Плоская риманова поверхность

В математике плоская риманова поверхность (или шлихтартиговая риманова поверхность) — это риманова поверхность, разделяющая топологические свойства связного открытого подмножества сферы Римана . Они характеризуются тем топологическим свойством, что дополнение каждой замкнутой жордановой кривой на римановой поверхности имеет две компоненты связности . Эквивалентной характеристикой является дифференциально-геометрическое свойство, заключающееся в том, что каждая замкнутая дифференциальная 1-форма с компактным носителем точна. Любая односвязная риманова поверхность плоская. Класс плоских римановых поверхностей был изучен Кёбе , который в 1910 году доказал в качестве обобщения теоремы униформизации , что каждая такая поверхность конформно эквивалентна либо римановой сфере, либо комплексной плоскости с удаленными разрезами, параллельными вещественной оси.

Элементарные свойства

Основная статья: Дифференциальные формы на римановой поверхности § Интегрирование 1-форм по путям

• Замкнутая 1-форма ω точна тогда и только тогда, когда ∫ _γ ω = 0 для любой замкнутой жордановой кривой γ.

Это следует из леммы Пуанкаре для 1-форм и того факта, что ∫ _δ df = f (δ( b )) – f (δ( a )) для пути δ, параметризованного [ a , b ] и f — гладкой функции, определенной в открытой окрестности δ([ a , b ]). Эта формула для ∫ _δ df по непрерывности распространяется на непрерывные пути и, следовательно, обращается в нуль для замкнутого пути. Обратно, если ∫ _γ ω = 0 для каждой замкнутой жордановой кривой γ, то функцию f ( z ) можно определить на X , зафиксировав точку w и выбрав любой кусочно-гладкий путь δ от w до z и положив f ( z ) = ∫ _δ ω. Предположение подразумевает, что f не зависит от пути. Чтобы проверить, что df = ω , достаточно проверить это локально. Зафиксируйте z ₀ и проложите путь δ ₁ от w до z ₀ . Вблизи z ₀ из леммы Пуанкаре следует, что ω = dg для некоторой гладкой функции g, определенной в окрестности z ₀ . Если δ ₂ — путь от z ₀ до z , то f ( z ) = ∫ _{δ 1} ω + ∫ _{δ 2} ω = ∫ _{δ 1} ω + g ( z ) − g ( z ₀ ), поэтому f отличается от g на константа вблизи z ₀ . Следовательно, = dg = ω вблизи z0 _df .

• Замкнутая жорданова кривая γ на римановой поверхности разделяет поверхность на две непересекающиеся связные области тогда и только тогда, когда ∫ _γ ω = 0 для любой замкнутой 1-формы ω с компактным носителем.

Если замкнутая жорданова кривая γ разделяет поверхность, то она гомотопна гладкой жордановой кривой δ (с ненулевой производной), разделяющей поверхность на две половины. Интеграл от d ω по каждой половине равен ± ∫ _δ ω по теореме Стокса . Поскольку d ω = 0, то ∫ _δ ω = 0. Следовательно, ∫ _γ ω = 0.

Обратно, предположим, что γ — жорданова кривая, не разделяющая риманову поверхность. Заменяя γ гомотопической кривой, можно считать, что γ — гладкая жорданова кривая δ с ненулевой производной. Поскольку γ не разделяет поверхность, существует гладкая жорданова кривая δ (с ненулевой производной), которая пересекает γ трансверсально только в одной точке. Открытая окрестность γ ∪ δ диффеоморфна открытой окрестности соответствующих жордановых кривых в торе. Моделью этого можно считать квадрат [−π,π]×[−π,π] в R ² с идентифицированными противоположными сторонами; поперечные жордановые кривые γ и δ соответствуют осям x и y . Пусть ω = a ( x ) dx с носителем a ≥ 0 вблизи 0 с ∫ a = 1. Таким образом, ω является замкнутой 1-формой с носителем в открытой окрестности δ с носителем ∫ _γ ω = 1 ≠ 0.

