зигмунда
[ редактировать ]Сингулярный интеграл типа несвертки T, ассоциированный с ядром Кальдерона–Зигмунда K, называется оператором Кальдерона–Зигмунда, если он ограничен на L 2 , то есть существует C > 0 такое, что
для всех гладких компактно закрепленных ƒ.
Можно доказать, что такие операторы фактически ограничены и на всех L п при 1 < p < ∞.
Т ( Теорема б )
[ редактировать ]Теорема T ( b ) обеспечивает достаточные условия для того, чтобы сингулярный интегральный оператор был оператором Кальдерона–Зигмунда, то есть для того, чтобы сингулярный интегральный оператор, связанный с ядром Кальдерона–Зигмунда, был ограничен на L 2 . Чтобы сформулировать результат, мы должны сначала определить некоторые термины.
Нормализованный выступ — это гладкая функция φ на R н поддерживается в шаре радиуса 1 с центром в начале координат, так что | ∂ а φ ( Икс )| ≤ 1, для всех мультииндексов | а | ≤ n + 2. Обозначим через τ х ( φ )( y ) знак равно φ ( y - x ) и φ р ( x ) знак равно р − п φ ( x / r ) для всех x в R н и r > 0. Оператор называется слабо ограниченным , если существует константа C такая, что
для всех нормализованных неровностей φ и ψ . Функция называется аккретивной, если существует константа c > 0 такая, что Re( b )( x ) ≥ c для всех x в R . Обозначим через M b оператор, заданный умножением на функцию b .
Теорема T ( b ) утверждает, что сингулярный интегральный оператор T, ассоциированный с ядром Кальдерона – Зигмунда, ограничен на L 2 если он удовлетворяет всем следующим трем условиям для некоторых ограниченных аккретивных функций b 1 и b 2 : [ 3 ]
- слабо ограничен;
- находится в БМО ;
- находится в BMO , где T т является оператором транспонирования T .
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Штейн, Элиас (1993). «Гармонический анализ». Издательство Принстонского университета.
- ^ Jump up to: а б с Графакос, Лукас (2004), «7», Классический и современный анализ Фурье , Нью-Джерси: Pearson Education, Inc.
- ^ Дэйвид; Семмес; День (1985). «Операторы Кальдерона – Зигмунда, парааккретивные функции и интерполяция» (на французском языке). Полет. 1. Ибероамериканская математическая версия. стр. 1–56.
Ссылки
[ редактировать ]- Кальдерон, AP ; Зигмунд, А. (1952), «О существовании некоторых сингулярных интегралов», Acta Mathematica , 88 (1): 85–139, doi : 10.1007/BF02392130 , ISSN 0001-5962 , MR 0052553 , Zbl 0047.10201 .
- Кальдерон, AP ; Зигмунд, А. (1956), «О сингулярных интегралах», American Journal of Mathematics , 78 (2), The Johns Hopkins University Press: 289–309, doi : 10.2307/2372517 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372517 , MR 0084633 , Збл 0072.11501 .
- Койфман, Рональд ; Мейер, Ив (1997), Вейвлеты: Кальдерон-Зигмунд и полилинейные операторы , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 48, Издательство Кембриджского университета, стр. xx+315, ISBN 0-521-42001-6 , МР 1456993 , Збл 0916.42023 .
- Михлин, Соломон Г. (1948), «Сингулярные интегральные уравнения» , УМН , 3 (25): 29–112, МР 0027429 (на русском языке ).
- Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, том. 83, Оксфорд – Лондон – Эдинбург – Нью-Йорк – Париж – Франкфурт : Pergamon Press , стр. XII+255, MR 0185399 , Zbl 0129.07701 .
- Михлин Соломон Георгиевич ; Прессдорф, Зигфрид (1986), Сингулярные интегральные операторы , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer Verlag , с. 528, ISBN 0-387-15967-3 , MR 0867687 , Збл 0612.47024 , (Европейское издание: ISBN 3-540-15967-3 ).
- Стейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton Mathematical Series, vol. 30, Принстон, Нью-Джерси : Princeton University Press , стр. XIV + 287, ISBN. 0-691-08079-8 , МР 0290095 , Збл 0207.13501
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Штейн, Элиас М. (октябрь 1998 г.). «Особые интегралы: роли Кальдерона и Зигмунда» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 45 (9): 1130–1140.