Jump to content

Сингулярный интеграл

В математике гармоническом сингулярные интегралы занимают центральное место в анализе и тесно связаны с изучением уравнений в частных производных. В широком смысле сингулярный интеграл — это интегральный оператор

чья ядерная функция K : R н × R н R сингулярно вдоль диагонали x = y . В частности, особенность такова, что | К ( Икс , у )| имеет размер | х - у | п асимптотически как | х - у | → 0. Поскольку такие интегралы, вообще говоря, не могут быть абсолютно интегрируемыми, строгое определение должно определять их как предел интеграла по | у - х | > ε при ε → 0, но на практике это формальность. Обычно для получения таких результатов, как их ограниченность на L п ( Р н ).

Преобразование Гильберта

[ редактировать ]

Типичным сингулярным интегральным оператором является преобразование H. Гильберта Это задается сверткой против ядра K ( x ) = 1/(π x ) для x в R . Точнее,

Наиболее простыми аналогами более высоких размерностей являются преобразования Рисса , которые заменяют K ( x ) = 1/ x на

где я = 1,..., n и является i -й компонентой x в R н . Все эти операторы ограничены на L п и удовлетворяют оценкам слабого типа (1, 1). [ 1 ]

Сингулярные интегралы типа свертки

[ редактировать ]

Сингулярный интеграл типа свертки — это оператор T, определенный сверткой, с ядром K , локально интегрируемым на R н \{0}, в том смысле, что

( 1 )

Предположим, что ядро ​​удовлетворяет:

  1. Условие размера преобразования Фурье K
  2. Условие гладкости : для некоторого C > 0

Тогда можно показать, что T ограничено на L п ( Р н ) и удовлетворяет оценке слабого типа (1, 1).

Свойство 1. необходимо для того, чтобы свертка ( 1 ) с умеренным распределением pv K, заданным интегралом главного значения

является корректно определенным множителем Фурье на L 2 . Ни одно из свойств 1 или 2 не обязательно легко проверить, и существует множество достаточных условий. Обычно в приложениях также есть отмены условие .

что довольно легко проверить. Например, это происходит автоматически, если K нечетная функция . Если, кроме того, принять 2. и следующее условие размера

тогда можно показать, что 1. следует.

следующее достаточное условие ядра К Условие гладкости 2. также зачастую принципиально трудно проверить, можно использовать :

Обратите внимание, что эти условия выполняются для преобразований Гильберта и Рисса, поэтому этот результат является расширением этого результата. [ 2 ]

Сингулярные интегралы несверточного типа

[ редактировать ]

Это еще более общие операторы. Однако, поскольку наши предположения настолько слабы, не обязательно, что эти операторы ограничены на L п .

Ядра Кальдерона – Зигмунда

[ редактировать ]

Функция K : R н × R н R называется Кальдерона Зигмунда ядром , если оно удовлетворяет следующим условиям для некоторых констант C > 0 и δ > 0. [ 2 ]

Сингулярные интегралы несверточного типа

[ редактировать ]

T называется сингулярным интегральным оператором типа несвертки, ассоциированным с ядром Кальдерона–Зигмунда K , если

всякий раз, когда f и g гладкие и имеют непересекающуюся поддержку. [ 2 ] Такие операторы не обязательно должны быть ограничены на L п

Операторы Кальдерона – Зигмунда

[ редактировать ]

Сингулярный интеграл типа несвертки T, ассоциированный с ядром Кальдерона–Зигмунда K, называется оператором Кальдерона–Зигмунда, если он ограничен на L 2 , то есть существует C > 0 такое, что

для всех гладких компактно закрепленных ƒ.

Можно доказать, что такие операторы фактически ограничены и на всех L п при 1 < p < ∞.

Т ( Теорема б )

[ редактировать ]

Теорема T ( b ) обеспечивает достаточные условия для того, чтобы сингулярный интегральный оператор был оператором Кальдерона–Зигмунда, то есть для того, чтобы сингулярный интегральный оператор, связанный с ядром Кальдерона–Зигмунда, был ограничен на L 2 . Чтобы сформулировать результат, мы должны сначала определить некоторые термины.

Нормализованный выступ — это гладкая функция φ на R н поддерживается в шаре радиуса 1 с центром в начале координат, так что | а  φ ( Икс )| ≤ 1, для всех мультииндексов | а | ≤ n + 2. Обозначим через τ х ( φ )( y ) знак равно φ ( y - x ) и φ р ( x ) знак равно р п φ ( x / r ) для всех x в R н и r > 0. Оператор называется слабо ограниченным , если существует константа C такая, что

для всех нормализованных неровностей φ и ψ . Функция называется аккретивной, если существует константа c > 0 такая, что Re( b )( x ) ≥ c для всех x в R . Обозначим через M b оператор, заданный умножением на функцию b .

Теорема T ( b ) утверждает, что сингулярный интегральный оператор T, ассоциированный с ядром Кальдерона – Зигмунда, ограничен на L 2 если он удовлетворяет всем следующим трем условиям для некоторых ограниченных аккретивных функций b 1 и b 2 : [ 3 ]

  1. слабо ограничен;
  2. находится в БМО ;
  3. находится в BMO , где T т является оператором транспонирования T .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Штейн, Элиас (1993). «Гармонический анализ». Издательство Принстонского университета.
  2. ^ Jump up to: а б с Графакос, Лукас (2004), «7», Классический и современный анализ Фурье , Нью-Джерси: Pearson Education, Inc.
  3. ^ Дэйвид; Семмес; День (1985). «Операторы Кальдерона – Зигмунда, парааккретивные функции и интерполяция» (на французском языке). Полет. 1. Ибероамериканская математическая версия. стр. 1–56.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 78fad5bcf0aa141e294fb71cc700bd93__1688039160
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/78/93/78fad5bcf0aa141e294fb71cc700bd93.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Singular integral - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)