• Риманова поверхность плоская тогда и только тогда, когда каждая замкнутая 1-форма с компактным носителем точна.

Пусть ω — замкнутая 1-форма компактного носителя на плоской римановой поверхности. Если γ — замкнутая жорданова кривая на поверхности, то она разделяет поверхность. Следовательно, ∫ _γ ω = 0. Поскольку это верно для всех замкнутых жордановых кривых, ω должна быть точной.

Обратно, предположим, что каждая замкнутая 1-форма компактного носителя точна. Пусть γ — замкнутая жорданова кривая. Пусть ω — замкнутая 1-форма с компактным носителем. Поскольку ω должна быть точной, ∫ _γ ω = 0. Отсюда следует, что γ on разделяет поверхность на две непересекающиеся связные области. Итак, поверхность плоская.

• Каждое связное открытое подмножество планарной римановой поверхности плоско.

Это следует из характеристики в терминах 1-форм.

• Любая односвязная риманова поверхность плоская.

Если ω — замкнутая 1-форма с компактным носителем, интеграл ∫ _γ ω не зависит от гомотопического класса γ. В односвязной римановой поверхности каждая замкнутая кривая гомотопна постоянной кривой, интеграл для которой равен нулю. Следовательно, односвязная риманова поверхность плоская.

• Если ω — замкнутая 1-форма на односвязной римановой поверхности, то ∫ _γ ω = 0 для любой замкнутой жордановой кривой γ.

Это так называемое «свойство монодромии». Покрывая путь дисками и используя лемму Пуанкаре для ω, по фундаментальной теореме исчисления последовательные части интеграла можно вычислить как f (γ( t _i )) − f (γ( t _{i − 1} )). Поскольку кривая замкнута, γ( tN ₎ ) = γ( , _t0 так что суммы сокращаются.

Теорема униформизации

Теорема Кебе. Компактная плоская риманова поверхность X конформно эквивалентна сфере Римана. Некомпактная плоская риманова поверхность X конформно эквивалентна либо комплексной плоскости, либо комплексной плоскости с удаленным конечным числом отрезков, параллельных вещественной оси.

• Гармоническая функция U. Если X — риманова поверхность, а P — точка на X с локальной координатой z , существует единственная вещественная гармоническая функция U на X \ { P } такая, что U ( z ) – Re z ⁻¹ гармоничен вблизи z = 0 (точка P ), а dU интегрируемо с квадратом в дополнении к окрестности точки P . Более того, если h — любая вещественная гладкая функция на X, обращающаяся в нуль в окрестности P точки U с || дх || ² = ∫ _X dh ∧∗ dh < ∞, тогда ( dU , dh ) = ∫ _X dU ∧ * dh = 0.

Это непосредственное следствие принципа Дирихле для плоской поверхности ; это также можно доказать, используя метод ортогонального проектирования Вейля в пространство интегрируемых с квадратом 1-форм.

• Сопряженная гармоническая функция В. Существует гармоническая функция V на X \{ P } такая, что ∗ dU = dV . В локальной координате z , V ( z ) − Im z ⁻¹ гармонична вблизи z = 0. Функция V определяется однозначно с точностью до добавления вещественной константы. Функция U и ее гармонически сопряженная V удовлетворяют уравнениям Коши-Римана U _x = V _y и U _y = − V _x .

Достаточно доказать, что ∫ _C ∗ dU = 0 для любой кусочно гладкой жордановой кривой в X \ { P }. Поскольку X плоско, дополнение C в X две открытые компоненты S1 _, и S2 _причем имеет P в S2 _лежит . Существует открытая окрестность N точки C, состоящая из объединения конечного числа дисков и гладкой функции 0 ⩽ h ⩽ 1 такая, что h равен 1 на S ₁ и равен 0 на S ₁ вдали от P и N . Таким образом, ( dU , dh ) = 0. По теореме Стокса это условие можно переписать как ∫ _C ∗ dU = 0. Таким образом, ∗ dU точно и поэтому имеет вид dV .

