Оператор Неймана–Пуанкаре

В математике оператор Неймана-Пуанкаре или оператор Пуанкаре-Неймана , названный в честь Карла Неймана и Анри Пуанкаре , представляет собой несамосопряженный компактный оператор, введенный Пуанкаре для решения краевых задач для лапласиана в ограниченных областях в евклидовом пространстве. На языке теории потенциала оно сводит уравнение в частных производных к интегральному уравнению на границе, к которому может быть применена теория операторов Фредгольма . Теория особенно проста в двух измерениях (случай подробно рассматривается в этой статье), где она связана с теорией комплексных функций , сопряженным преобразованием Берлинга или комплексным преобразованием Гильберта и собственными значениями Фредгольма ограниченных плоских областей.

Задачи Дирихле и Неймана

См. Также: граничные условия Дирихле и граничные условия Неймана.

Теорема Грина для ограниченной области Ω на плоскости с гладкой границей ∂Ω утверждает, что

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }A\,dx+B\,dy=\iint _{\Omega }(B_{x}-A_{y})\,dx\,dy.}$

Один из прямых способов доказать это состоит в следующем. Методом вычитания достаточно доказать теорему для области, ограниченной простой гладкой кривой. Любой такой диффеоморфен замкнутому единичному кругу . Заменой переменных достаточно доказать результат. Разделив члены A и B , правую часть можно записать в виде двойного интеграла, начиная с направления x или y , к которому фундаментальную теорему исчисления можно применить . При этом интеграл по диску преобразуется в интеграл по его границе.

Пусть Ω — область, ограниченная простой замкнутой кривой. Для гладкой функции f на замыкании Ω ее нормальная производная ∂ _n f в граничной точке является производной по направлению в направлении вектора нормали, указывающего наружу. Применение теоремы Грина с A = v _x u и B = v _y u дает первое из тождеств Грина :

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }u\,\partial _{n}v=\iint _{\Omega }u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}-u\,\Delta v,}$

где лапласиан Δ определяется выражением

$\displaystyle \Delta =-\partial _{x}^{2}-\partial _{y}^{2}.$

Поменяв местами u и v и вычитая второе тождество Грина:

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }u\,\partial _{n}v-\partial _{n}u\,v=\iint _{\Omega }\,\Delta u\,v-u\,\Delta v.}$

Если теперь u гармонична в Ω и v = 1, то из этого тождества следует, что

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }\partial _{n}u=0,}$

поэтому интеграл от нормальной производной гармонической функции на границе области всегда обращается в нуль.

Аналогичный аргумент показывает, что среднее значение гармонической функции на границе диска равно ее значению в центре. При перемещении диска можно считать, что его центр находится в 0. Тождество Грина можно применить к кольцу, образованному границей диска, и небольшому кругу с центром в 0 с v = z. ² : отсюда следует, что среднее не зависит от окружности. Он стремится к значению, равному 0, по мере уменьшения радиуса меньшего круга. Этот результат также легко получить, используя ряд Фурье и интеграл Пуассона .

Для непрерывных функций f на всей плоскости, гладких в Ω и дополнительной области Ω ^с , первая производная может иметь скачок через границу Ω. Значение нормальной производной в граничной точке можно вычислить изнутри или снаружи Ω. Внутреннюю нормальную производную будем обозначать ∂ _{n −,} а внешнюю нормальную производную – ∂ _{n +} . Используя эту терминологию, четыре основные проблемы классической теории потенциала заключаются в следующем:

• Внутренняя задача Дирихле: ∆ u = 0 в Ω, u = f на ∂Ω
• Внутренняя задача Неймана: ∆ u = 0 в Ω, ∂ _{n −} u = f на ∂Ω
• Внешняя задача Дирихле: ∆ u = 0 в Ω ^с , u = f на ∂Ω, u непрерывна в ∞
• Внешняя задача Неймана: ∆ u = 0 в Ω ^с , _{∂n +} u = f на ∂Ω, u непрерывна в ∞

Для внешних задач отображение инверсии z ⁻¹ принимает гармонические функции на Ω ^с в гармонические функции на образе Ω ^с под картой инверсии. Преобразование v функции u непрерывно в маленьком круге | г | ≤ r и гармонична всюду внутри, кроме, возможно, 0. Пусть w — гармоническая функция, заданная интегралом Пуассона на | г | ≤ r с тем же граничным значением g, что и v на | г | = р . Применяя принцип максимума к v - ш + ε журнал | г | по δ ≤ | г | ≤ r , оно должно быть отрицательным при малых δ. Следовательно, v ( z ) ≤ u ( z ) для z ≠ 0. Тот же аргумент применим, если v и w поменяны местами, поэтому v = w является гармоническим в диске. Таким образом, особенность в точке ∞ устранима.

По принципу максимума внутренние и внешние задачи Дирихле имеют единственные решения. Для внутренней задачи Неймана, если решение u является гармоническим относительно 0 и его внутренняя нормальная производная равна нулю, то из первого тождества Грина следует u _x = 0 = u _y , так что u является постоянным. Это показывает, что внутренняя проблема Неймана имеет единственное решение с точностью до добавления констант. Применяя обращение, то же самое справедливо и для внешней задачи Неймана.

Для обеих задач Неймана необходимым условием существования решения является

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }f\,\,=\,\,0.}$

Для внутренней задачи Неймана это следует из установки v = 1 во втором тождестве Грина. Для внешней задачи Неймана то же самое можно сделать и для пересечения Ω ^с и большой диск | г | < R , давая

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }f\,\,=\,\,\int _{|z|=R}\partial _{n}u.}$

В точке ∞ u — действительная часть голоморфной функции F с

$\displaystyle {F(z)=a_{0}+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots }$

Внутренняя нормальная производная на | г | = R — это просто радиальная производная ∂ _r , так что для | г | = Р

$\displaystyle {|\partial _{r}F(z)|=|F^{\prime }(z)|\leq CR^{-2}.}$

Следовательно

$\displaystyle {\left|\int _{|z|=R}\partial _{n}u\right|\leq 2\pi CR^{-1},}$

поэтому интеграл по ∂Ω должен обращаться в нуль.

лапласиана Фундаментальное решение дается выражением

$\displaystyle {E(z)=-{1 \over 2\pi }\log |z|.}$

N ( z ) = − E ( z ) называется ньютоновским потенциалом на плоскости. Используя полярные координаты, легко увидеть, что Е находится в Л ^п на любом замкнутом диске для любого конечного p ≥ 1. Сказать, что E является фундаментальным решением лапласиана, означает, что для любой гладкой функции φ с компактным носителем

$\displaystyle {\iint E\cdot \Delta \varphi =\varphi (0).}$

Стандартное доказательство использует второе тождество Грина на кольце r ≤ | г | ≤ R , где носитель φ содержится в | г | < Р . Фактически, поскольку E является гармонической вдали от 0,

$\displaystyle {\iint _{|z|\geq r}E\cdot \Delta \varphi ={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (re^{i\theta })-r\cdot \log r\cdot \partial _{n}\varphi (re^{i\theta })\,d\theta .}$

Когда r стремится к нулю, первое слагаемое в правой части стремится к φ(0), а второе — к 0, поскольку r log r стремится к 0, а нормальные производные φ равномерно ограничены. (То, что обе стороны равны еще до перехода к пределам, следует из того факта, что среднее значение гармонической функции на границе диска равно ее значению в центре, а интеграл от ее нормальной производной обращается в нуль.)

Ядро Неймана – Пуанкаре

Свойства фундаментального решения приводят к следующей формуле восстановления гармонической функции u в Ω по ее граничным значениям:

$\displaystyle {u(z)=\int _{\partial \Omega }K(z,w)u(w)-N(z-w)\partial _{n}u(w)\,|dw|,}$

где K — ядро ​​Неймана–Пуанкаре

$\displaystyle {K(z,w)=\partial _{n,w}N(z-w).}$

Чтобы доказать это тождество, второе тождество Грина можно применить к Ω с удаленным небольшим диском с центром в z . Это сводится к демонстрации того, что тождество сохраняется в пределе для небольшого диска с центром в z, уменьшающегося в размерах. При переводе можно предположить, что z = 0, и тождество становится

$\displaystyle {u(0)=\lim _{r\rightarrow 0}{1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }u(re^{i\theta })-r\cdot \log r\cdot \partial _{r}u(re^{i\theta })\,d\theta ,}$

что было доказано выше. Аналогичная формула справедлива для функций, гармонических в Ω ^с :

$\displaystyle {u(z)=\int _{\partial \Omega }-K(z,w)u(w)+N(z-w)\partial _{n}u(w)\,|dw|.}$

Знаки поменялись местами из-за направления нормальной производной.