• Мероморфная функция f. Мероморфный дифференциал df = dU + idV голоморфен всюду, кроме двойного полюса в точке P с сингулярным членом d ( z ⁻¹ ) в локальной координате z .
• Аргумент разделения Кебе. Пусть φ и ψ — гладкие ограниченные вещественные функции на R с ограниченными первыми производными такие, что φ'( t ) > 0 для всех t ≠ 0 и φ обращается в нуль до бесконечного порядка при t = 0, а ψ( t ) > 0 при t в ( a , b ), в то время как ψ( t ) ≡ 0 для t вне ( a , b ) (здесь a = −∞ и b = +∞ допускаются). Пусть X — риманова поверхность, а W — открытое связное подмножество с голоморфной функцией g = u + iv, отличающейся от f на такую ​​константу, что g ( W ) лежит в полосе a < Im z < b . Определите вещественнозначную функцию как h = φ( u )ψ( v ) на W и 0 вне W . Тогда h , определенный таким образом, не может быть гладкой функцией; если так

$(dh,dh)=\int _{X}dh\wedge \star dh=\int _{W}(\varphi ^{\prime }(u)^{2}\psi (v)^{2}+\varphi (u)^{2}\psi ^{\prime }(v)^{2})\,du\wedge \star du\leq 2M^{2}\,\|dU\|^{2}<\infty ,$

где M = sup (|φ|, |φ'|, |ψ|, |ψ'|), и

$(dU,dh)=\int _{X}dU\wedge \star dh=\int _{W}\varphi ^{\prime }(u)\psi (v)\,du\wedge \star du>0,$

противоречащее условию ортогональности на U .

• Кривые связности и уровня. (1) Кривая уровня V делит X на две открытые связные области. (2) Открытое множество между двумя кривыми уровня V связно. (3) Кривые уровня для U и V , проходящие через любую регулярную точку f, делят X на четыре открытые связные области, каждая из которых содержит регулярную точку и полюс f в своих замыканиях.

(1) Поскольку V определено только с точностью до константы, достаточно доказать это для кривой уровня V = 0, т. е. что V = 0 делит поверхность на две связанные открытые области. В противном случае существует связная компонента W дополнения к V = 0, не содержащая P в своем замыкании. Возьмем g = f , a = 0 и b = ∞, если V > 0 на W , и a = −∞ и b = 0, если < 0 на W. V Граница W лежит на кривой уровня V = 0. В этом случае возьмем g = f . Поскольку ψ( v ) обращается в нуль в бесконечном порядке, когда v = 0, h является гладкой функцией, поэтому аргумент Кебе дает противоречие.

(2) Достаточно показать, что открытое множество, определенное a < V < b, связно. В противном случае это открытое множество имеет компонент связности W, не содержащий P в своем замыкании. возьмем g = f В этом случае . Граница W лежит на кривых уровня V = a и V = b . Поскольку ψ( v ) обращается в нуль в бесконечном порядке, когда v = a или b , h является гладкой функцией, поэтому аргумент Кебе дает противоречие.

(3) Переводя f на константу, если необходимо, достаточно показать, что если U = 0 = V в регулярной точке f , то две кривые уровня U = 0 и V = 0 делят поверхность на 4 соединенные области. Кривые уровня U = 0, V = 0 делят риманову поверхность на четыре непересекающихся открытых множества ± u > 0 и ± v > 0. Если одно из этих открытых множеств несвязно, то оно имеет открытую связную компоненту W, не содержащую P в его закрытии. Если v > 0 на W , возьмем a = 0 и b = ÷∞; если v < 0 на W , положим a = −∞ и b = 0. В этом случае возьмем g = f . Граница W лежит на объединении кривых уровня U = 0 и V = 0. Поскольку φ и ψ обращаются в нуль до бесконечного порядка в точке 0, h является гладкой функцией, поэтому аргумент Кебе дает противоречие. Наконец, используя f в качестве локальной координаты, кривые уровня делят открытую окрестность регулярной точки на четыре непересекающихся связных открытых множества; в частности, каждая из четырех областей непуста и содержит регулярную точку своего замыкания; аналогичные рассуждения применимы и к полюсу f, используя f ( z ) ^–1 как локальная координата.