В двух измерениях ядро ​​Неймана–Пуанкаре K ( z , w ) обладает замечательным свойством: оно ограничивается гладкой функцией на ∂Ω × ∂Ω. она Априори определяется только как гладкая функция вне диагонали, но допускает (единственное) гладкое продолжение на диагональ. Используя векторную запись v ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) для параметризации граничной кривой по длине дуги, справедливы следующие классические формулы:

$\displaystyle {{\dot {\mathbf {v} }}\cdot {\dot {\mathbf {v} }}=1,\,\,\,{\ddot {\mathbf {v} }}\cdot {\dot {\mathbf {v} }}=0.}$

Таким образом, единичный касательный вектор t ( t ) в точке t является вектором скорости .

$\displaystyle {\mathbf {t} ={\dot {\mathbf {v} }},}$

поэтому ориентированная единичная нормаль n ( t ) равна

$\displaystyle {\mathbf {n} =(-{\dot {y}},{\dot {x}}).}$

Константа, связывающая вектор ускорения с вектором нормали, представляет собой кривизну кривой:

$\displaystyle {{\ddot {\mathbf {v} }}=\kappa (t)\,\mathbf {n} (t).}$

Таким образом, кривизна определяется выражением

$\displaystyle {\kappa ={\ddot {\mathbf {v} }}\cdot \mathbf {n} ={\ddot {y}}{\dot {x}}-{\ddot {x}}{\dot {y}}.}$

Есть еще две формулы Френе :

$\displaystyle {{\dot {\mathbf {n} }}=-\kappa \mathbf {t} ,\,\,\,{\ddot {\mathbf {n} }}={\dot {\kappa }}\mathbf {n} -\kappa ^{2}\mathbf {t} .}$

Ядро Неймана–Пуанкаре задается формулой

$\displaystyle {K(\mathbf {u} ,\mathbf {v} (t))=-{1 \over 2\pi }{(\mathbf {u} -\mathbf {v} (t))\cdot \mathbf {n} (t) \over |\mathbf {u} -\mathbf {v} |^{2}}.}$

Для s ≠ t положим

$\displaystyle {k(s,t)=K(v(s),v(t)).}$

Функция

$\displaystyle {a(s,t)={|v(s)-v(t)|^{2} \over |e^{is/L}-e^{it/L}|^{2}}}$

является гладким и нигде не обращается в нуль с a ( s , s ) = L ² если длина кривой равна 2 π L .

Аналогично функция

$\displaystyle {b(s,t)={(\mathbf {v} (s)-\mathbf {v} (t))\cdot \mathbf {n} (t) \over |e^{is/L}-e^{it/L}|^{2}}}$

гладкий. Фактически, записывая s = t + h ,

$\displaystyle {\mathbf {v} (t+h)-\mathbf {v} (t)=h\mathbf {t} (t)+{h^{2} \over 2}\kappa (t)\mathbf {n} (t)-{h^{3} \over 6}\kappa (t)\mathbf {t} (t)+{h^{4} \over 24}({\dot {\kappa }}\mathbf {n} -\kappa ^{2}\mathbf {t} )+\cdots ,}$

так что

$\displaystyle {h^{-2}(\mathbf {v} (t+h)-\mathbf {v} (t))\cdot \mathbf {n} (t)=\kappa (t)/2+h^{2}{\dot {\kappa }}(t)/24+\cdots }$

На диагонали b ( t , t ) = κ L ² / 2. Поскольку k пропорционально b / a , оно также является гладким. Его диагональные значения определяются формулой

$\displaystyle {k(t,t)=-{\kappa (t) \over 4\pi }.}$

Другое выражение для k ( s , t ) выглядит следующим образом:

$\displaystyle {k(s,t)={1 \over 2\pi }\partial _{t}\arg(z(s)-z(t)),}$

где z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) — граничная кривая, параметризованная длиной дуги. Это следует из тождества

$\displaystyle {\log z=\log |z|+i\arg z}$

и уравнения Коши – Римана , которые можно использовать для выражения нормальной производной через тангенциальную производную, и

$\displaystyle {K(\mathbf {v} (t)+\lambda \mathbf {n} (t),\mathbf {v} (t))=-{1 \over 2\pi \lambda },}$

поэтому в направлении, нормальном к границе, кривая K на границе разрывна.

Потенциалы двойного слоя

Потенциал двойного слоя с моментом φ в C(∂Ω) определяется в дополнении к ∂Ω как

$\displaystyle {D(\varphi )(z)=\int _{\partial \Omega }K(z,w)\varphi (w)\,|dw|.}$

Это непрерывная функция дополнения. Поскольку ограничение K распространяется на гладкую функцию на ∂Ω × ∂Ω, D (φ) также можно определить на ∂Ω. Однако, как и ядро ​​Неймана–Пуанкаре, оно будет иметь разрывы на границе. Это скачкообразные разрывы. Если φ действительно, то потенциал двойного слоя представляет собой просто действительную часть интеграла Коши:

$\displaystyle {D(\varphi )(z)=\Re {1 \over 2\pi i}\int _{\partial \Omega }{\varphi (w) \over w-z}\,dw.}$

Самый простой случай — когда φ тождественно равен 1 на ∂Ω. В этом случае D (1) равен

• 1 на Ω — обращением в нуль интеграла от нормальной производной на граничной области, ограниченной ∂Ω и небольшим диском с центром в z ; поэтому интеграл по ∂Ω равен среднему значению функции 1 на границе малого диска и, следовательно, равен 1. (Этот интеграл и интеграл для Ω ^с также можно вычислить с помощью интегральной теоремы Коши .)
• 0 на Ом ^с , поскольку это интеграл от нормальной производной гармонической функции.
• 1/2 на ∂Ω, так как

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }K(z,w)|dw|={1 \over 2\pi }\int _{s-\pi L}^{s+\pi L}\partial _{t}\arg(z(s)-z(t))\,dt=1/2.}$

По определению оператор Неймана–Пуанкаре T _K — это оператор на L ² (∂Ω), заданное ядром K ( z , w ). Это оператор Гильберта–Шмидта, поскольку ядро ​​непрерывно. Он принимает значения в C ^∞ (∂Ω), так как ядро ​​гладкое. Третье вычисление выше эквивалентно утверждению, что постоянная функция 1 является собственной функцией T _K с собственным значением 1/2.

Чтобы установить формулы скачка для более общих функций, необходимо проверить, что интегралы для D (1) сходятся равномерно и абсолютно, т. е. существует равномерная конечная граница C такая, что

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }|K(z,w)|\,|dw|\leq C}$

для всех z, не находящихся на границе. Достаточно проверить это для точек в трубчатой ​​окрестности границы. Любая такая точка u лежит на нормали через единственную точку, скажем, v (0) на кривой, и достаточно посмотреть на вклад в интеграл от точек v ( t ) с t в небольшом интервале около 0. Запись

$\displaystyle {\mathbf {u} =\mathbf {v} (0)+\lambda \mathbf {n} (0),}$

отсюда следует, что

$\displaystyle {\mathbf {v} (t)-\mathbf {u} =-\lambda \mathbf {n} (0)+t\mathbf {t} (0)+{t^{2} \over 2}\kappa (0)\mathbf {n} (0)+O(t^{3}).}$

Итак, при t достаточно малом

$\displaystyle {|\mathbf {v} (t)-\mathbf {u} |^{2}=\lambda ^{2}+t^{2}(1-\lambda \kappa (0))+O(t^{3})\geq (\lambda ^{2}+t^{2})/2,\,\,\,\,\,\,|(\mathbf {v} (t)-\mathbf {u} )\cdot \mathbf {n} (0)|=|-\lambda +{t^{2} \over 2}\kappa (0)+O(t^{3})|\leq |\lambda |+C_{1}t^{2}}$

для некоторой константы C ₁ . (Первое неравенство дает приближенную версию теоремы Пифагора в трубчатой ​​окрестности.) Следовательно,

$\displaystyle {2\pi \cdot |K(\mathbf {u} ,\mathbf {v} (t))|={|(\mathbf {v} (t)-\mathbf {u} )\cdot \mathbf {n} (0)| \over |\mathbf {v} (t)-\mathbf {u} |^{2}}\leq {2|\lambda |+C_{1}t^{2} \over \lambda ^{2}+t^{2}}\leq {2|\lambda | \over \lambda ^{2}+t^{2}}+C_{1}.}$

Равномерная ограниченность следует из того, что первый член имеет конечный интеграл, не зависящий от λ:

$\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }{|\lambda |\,dt \over t^{2}+\lambda ^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{dt \over t^{2}+1}=\pi <\infty .}$

Приведенную выше оценку можно использовать для доказательства того, что если момент φ обращается в нуль в граничной точке z , то его потенциал двойного слоя D (φ) непрерывен в точке z . В более общем смысле, если φn _{равномерно} стремится к φ, то D (φn ₎ ( zn ₎ сходится к D (φ)( z ). Действительно, предположим, что |φ( w )| ≤ ε, если | ш - я | ≤ δ. Взяв z _n стремясь к z

$|D(\varphi _{n})(z_{n})-D(\varphi )(z)|\leq \int _{|w-z|\geq \delta }|K(z_{n},w)-K(z,w)||\varphi (w)|\,|dw|+\int _{|w-z|\leq \delta }(|K(z_{n},w)|+|K(z,w)|)\cdot |\varphi (w)|\,|dw|$

$+\int _{\partial \Omega }|K(z_{n},w)|\cdot |\varphi _{n}(w)-\varphi (w)|\,|dw|.$

Первый подынтегральная функция равномерно стремится к 0, поэтому интеграл стремится к 0. Второй интеграл ограничен сверху величиной 2ε C . Третий интеграл ограничен C, умноженным на верхнюю норму φ _n − φ. Следовательно, D (φ)( z _n ) стремится к D (φ)( z ).

ФОРМУЛЫ ПРЫГА. Если φ — непрерывная функция на ∂Ω, то ограничения ее потенциала двойного слоя u = D φ на Ω и Ω ^с однозначно распространяются на непрерывные функции на своих замыканиях. Пусть u ₋ и u ₊ — результирующие непрерывные функции на ∂Ω. Затем

$\displaystyle {u_{-}(z)={1 \over 2}\varphi (z)+T_{K}\varphi (z),\,\,\,\,\,u_{+}(z)=-{1 \over 2}\varphi (z)+T_{K}\varphi (z).}$

В частности

$\displaystyle {\varphi =u_{-}-u_{+}.}$

На самом деле выражения для u _± непрерывны, поэтому достаточно показать, что если z _n стремится к граничной точке z с z _n в Ω или Ω ^с тогда u ( z _n ) стремится к выражению для u _± ( z ). Если z _n лежат в Ω или Ω ^с затем

$\displaystyle {u(z_{n})\mp {1 \over 2}\varphi (z)-T_{K}\varphi (z)=\int _{\partial \Omega }(K(z_{n},w)-K(z,w))(\varphi (w)-\varphi (z))\,|dw|=D(\psi )(z_{n})-D(\psi )(z),}$

где ψ( ш ) = φ( ш ) - φ ( z ). Правая часть стремится к нулю, поскольку ψ обращается в нуль в точке z .

Однослойные потенциалы

Однослойный потенциал с моментом φ в C(∂Ω) определяется на C как

$\displaystyle {S(\varphi )(z)=\int _{\partial \Omega }N(z-w)\varphi (w)\,|dw|,}$

где N - ньютоновский потенциал

$\displaystyle {N(z)={1 \over 2\pi }\log |z|.}$

Потенциал одного слоя является гармоническим относительно ∂Ω. С

$\displaystyle {S(\varphi )(z)={1 \over 2\pi }\int _{\partial }(\log |z-w|-\log |z|)\varphi (w)\,|dw|+{\log |z| \over 2\pi }\int \varphi (w)\,|dw|,}$

и первая подынтегральная функция равномерно стремится к 0 при | г | стремится к бесконечности, потенциал однослойного слоя гармоничен на бесконечности тогда и только тогда, когда ∫ φ = 0.

непрерывен на C. Потенциал однослойного слоя На самом деле непрерывность вне ∂Ω очевидна. Если z _n стремится к z с z в ∂Ω, то

$|S(\varphi )(z)-S(\varphi )(z_{n})|\leq {1 \over 2\pi }\int _{|w-z|\geq \varepsilon }|\log |z-w|-\log |z_{n}-w||\,|\varphi (w)|\,|dw|+\|\varphi \|_{\infty }\int _{|w-z|\leq \varepsilon }(|\log |z-w||+|\log |z_{n}-w||)\,|dw|.$

Первое подынтегральное выражение равномерно стремится к 0 на | ш - я | ≥ ε. При достаточно большом n последний интеграл ограничен величиной

$\displaystyle {2\int _{|w-z|\leq 2\varepsilon }|\log |z-w||\,\,|dw|,}$

которое стремится к 0, когда ε стремится к 0, по неравенству Коши – Шварца , поскольку подынтегральная функция интегрируема с квадратом.

Тот же аргумент показывает, что S = T _N определяет ограниченный оператор на C(∂Ω):

$\displaystyle {\|S\varphi \|_{\infty }\leq C^{\prime }\|\varphi \|_{\infty },}$

для φ в C(∂Ω).

Хотя потенциалы однослойного слоя непрерывны, их первые производные имеют скачок на ∂Ω. В трубчатой ​​окрестности ∂Ω нормальная производная определяется формулой

$\displaystyle {\partial _{n}u(z+a\mathbf {n} _{z})={d \over dt}a(z+t\mathbf {n} _{z})|_{t=a}.}$

Отсюда следует, что

$\displaystyle {\partial _{n}S(\varphi )(z)=\int _{\partial \Omega }K(w,z)\varphi (w)\,|dw|,}$

поэтому оно задается присоединенным ядром K :

$\displaystyle {K^{*}(z,w)=K(w,z).}$

Ядро K * естественным образом продолжается до гладкой функции на ∂Ω × ∂Ω, а оператор T _{K *} является сопряженным к T _K на L ² (∂Ω).

ФОРМУЛЫ ПРЫГА. Если φ — непрерывная функция на ∂Ω, нормальные производные однослойного потенциала u = S (φ) на Ω и Ω ^с вблизи ∂Ω непрерывно продолжаются до замыкания обеих областей, определяя непрерывные функции ∂n _{- u} и ∂n _{+ u} на ∂Ω. Затем

$\displaystyle {\partial _{n-}u(z)=-{1 \over 2}\varphi (z)+T_{K}^{*}\varphi (z),\,\,\,\,\,\partial _{n+}u(z)={1 \over 2}\varphi (z)+T_{K}^{*}\varphi (z).}$

В частности

$\displaystyle {\varphi =\partial _{n+}u-\partial _{n-}u.}$

Действительно, пусть v = D (φ) — потенциал двойного слоя с моментом φ. На множестве ∂Ω

$\displaystyle {f=T_{K}\varphi +T_{K}^{*}\varphi }$

и на дополнении ∂Ω в трубчатом множестве окрестностей

$\displaystyle {f=v+\partial _{n}u.}$

Тогда f непрерывна в трубчатой ​​окрестности. Фактически, по определению непрерывно на ∂Ω и его дополнении, поэтому достаточно, чтобы f ( zn ₎ стремилась к f ( z ) всякий раз, когда zn _— последовательность точек в дополнении, стремящаяся к граничной точке z . В этом случае

$\displaystyle {f(z_{n})-f(z)=\int _{\partial \Omega }(K(w,z_{n})+K(z_{n},w)-K(w,z)-K(z,w))\varphi (w)\,|dw|=\int _{|w-z|\geq \delta }+\int _{|w-z|\leq \delta }.}$

Подынтегральная функция равномерно стремится к 0 при | ш - z | ≥ δ, поэтому первый интеграл стремится к 0. Чтобы показать, что второй интеграл мал при малом δ, достаточно показать, что подынтегральная функция равномерно ограничена. Это следует из того, что если ζ _n — точка на ∂Ω с нормалью, содержащей z _n , то