• Однолистность f в регулярных точках. Функция f принимает разные значения в разных регулярных точках (где df ≠ 0).

Предположим, что f принимает одно и то же значение в двух регулярных точках z и w и имеет полюс в точке ζ. Переводя f на константу, если необходимо, можно считать, что f ( z ) = 0 = f ( w ). Точки z , w и ζ лежат на замыкании каждой из четырех областей, на которые кривые уровня U = 0 и V = 0 делят поверхность. точки z и w могут быть соединены жордановой кривой в области U > 0, V > 0, кроме их концов. Аналогично их можно соединить жордановой кривой в области U < 0, V < 0, кроме их концов, где кривая трансверсальна границе. Вместе эти кривые образуют замкнутую жорданову кривую γ, проходящую через точки z и w . Поскольку риманова поверхность X плоская, эта жорданова кривая должна делить поверхность на две открытые связные области. Полюс ζ должен лежать в одной из этих областей, Y. скажем Поскольку каждая из связных открытых областей U > 0, V < 0 и U < 0, V > 0 не пересекается с γ и пересекает окрестность ζ, обе должны содержаться в Y . С другой стороны, используя f для определения координат вблизи z (или w ) кривая лежит в двух противоположных квадрантах, а два других открытых квадранта лежат в разных компонентах дополнения кривой, противоречие.

• Регулярность ф. Мероморфная функция f регулярна во всех точках, кроме полюса.

Если f не является регулярным в точке, в локальных координатах f имеет разложение f ( z ) = a + b z ^м (1 + с ₁ z + с ₂ z ² + ⋅⋅⋅), где b ≠ 0 и m > 1. По принципу аргумента — или извлекая корень m-й степени из 1 + c ₁ z + c ₂ z ² + ⋅⋅⋅ — вдали от 0 это отображение m -к-одному, противоречие.

• Дополнение образа ф. Либо образ f представляет собой всю сферу Римана C ∪ ∞, и в этом случае риманова поверхность компактна и f дает конформную эквивалентность сфере Римана; или дополнение изображения представляет собой объединение замкнутых интервалов и изолированных точек, и в этом случае риманова поверхность конформно эквивалентна области горизонтальной щели.

Рассматриваемый как голоморфное отображение римановой поверхности X в сферу Римана, f регулярен всюду, включая бесконечность. Поэтому его образ Ω открыт в сфере Римана. Поскольку оно одноединично, обратное отображение f голоморфно с образа на риманову поверхность. В частности, они гомеоморфны. Если изображение представляет собой всю сферу, то следует первое утверждение. В этом случае риманова поверхность компактна. И наоборот, если риманова поверхность компактна, ее образ компактен и замкнут. Но тогда образ открыт и закрыт, а значит, и вся сфера Римана по связности. Если f не находится на, дополнение образа представляет собой замкнутое непустое подмножество сферы Римана. Итак, это компактное подмножество сферы Римана. Он не содержит ∞. Таким образом, дополнение изображения — это компактное подмножество комплексной плоскости. Теперь на римановой поверхности открытые подмножества a < V < b связаны. Таким образом, открытое множество точек w в Ω с a < Im w < b связно и, следовательно, связно по путям. Чтобы доказать, что Ω является областью с горизонтальной щелью, достаточно показать, что каждая компонента связности C \ Ω — либо одна точка, либо компактный интервал, параллельный оси x . Это следует из того, что известно, что две точки дополнения с разными мнимыми частями лежат в разных компонентах связности.