$\displaystyle {2\pi |K(z_{n},w)+K(w,z_{n})|={|(z_{n}-w)\cdot (\mathbf {n} _{\zeta _{n}}-\mathbf {n} _{w})| \over |z_{n}-w|^{2}}\leq {|\mathbf {n} _{\zeta _{n}}-\mathbf {n} _{w}| \over |z_{n}-w|}={|\mathbf {n} _{\zeta _{n}}-\mathbf {n} _{w}| \over |\zeta _{n}-w|}\cdot {|\zeta _{n}-w| \over |z_{n}-w|}.}$

Первый член последнего произведения равномерно ограничен из-за гладкости отображения Гаусса n ( t ). Второй равномерно ограничен из-за приближенной версии теоремы Пифагора:

$\displaystyle {|z_{n}-w|^{2}\geq (|z_{n}-\zeta _{n}|^{2}+|\zeta _{n}-w|^{2})/2.}$

Непрерывность f означает, что на ∂Ω

$\displaystyle {T_{K}\varphi +T_{K}^{*}\varphi =v_{\pm }+\partial _{n\pm }u=\mp \varphi /2+T_{K}\varphi +\partial _{n\pm }u,}$

что дает формулы скачка.

Производные потенциалов слоев

Если момент φ гладкий, производные потенциалов одинарного и двойного слоев на Ω и Ω ^с непрерывно распространяться до их замыканий.

Как обычно, градиент функции f, определенной на открытом множестве в R ² определяется

$\displaystyle {\nabla f=(\partial _{x}f,\partial _{y}f).}$

Набор

$\displaystyle {{\widetilde {\nabla }}f=(\partial _{y}f,-\partial _{x}f).}$

Если момент φ гладкий, то

$\displaystyle {\nabla S(\varphi )=-D(\varphi \mathbf {n} )+S(\partial _{t}(\varphi \mathbf {t} )),\,\,\,\nabla D(\varphi )={\widetilde {\nabla }}S({\dot {\varphi }}).}$

Фактически

$\displaystyle {\nabla _{z}N(z-w)=-\nabla _{w}N(z-w)=-\partial _{n,w}N(z-w)\mathbf {n} _{w}-\partial _{t}N(z-w)\mathbf {t} _{w},}$

так что

$\displaystyle {\nabla S(\varphi )=-D(\varphi \mathbf {n} )-\int _{\partial \Omega }(\partial _{t}N(z-\mathbf {v} (t)))\varphi (t)\mathbf {t} (t)\,dt=-D(\varphi \mathbf {n} )+S(\partial _{t}(\varphi \mathbf {t} )).}$

Более того

$\displaystyle {\nabla D(\varphi )=\int _{\partial \Omega }\Delta _{z}N(z-w)\mathbf {n} \varphi -{\widetilde {\nabla }}\int _{\partial \Omega }\partial _{t}N(z-\mathbf {v} (t))\,\varphi \,dt={\widetilde {\nabla }}S({\dot {\varphi }}).}$

Второе соотношение можно переписать, подставив его из первого соотношения:

$\displaystyle {\nabla D(\varphi )=D({\dot {\varphi }}\mathbf {t} )+S(\partial _{t}({\dot {\varphi }}\mathbf {n} )),}$

Регулярность потенциалов слоев. Вследствие этих соотношений все последовательные производные могут быть выражены через потенциалы одно- и двухслойных гладких моментов на границе. Поскольку потенциалы слоев на Ω и Ω ^с имеют непрерывные пределы на границе, то они определяют гладкие функции на замыканиях Ω и Ω ^с .

Непрерывность нормальных производных потенциалов двойного слоя. Подобно тому, как потенциалы однослойного слоя непрерывны на границе со скачком нормальной производной, так и потенциалы двойного слоя имеют скачок через границу, в то время как их нормальные производные непрерывны. Фактически из формулы выше

$\displaystyle {\partial _{n}D(\varphi )(\mathbf {v} (s)+\lambda \mathbf {n} (s))=D({\dot {\varphi }}\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} (s))+S(\partial _{t}({\dot {\varphi }}\mathbf {n} )\cdot \mathbf {n} (s)).}$

Если s _n стремится к s, а λ _n стремится к 0, то первое слагаемое стремится к T _K ( v (s)), поскольку моменты равномерно стремятся к моменту, обращающемуся в нуль при t = s ; второй член непрерывен, поскольку представляет собой потенциал одного слоя.

Решение задач Дирихле и Неймана

См. Также: Пространства Соболева для плоских областей § Приложение к задаче Неймана.

следующие свойства T = T _K Для решения краевой задачи необходимы :

• 1/2 не является обобщенным собственным значением Т _К или Т _К *; у него кратность равна единице.
• −1/2 не является собственным значением T _K или T _K *.

Фактически, поскольку I + T является фредгольмовым оператором индекса 0, он и сопряженный с ним оператор имеют ядра одинаковой размерности. То же самое относится и к любой степени этого оператора. Поэтому достаточно проверить каждое из утверждений либо для T , либо для T *. Чтобы проверить, что T не имеет обобщенных собственных векторов с собственным значением 1/2, достаточно показать, что

$\displaystyle {T_{K}\varphi -{1 \over 2}\varphi =1}$

не имеет решений. Определение потенциала двойного слоя показывает, что он обращается в нуль при ∞, поэтому он гармоничен при ∞. Приведенное выше уравнение показывает, что если u = D (φ), то u ₊ = 1. С другой стороны, применение отображения инверсии дает противоречие; поскольку это создало бы гармоническое отображение в ограниченной области, исчезающее во внутренней точке с граничным значением 1, что противоречит тому факту, что 1 является единственным гармоническим отображением с граничным значением 1. Если собственное значение 1/2 имеет кратность больше 1, существует момент φ такой, что T *φ = φ/2 и ∫ φ = 0. Отсюда следует, что если u = S (φ), то ∂ _{n −} u = 0. По единственности u постоянна на Ω. Поскольку u непрерывна на R ² ∪ ∞, гармоничен в точке ∞ (поскольку ∫ φ = 0) и постоянен на ∂Ω, он должен быть равен нулю. Следовательно, φ = ∂ _{n +} u − ∂ _{n −} u = 0. Таким образом, собственное пространство одномерно и собственная функция ψ может быть нормализована так, что S (ψ) = 1 на ∂Ω.

В общем, если

$\displaystyle {T_{K}^{*}\varphi +{1 \over 2}\varphi =f,}$

затем

$\displaystyle {\int \varphi =\int f,}$

с

$\int f=(f,1)=((T_{K}^{*}+{1 \over 2})\varphi ,1)=(\varphi ,(T_{K}+{1 \over 2})1)=(\varphi ,1)=\int \varphi .$

Если φ удовлетворяет

$\displaystyle {T_{K}^{*}\varphi +{1 \over 2}\varphi =0,}$

отсюда следует, что ∫ φ = 0 и, следовательно, u = S (φ) гармонична на бесконечности. По формулам скачка ∂ _{n -} u = 0. По единственности u постоянна на Ω. По непрерывности он постоянен на ∂Ω. Поскольку он гармоничен на Ω ^с и исчезает в бесконечности, он должен исчезнуть тождественно. Как и выше, это силы φ = 0.

Эти результаты о собственных значениях T _K приводят к следующим выводам о четырех краевых задачах:

• всегда существует единственное решение внутренних и внешних задач Дирихле;
• существует решение внутренней и внешней задачи Неймана тогда и только тогда, когда ∫ f = 0; решение единственно с точностью до константы для внутренней задачи Неймана и единственно для внешней задачи;
• решение является гладким на замыкании области, если граничные данные гладкие.

Решение получается следующим образом:

• Внутренняя задача Дирихле. Пусть φ — единственное решение уравнения T _K φ + φ/2 = f . Тогда u = D (φ) дает решение задачи Дирихле в Ω по формуле скачка.
• Внешняя задача Дирихле. Поскольку 1 не находится в диапазоне T _K − ½ I , f можно однозначно записать как f = T _K φ − φ/2 + λ, где φ уникальна с точностью до константы. Тогда u = D (φ) + λ S (ψ) дает решение задачи Дирихле в Ω ^с по формуле скачка.
• Внутренняя задача Неймана. Условие ( f ,1) = 0 означает, что f = T _K *φ − φ/2 можно решить. Тогда u = S (φ) дает решение задачи Неймана в Ω по формуле скачка.
• Внешняя задача Неймана. Пусть φ — единственное решение T _K *φ + φ/2 = f . Тогда u = S (φ) дает решение задачи Неймана в Ω по формуле скачка.

Гладкость решения следует из регулярности потенциалов одиночного и двойного слоев.

Кальдеронский проектор

Основная статья: проектор Кальдерона

Еще одно следствие законов, управляющих производными, которое завершает симметрию отношений скачка, состоит в том, что нормальная производная потенциала двойного слоя не имеет скачка через границу, т.е. она имеет непрерывное продолжение до трубчатой ​​окрестности границы, заданной к

$\displaystyle {H(\varphi )=-\partial _{n}D(\varphi )|_{\partial \Omega }=-\partial _{t}(S(\partial _{t}\varphi )|_{\partial \Omega }).}$

H называется гиперсингулярным оператором . Хотя он переводит гладкие функции в сглаживающие функции, он не является ограниченным оператором в L ² (∂Ом). Фактически это псевдодифференциальный оператор порядка 1, поэтому он определяет ограниченный оператор между пространствами Соболева на ∂Ω, уменьшая порядок на 1. Он позволяет определить матрицу операторов 2 × 2 формулой

$\displaystyle {C={\begin{pmatrix}{1 \over 2}I+T_{K}&S\\H&{1 \over 2}I-T_{K}^{*}\end{pmatrix}}.}$

Матрица удовлетворяет условию C ² = C , так же как и идемпотент , называемый проектором Кальдерона. Это тождество эквивалентно следующим классическим соотношениям, первым из которых является соотношение симметризации Племеля:

$\displaystyle {ST^{*}=TS,\,\,\,SH={1 \over 4}I-T^{2},\,\,\,HS={1 \over 4}I-(T^{*})^{2},\,\,\,HT=T^{*}H.}$

Операторы T и S являются псевдодифференциальными операторами порядка −1. Приведенные выше соотношения следуют из рассмотрения u = S (φ). Он имеет граничное значение S φ) и нормальную производную T * φ − φ/2. Следовательно, в Ω

$\displaystyle {u=D(S\varphi )-S(T^{*}\varphi )+S(\varphi )/2.}$

Если взять граничные значения обеих сторон и их нормальную производную, получим 2 уравнения. Еще два результата, учитывая D (Ψ); это подразумевает отношения для проектора Кальдерона.

Собственные значения Фредгольма

Смотрите также: Симметризуемый компактный оператор и матрица Грунского § Оператор Грунского и определитель Фредгольма

Ненулевые собственные значения оператора Неймана–Пуанкаре T _K называются собственными значениями Фредгольма области Ω. Поскольку T _K — компактный оператор , фактически оператор Гильберта–Шмидта , все ненулевые элементы в его спектре являются собственными значениями конечной кратности согласно общей теории операторов Фредгольма . Решение граничного значения требует знания спектра при ± 1/2, а именно того, что постоянная функция дает собственную функцию с собственным значением 1/2 и кратностью один; что не существует соответствующих обобщенных собственных функций с собственным значением 1/2; и что -1/2 не является собственным значением. Племель (1911) доказал, что все ненулевые собственные значения действительны и содержатся в интервале (-1/2,1/2]. Блюменфельд и Майер (1914) доказали, что другие ненулевые собственные значения обладают важным свойством симметрии, а именно |λ| 0 < если значением с _{λ является собственным} что симметризуемый компактный оператор , так что, хотя он и не является самосопряженным, он разделяет многие свойства самосопряженных операторов, в частности, не существует обобщенных собственных функций для ненулевых собственных значений и существует. вариационный принцип, аналогичный принципу минимакса для определения ненулевых собственных значений.

Если λ ≠ 1/2 является собственным значением T _K *, то λ вещественный, причем λ ≠ ± 1/2. Пусть φ — соответствующая собственная функция и, следуя Племелю, положим u = S (φ). Тогда из формул скачка следует, что

$\displaystyle {\partial _{n\pm }u=(\lambda \mp {1 \over 2})\varphi ,}$

и, следовательно, это

$\displaystyle {(\lambda +{1 \over 2})\int _{\partial \Omega }\partial _{n+}u\,{\overline {u}}=(\lambda -{1 \over 2})\int _{\partial \Omega }\partial _{n-}u\,{\overline {u}}.}$

Поскольку ∫ φ = 0, u гармонична в точке ∞. Итак, по теореме Грина

$\displaystyle {(\lambda +{1 \over 2})\iint _{\Omega }|u_{x}|^{2}+|u_{y}|^{2}=(\lambda -{1 \over 2})\iint _{\Omega ^{c}}|u_{x}|^{2}+|u_{y}|^{2}.}$

Если оба интеграла равны нулю, то u постоянно на Ω и Ω ^с . Поскольку он непрерывен и обращается в нуль в точке ∞, поэтому он должен быть тождественно равен 0, что противоречит φ = ∂ _{n +} - ∂ _{n -} . Таким образом, оба интеграла строго положительны и, следовательно, λ должен лежать в (−½,½).

Пусть φ — собственная функция T _K * с вещественным собственным значением λ, удовлетворяющая условию 0 < |λ| < 1/2. Если u = S (φ), то на ∂Ом

$\displaystyle {u_{+}=u_{-},\,\,\,{\partial _{n+}u \over \lambda +{1 \over 2}}={\partial _{n_{-}}u \over \lambda -{1 \over 2}}=\varphi .}$

Этот процесс можно обратить вспять. Пусть u — непрерывная функция на R ² ∪ ∞, который гармоничен на Ω и Ω ^с ∪ ∞ и такие, что производные u на Ω и Ω ^с непрерывно распространяться до их замыканий. Предположим, что

$\displaystyle {{\partial _{n+}u \over \lambda +{1 \over 2}}={\partial _{n_{-}}u \over \lambda -{1 \over 2}}=\varphi .}$

Пусть ψ — ограничение u на ∂Ω. Затем

$\displaystyle {u|_{\Omega }=D(\psi )-(\lambda -{1 \over 2})S(\varphi ),\,\,\,u|_{\Omega ^{c}}=-D(\psi )+(\lambda +{1 \over 2})S(\varphi ).}$

Формулы скачка для граничных значений и нормальных производных дают

$\displaystyle {\psi =T\psi +{1 \over 2}\psi -(\lambda -{1 \over 2})S\varphi =-(T\psi -{1 \over 2}\psi )+(\lambda +{1 \over 2})S\varphi }$

и

$\displaystyle {(\lambda -{1 \over 2})\varphi =\partial _{n}D(\psi )|_{\partial \Omega }-(\lambda -{1 \over 2})(T^{*}\varphi -{1 \over 2}\varphi ),\,\,\,\,(\lambda +{1 \over 2})\varphi =-\partial _{n}D(\psi )|_{\partial \Omega }+(\lambda +{1 \over 2})(T^{*}\varphi +{1 \over 2}\varphi ).}$

Отсюда следует, что

$\displaystyle {T\psi =\lambda \psi ,\,\,\,T^{*}\varphi =\lambda \varphi ,\,\,\,S\varphi =\psi ,\,\,\,\partial _{n}D(\psi )|_{\partial \Omega }=(\lambda ^{2}-{1 \over 4})\varphi ,}$

так что ψ и φ являются собственными функциями T и T * с собственным значением λ.

Пусть u — вещественная гармоническая функция на Ω, продолжающаяся до гладкой функции на своем замыкании. Гармонически сопряженная v функции u — это единственная действительная функция на Ω такая, что u + i v голоморфна. По существу, он должен удовлетворять уравнениям Коши – Римана :

$\displaystyle {u_{x}=-v_{y},\,\,u_{y}=v_{x}.}$

Если a — точка в Ω, решение определяется формулой

$\displaystyle {v(z)=\int _{a}^{z}-u_{y}dx+u_{x}dy,}$

где интеграл берется по любому пути замыкания Ω. Легко проверить, что v _x и v _y существуют и задаются соответствующими производными u . Таким образом, v — гладкая функция на замыкании Ω, обращающаяся в нуль в точке 0. Согласно уравнениям Коши-Римана f = u + i v является гладкой на замыкании Ω, голоморфной на Ω и f (a) = 0. Используя отображение инверсии, тот же результат справедлив для гармонической функции в Ω ^с гармоника на ∞. Он имеет гармоническое сопряжение v такое, что f = u + i v плавно продолжается до границы и f голоморфно на Ω ∪ ∞. Поправляя v константой, можно предположить, что f (∞) = 0.

Следуя Шифферу (2011) , пусть φ — собственная функция T _K * с вещественным собственным значением λ, удовлетворяющим условию 0 < |λ| < 1/2. Пусть u = S (φ) и v _± — гармонические сопряжения u _± в Ω и Ω ^с . Поскольку на ∂Ω

$\displaystyle {u_{+}=u_{-},\,\,\,{\partial _{n+}u \over \lambda -{1 \over 2}}={\partial _{n_{-}}u \over \lambda +{1 \over 2}}=\varphi ,}$

уравнения Коши-Римана дают на ∂Ω

$\displaystyle {\partial _{n+}v=\partial _{n_{-}}v,\,\,\,\,v_{+}={\lambda +{1 \over 2} \over \lambda -{1 \over 2}}\cdot v_{-}.}$

Теперь определите

$\displaystyle {U_{-}=v_{-},\,\,\,\,U_{+}={\lambda +{1 \over 2} \over \lambda -{1 \over 2}}\cdot v_{+}.}$

Таким образом, U непрерывен на R ² и

$\displaystyle {\partial _{n+}U={\lambda -{1 \over 2} \over \lambda +{1 \over 2}}\cdot \partial _{n_{-}}U.}$

Отсюда следует, что −λ является собственным значением T . Поскольку − u является гармонически сопряженным числом v , процесс получения гармонических сопряжений является одноединственным, поэтому кратность −λ как собственного значения такая же, как и у λ.

По теореме Грина

$\displaystyle {\iint _{\Omega }S(\varphi _{1})_{x}S(\varphi _{2})_{x}+S(\varphi _{1})_{y}S(\varphi _{2})_{y}=\int _{\partial \Omega }S(\varphi _{1})\partial _{n-}S(\varphi _{2}),\,\,\,\iint _{\Omega ^{c}}S(\varphi _{1})_{x}S(\varphi _{2})_{x}+S(\varphi _{1})_{y}S(\varphi _{2})_{y}=\int _{\partial \Omega }S(\varphi _{1})\partial _{n-}S(\varphi _{2}).}$

Сложив два интеграла и используя соотношения скачка для потенциала однослойного слоя, получаем, что

$\displaystyle {\iint S(\varphi _{1})_{x}S(\varphi _{2})_{x}+S(\varphi _{1})_{y}S(\varphi _{2})_{y}=\int _{\partial \Omega }S(\varphi _{1})\varphi _{2}.}$

Таким образом

$\displaystyle {(S\varphi ,\varphi )=\int \|\nabla S(\phi )\|^{2},\,\,\,(S\varphi _{1},\varphi _{2})=\int \nabla S(\varphi _{1})\cdot {\overline {\nabla S(\varphi _{2})}}.}$

Это показывает, что оператор S самосопряжён и неотрицательен на L ² (∂Ω).

Образ S плотен (или, что то же самое, имеет нулевое ядро). В действительности соотношение SH = ¼ I - T ² =(½ I – T ) (½ I + T ) показывает, что замыкание образа S содержит образ ½ I – T , который имеет коразмерность 1. Его ортогональное дополнение задается ядром T – ½ I , т.е. собственная функция ψ такая, что T *ψ = ½ ψ. С другой стороны ST = T * S . Если замыкание изображения не всего L ² (∂Ω) то обязательно S ψ = 0. Следовательно, S {ψ) константа. Но тогда ψ = ∂ _{n +} S (ψ) – ∂ _{n −} S (ψ) = 0, противоречие.

Поскольку S строго положителен и T удовлетворяет соотношению симметризации Племеля ST * = TS , оператор T * является симметризуемым компактным оператором . Оператор S определяет новый скалярный продукт на L ² (∂Ω):

$\displaystyle {(f,g)_{S}=(Sf,g).}$

Оператор T * формально самосопряжен относительно этого скалярного произведения, и по общей теории его ограничение ограничено и определяет самосопряженный оператор Гильберта – Шмидта в пополнении гильбертова пространства. Поскольку T * формально самосопряжена в этом пространстве внутреннего произведения, отсюда сразу следует, что любая обобщенная собственная функция T * уже должна быть собственной функцией. По теории Фредгольма то же самое верно и для T . По общей теории ядро ​​T и его ненулевые собственные пространства охватывают плотное подпространство L ² (∂Ом). Определитель Фредгольма определяется формулой

$\displaystyle {\Delta (z)=\det(I-zT^{2}).}$

Его можно выразить через собственные значения Фредгольма λ _n с модулем меньше 1/2, считая с кратностью, как

$\displaystyle {\Delta (z)=(1-z/4)\cdot \prod _{n\geq 1}(1-z\lambda _{n}^{2}).}$

Комплексное преобразование Гильберта

См. Также: преобразование Берлинга и матрица Грунски.

Теперь определим комплексное преобразование Гильберта или сопряженное преобразование Берлинга T _c на L ² ( С ) по

$\displaystyle {T_{c}f(w)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}-{1 \over \pi }\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{{\overline {f(z)}} \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy.}$

Это сопряженно-линейная изометрическая инволюция.

Он коммутирует с ∂ _z, поэтому переносит A ² (Ом) ⊕ А ² (Ой ^с ) на себя. Сжатие T _c в A ² (Ω) обозначается T _Ω .

Если F — голоморфное однолистное отображение единичного круга D на Ω, то пространство Бергмана Ω и сопряженное с ним пространство можно отождествить с пространством D , и T _Ω становится сопряженно-линейным сингулярным интегральным оператором с ядром

$K_{F}(z,w)={F^{\prime }(z)F^{\prime }(w) \over (F(z)-F(w))^{2}}.$

Это определяет сокращение . С другой стороны, можно проверить, что T _D = 0, вычисляя непосредственно степени z ^н используя теорему Стокса для переноса интеграла на границу.

Отсюда следует, что сопряженно-линейный оператор с ядром

$\displaystyle {{F^{\prime }(z)F^{\prime }(w) \over (F(z)-F(w))^{2}}\,-\,{1 \over (z-w)^{2}}}$

действует как сжатие пространства Бергмана D . Таким образом, это оператор Гильберта–Шмидта .

Сопряженно-линейный оператор T = T _Ω удовлетворяет соотношению самосопряжённости

$\displaystyle {(Tu,v)=(Tv,u)}$

для тебя , v в A ² (Ой).

Таким образом, А = Т ² — компактный самосопряженный линейный оператор на H с

$\displaystyle {(Au,u)=(Tu,Tu)=\|Tu\|^{2}\geq 0,}$

так что A — положительный оператор. По спектральной теореме для компактных самосопряженных операторов существует ортонормированный базис un _{оператора} состоящий H, из собственных векторов оператора A :

$\displaystyle {Au_{n}=\mu _{n}u_{n},}$

где µ _n неотрицательен в силу положительности A . Следовательно

$\displaystyle {\mu _{n}=\lambda _{n}^{2}}$

с λ _n ≥ 0. Поскольку T коммутирует с A , оно оставляет свои собственные пространства инвариантными. Отношение положительности показывает, что оно тривиально действует на нулевом собственном пространстве. Все остальные ненулевые собственные пространства конечномерны и взаимно ортогональны. Таким образом, ортонормированный базис можно выбрать для каждого собственного пространства так, чтобы:

$\displaystyle {Tu_{n}=\lambda _{n}u_{n}.},$

и

$\displaystyle {T(iu_{n})=-\lambda _{n}iu_{n}}$

по сопряженной линейности T .

Связь с преобразованием Гильберта на замкнутой кривой

См. Также: Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых.

Оператор Неймана–Пуанкаре определяется на вещественных функциях f как

$\displaystyle {Tf(w)={1 \over 2\pi }\int _{\partial \Omega }\partial _{n}(\log |z-w|)f(z)={1 \over 2}\Re (Hf)(w),}$

где H — преобразование Гильберта на ∂Ω. Пусть J обозначает комплексное сопряжение. Записывая h = f + ig ,

$\displaystyle {2Th=\Re (Hf)+i\Re (Hg)={1 \over 2}(Hf+JHf+iHg+iJHg)={1 \over 2}(H+JHJ)h}$

так что

$\displaystyle {T={1 \over 4}(H+JHJ),}$

Мнимая часть преобразования Гильберта может использоваться для установления свойств симметрии собственных значений T _K . Позволять

$\displaystyle {A={1 \over 2}(H+JHJ),\,\,\,\,B={1 \over 2i}(H-JHJ),}$

так что

$\displaystyle {H=A+iB.}$

Затем

$\displaystyle {AB=-BA,\,\,\,\,A^{2}-B^{2}=I.}$

Идемпотент Коши E удовлетворяет условию E 1 = 1 = E *1. Поскольку J 1 = 1, то E и E * оставляют инвариантными л ² ₀ (∂Ω) — функции, ортогональные постоянным функциям. То же самое верно и для A = 2 T _K и B . Пусть A ₁ и B ₁ — их ограничения. Поскольку 1 — собственный вектор T _K с собственным значением 1/2 и кратностью один, а T _K + ½ I обратим,

$\displaystyle {A_{1}^{2}-I=B_{1}^{2}}$

обратима, так что B ₁ обратима. Из уравнения A ₁ B ₁ = − B ₁ A ₁ следует, что если λ является собственным значением A ₁ , то таким же является и −λ, и они имеют одинаковую кратность.

Собственные функции комплексного преобразования Гильберта

Связь между оператором Неймана–Пуанкаре и геометрической теорией функций впервые появилась в работе Бергмана и Шиффера (1951) . Точная связь между потенциалами одиночного и двойного слоя, собственными значениями Фредгольма и комплексным преобразованием Гильберта подробно объяснена в Schiffer (1981) . Вкратце, учитывая гладкую жордановую кривую, комплексные производные ее потенциалов одиночного и двойного слоев представляют собой -1 и +1 собственные функции комплексного преобразования Гильберта.

Пусть 𝕳 — прямая сумма

$\displaystyle {{\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}({\overline {\Omega }})\oplus {\mathfrak {H}}({\overline {\Omega ^{c}}}),}$

где первое пространство состоит из функций, гладких на замыкании Ω и гармонических на Ω; а второй состоит из функций, гладких на замыкании Ω ^с , гармонический на Ω ^с и в ≈. Пространство 𝕳, естественно, является пространством внутреннего произведения с соответствующей нормой, заданной формулой

$\displaystyle {\|f_{-}\oplus f_{+}\|_{\mathfrak {H}}^{2}=\iint _{\Omega }|\nabla f_{-}|^{2}+\iint _{\Omega ^{c}}|\nabla f_{+}|^{2}.}$

Каждый элемент 𝕳 может быть записан однозначно как ограничение суммы потенциалов двойного слоя и однослойного, при условии, что моменты нормированы так, чтобы иметь интеграл 0 на ∂Ω. Таким образом, для f ₋ ⊕ f ₊ в 𝕳 существуют единственные φ, ψ в C ^∞ (∂Ω) с интегралом 0 такой, что

$\displaystyle {f_{-}=D(\varphi )|_{\Omega }+S(\psi )|_{\Omega },\,\,\,\,\,f_{+}=D(\varphi )|_{\Omega ^{c}}+S(\psi )|_{\Omega ^{c}}.}$

Под этой перепиской

$\displaystyle {\varphi =f_{-}|_{\partial \Omega }-f_{+}|_{\partial \Omega },\,\,\,\,\psi =\partial _{n}f_{-}|_{\partial \Omega }-\partial _{n}f_{+}|_{\partial \Omega }.}$

Потенциалы слоев можно идентифицировать по их изображениям в 𝕳:

$\displaystyle {D(\varphi )=D(\varphi )|_{\Omega }\oplus D(\varphi )|_{\Omega ^{c}},\,\,\,\,S(\psi )=S(\psi )|_{\Omega }\oplus S(\psi )_{\Omega ^{c}}.}$

Пространство потенциалов двойного слоя ортогонально пространству потенциалов однослоя внутреннего продукта. Действительно, по теореме Грина

$\displaystyle {(S,D)=\iint _{\Omega \cup \Omega ^{c}}\nabla S\cdot \nabla D=-\int _{\partial \Omega }S\partial _{n}D+\int _{\partial \Omega }S\partial _{n}D=0.}$

Определим изометрическое вложение 𝕳 _R в L ² ( С ) по

$\displaystyle {U(f_{-}\oplus f_{+})=(\partial _{z}f_{-})\chi _{\Omega }+(\partial _{z}f_{-})\chi _{\Omega ^{c}}.}$

Изображение лежит в A ² (Ом) ⊕ А ² (Ой ^с ), прямая сумма пространств Бергмана интегрируемых с квадратом голоморфных функций на Ω и Ω ^с . Поскольку многочлены по z плотны в A ² (Ω) и полиномы по z ⁻¹ без постоянного члена плотны в A ² (Ой ^с ), образ U плотен в A ² (Ом) ⊕ А ² (Ой ^с ).

Непосредственно проверяется, что для φ, ψ вещественный

$\displaystyle {T_{c}(U(D(\varphi )+S(\psi )))=U(D(\varphi )-S(\psi )).}$

Фактически, для однослойных потенциалов, применяя теорему Грина в области Ω ∪ Ω ^с с небольшим замкнутым диском радиуса ε, удаленным вокруг точки w области, следует, что

$\displaystyle {\iint _{\Omega \cup \Omega ^{c},\,\,|z-w|>\varepsilon }\nabla N(w-z)\cdot \nabla S(\psi )(z)\,dx\,dy=-\int _{|z-w|=\varepsilon }\partial _{n}N(z-w)\,S(\psi )(z)=-S(\psi )(z),}$

поскольку среднее значение гармонической функции по кругу — это ее значение в центре. Используя тот факт, что π z ⁻¹ является фундаментальным решением для ∂ _w , его можно переписать как

$\displaystyle {{1 \over \pi }\,\iint _{\Omega \cup \Omega ^{c}}{{\overline {\partial _{z}S(\psi )(z)}} \over z-w}\,dx\,dy=-S(\psi )(w).}$

Применение ∂ _w к обеим сторонам дает

$\displaystyle {T_{c}(\partial _{z}S(\psi ))=-\partial _{z}S(\psi ).}$

Аналогично для потенциала двойного слоя

$\displaystyle {\iint _{\Omega \cup \Omega ^{c},\,\,|z-w|>\varepsilon }\nabla N(w-z)\cdot \nabla D(\varphi )(z)\,dx\,dy=\int _{|z-w|=\varepsilon }N(z-w)\,\partial _{n}D(\varphi )(z)=0,}$

поскольку среднее значение нормальной производной гармонической функции по окружности равно нулю. Как и выше, используя тот факт, что π z ⁻¹ является фундаментальным решением для ∂ _w , его можно переписать в терминах комплексных производных как

$\displaystyle {{1 \over \pi }\,\iint _{\Omega \cup \Omega ^{c}}{{\overline {\partial _{z}D(\varphi )(z)}} \over z-w}\,dx\,dy=D(\varphi )(w).}$

Применяя ∂ _w к обеим сторонам,

$\displaystyle {T_{c}(\partial _{z}D(\varphi ))=\partial _{z}D(\varphi ).}$

Связь с преобразованием Гильберта в области

Пусть L ² (∂Ω) ₀ — замкнутое подпространство в L ² (∂Ω), ортогональные постоянным функциям. Пусть P _{0 —} ортогональная проекция на L ² (∂Ω) ₀ и положим

$\displaystyle {T_{K,0}=P_{0}T_{K}P_{0}.}$

Что касается нового скалярного произведения на L ² (∂Ω) ₀

$\displaystyle {(f,g)_{0}=((1/2-T_{K})^{-1}Sf,g)}$

оператор T _{K ,0} формально самосопряжен.

Пусть H ₀ — пополнение гильбертова пространства.

Определим унитарный оператор V из H ₀ на A ² (Ом) по

$\displaystyle {V(\psi )=U(D(\varphi )+S(\psi ))|_{\Omega },}$

где

$\displaystyle {({1 \over 2}I-T_{K})\varphi =-S\psi .}$

Затем

$\displaystyle {VT_{K,0}V^{*}=T_{\Omega }.}$

Собственные функции Фредгольма

Если φ — собственная функция T _K на ∂Ω, соответствующая собственному значению λ с |λ| < 1/2, то φ ортогональна константам и может быть принята вещественной. Позволять

$\displaystyle {\Phi _{-}=\partial _{z}D(\varphi )|_{\Omega }\in A^{2}(\Omega ),\,\,\,\Phi _{+}=\partial _{z}D(\varphi )|_{\Omega ^{c}}\in A^{2}(\Omega ^{c}).}$

Поскольку двойные потенциалы гармоничны, заданы как действительная часть голоморфной функции,

$\displaystyle {\Phi _{\pm }(w)={1 \over 2\pi i}\int _{\partial \Omega }{\varphi (z) \over (z-w)^{2}}\,dz.}$

Затем

$\displaystyle {T_{\Omega }\Phi _{-}=\lambda \Phi _{-},\,\,\,T_{\Omega ^{c}}\Phi _{+}=\lambda \Phi _{+}.}$

Более того

$\displaystyle {(T_{c}\Phi _{-})|_{\Omega ^{c}}=(\lambda +{1 \over 2})\Phi _{+},\,\,\,(T_{c}\Phi _{+})|_{\Omega }=(\lambda -{1 \over 2})\Phi _{-}.}$

Если две собственные функции φ и ψ ортогональны скалярному произведению, определенному S , то их преобразования Φ _± и Ψ _± ортогональны в A ² (Ом) и А ² (Ой ^с ).

Собственные функции в пространстве Харди.

См. Также: Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых.

Пространство Харди H ² (∂Ω) можно определить как замыкание комплексных многочленов от z в L ² (∂Ом). Преобразование Коши функции f в H ² (∂Ω)

$\displaystyle {F(w)={1 \over 2\pi i}\int _{\partial \Omega }{f(z) \over z-w}\,dz}$

определяет голоморфную функцию F в Ω такую, что ее ограничения на кривые уровня ∂Ω ^с в трубчатой ​​окрестности ∂Ω имеют равномерно ограниченное L ² нормы. Классическое определение пространства Харди — это голоморфные функции на Ω, обладающие этим свойством. Отождествляя кривые уровня с ∂Ω, следует, что ограничения F стремятся к f в L ² норма. Написание Н ² (Ω) для классического пространства Харди, отождествляемого с H ² (∂Ω), взяв L ² граничных значений, то пространство Харди H ² (Ω) — плотное подпространство пространства Бергмана A ² (Ой).

Определим сопряженное преобразование Коши функции f по формуле

$\displaystyle {Cf(w)={1 \over 2\pi i}\int _{\partial \Omega }{{\overline {f(z)}} \over z-w}\,d{\overline {z}}.}$

Он лежит в H ² (Ой). Более того, для w в Ω

$\displaystyle {Cf(w)=T_{\Omega }F(w),}$

поскольку по теореме Грина

$\displaystyle {{1 \over \pi }\iint _{\Omega ,\,\,\,|z-w|>\varepsilon }{{\overline {F(z)}} \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy=Cf(w)-{1 \over 2\pi i}\int _{|z-w|=\varepsilon }{{\overline {F(z)}} \over z-w}\,d{\overline {z}}=Cf(w).}$

Для гладкой жордановой кривой ∂Ω все собственные функции Фредгольма оператора T _Ω лежат в H ² (Ой).

См. также

• Матрица Грунского
• Плоская риманова поверхность

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1952), «Замечания об интегральном уравнении Неймана – Пуанкаре», Pacific J. Math. , 2 (3): 271–280, doi : 10.2140/pjm.1952.2.271
• Бергман, С .; Шиффер, М. (1951), «Функции ядра и конформное отображение», Compositio Mathematica , 8 : 205–249.
• Блюменфельд, Дж.; Майер, В. (1914), «Об основных функциях Пуанкаре», Вена. Академическая наука, Матем.-Нац. Класс , 122 : 2011–2047 гг.
• Бурбеа, Джейкоб (1986), «Спектр Фредгольма и неравенства Грунского в общих областях», Studia Math. , 83 (2): 167–200, doi : 10,4064/см-83-2-167-200
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Введение в уравнения в частных производных (2-е изд.), Princeton University Press, ISBN  978-0-691-04361-6
• Хакбуш, Вольфганг (1995), Интегральные уравнения: теория и численная обработка , Международная серия числовой математики, том. 120, Спрингер, ISBN  978-3764328719
• Сяо, Джордж К.; Вендланд, Вольфганг Л. (2008), Граничные интегральные уравнения , Прикладные математические науки, том. 164, Спрингер Верлаг, ISBN  978-3-540-15284-2
• Келлог, Оливер Даймон (1929), Основы теории потенциала , Основные учения математических наук, том. 31, Шпрингер Верлаг
• Хавинсон, Д.; Путинар, М.; Шапиро, HS (2007), «Вариационная проблема Пуанкаре в теории потенциала», Arch. Рацион. Мех. Анальный. , 185 (1): 143–184, Bibcode : 2007ArRMA.185..143K , CiteSeerX   10.1.1.569.7145 , doi : 10.1007/s00205-006-0045-1 , S2CID   855706
• Кресс, Райнер (1999), Линейные интегральные уравнения , Прикладные математические науки, том. 82 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0387987002
• Кшиж, Ян Г.; Партика, Дариуш (1993), «Обобщенный оператор Неймана – Пуанкаре, хордовые кривые и собственные значения Фредгольма», Прикладная теория комплексных переменных. , 21 (3–4): 253–263, дои : 10.1080/17476939308814634
• Ландкоф, Н.С. (1972), Основы современной теории потенциала , Основные положения математических наук, т. 1, с. 180, Шпрингер Верлаг
• Михлин, С.Г. (1971), Математическая физика: углубленный курс , Северная Голландия.
• Нойман, Карл (1877), Исследования логарифмического и ньютоновского потенциала , Лейпциг: Тойбнер
• Партика, Дариуш (1997), Обобщенный оператор Неймана – Пуанкаре и его спектр , Dissertationes Math, vol. 366
• Племель, Дж. (1911), Исследования потенциальной теории , Тойбнер
• Пуанкаре, Х. (1897), «Метод Неймана и проблема Дирихле» (PDF) , Acta Math. , 20 : 59–152, doi : 10.1007/bf02418028
• Саранен, Юкка; Вайникко, Геннадий (2001), Периодические интегральные и псевдодифференциальные уравнения с численной аппроксимацией , Springer, ISBN  978-3540418788
• Шиффер, М. (1957), «Собственные значения Фредгольма плоских областей» (PDF) , Pacific J. Math. , 7 (2): 1187–1225, doi : 10.2140/pjm.1957.7.1187
• Шиффер, М. (1959), «Собственные значения Фредгольма многосвязных областей», Pacific J. Math. , 9 : 211–269, doi : 10.2140/pjm.1959.9.211
• Шиффер, М.; Хоули, Н.С. (1962), «Соединения и конформное отображение», Acta Math. , 107 (3–4): 175–274, doi : 10.1007/bf02545790
• Шиффер, М. (1981), "Собственные значения Фредгольма и матрицы Грунского", Ann. Полон. Математика. , 39 : 149–164, doi : 10.4064/ap-39-1-149-164
• Шиффер, Менахем (2011), Собственные значения Фредгольма и конформное отображение , Autovalori e autosoluzioni, Летние школы CIME, том. 27, Спрингер, стр. 203–234.
• Шапиро, Х.С. (1992), Функция Шварца и ее обобщение на более высокие измерения , Конспект лекций Университета Арканзаса по математическим наукам, том. 9, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-57127-8
• Тейлор, Майкл Э. (2011), Уравнения в частных производных II: Качественные исследования линейных уравнений , Applied Mathematical Sciences, vol. 116 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-1-4419-7051-0