Предположим тогда, что w ₁ = u ₁ + iv ₁ и w ₂ = u ₂ + iv ₂ являются точками в C \ Ω с v ₁ < v ₂ . Возьмем точку в полосе v ₁ < Im z < v ₂ , скажем w . В силу компактности C \ Ω это множество содержится внутри круга радиуса R с центром w . Точки w ± R лежат на пересечении Ω и полосы, которая открыта и связна. Поэтому их можно соединить кусочно-линейной кривой в месте пересечения. Эта кривая и один из полукругов между z + R и z − R образуют жорданову кривую, охватывающую w ₁ с w ₂ внутри. Но тогда w ₁ и w ₂ лежат на разных компонентах связности C \ Ω. Наконец, компоненты связности C \ Ω должны быть замкнутыми, поэтому компактными; а связные компактные подмножества прямой, параллельной оси x , представляют собой просто изолированные точки или замкнутые интервалы.

Поскольку G не содержит бесконечности в точке ∞, конструкцию можно в равной степени применить и к e ^{– я я} G принимая $\mathbb {C}$ с удаленными горизонтальными щелями, чтобы получить униформизатор f _θ . Униформизатор e ^{я я} г _θ ( е ^{- я я} z ) теперь переводит G в $\mathbb {C}$ с параллельными щелями, удаленными под углом θ к оси x . В частности, θ = π/2 приводит к униформизатору f _π/2 ( z ) для $\mathbb {C}$ с удаленными вертикальными щелями. По единственности f _θ ( z ) = e ^{я я} [потому что θ ж ₀ ( z ) - я грех θ ж _π/2 ( z )] .

Классификация односвязных римановых поверхностей

Основная статья: Теорема Римана об отображении

Теорема. Любая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна либо (1) сфере Римана ( эллиптическая ), (2) комплексной плоскости ( параболической ), либо (3) единичному кругу ( гиперболической ).

Односвязность расширенной сферы с удаленными k > 1 точками или замкнутыми интервалами можно исключить по чисто топологическим причинам, используя теорему Зейферта-ван Кампена ; ибо в этом случае фундаментальная группа изоморфна свободной группе с ( k − 1) генераторами, а ее абелианизация , сингулярная группа гомологий , изоморфна Z ^{к - 1} . Краткое прямое доказательство также возможно с использованием теории комплексных функций. Сфера Римана компактна, а комплексная плоскость и единица dis - нет, поэтому не существует даже гомеоморфизма (1) на (2) или (3). Конформная эквивалентность (2) на (3) привела бы к ограниченной голоморфной функции на комплексной плоскости: по теореме Лиувилля она должна была бы быть константой, противоречие. «Реализация щели» как единичного диска как расширенной комплексной плоскости с удаленным [−1,1] происходит из отображения z = ( w + w ⁻¹ )/2. С другой стороны, отображение ( z + 1)/( z − 1) переносит расширенную плоскость с удаленным [−1,1] на комплексную плоскость с удаленным (−∞,0). Взяв главное значение квадратного корня дает конформное отображение расширенной сферы с удаленным [−1,1] на верхнюю полуплоскость. Преобразование Мёбиуса ( t − 1)/( t + 1} переносит верхнюю полуплоскость на единичный круг. эти отображения приводят к конформному отображению z − ( z ² -1) ^1/2 , тем самым решая z = ( w + w ⁻¹ )/2. Чтобы показать, что может быть только один замкнутый интервал, предположим до абсурда, что их по крайней мере два: это могут быть просто отдельные точки. две точки a и b Можно предположить, что находятся на разных интервалах. Тогда будет кусочно-гладкая замкнутая кривая C такая, что b лежит внутри X , а a — снаружи. Пусть ω = dz ( z - b ) ⁻¹ - дз ( z - а ) ⁻¹ , замкнутая голоморфная форма на X . По простой связности ∫ _C ω = 0. С другой стороны, по интегральной формуле Коши (2 i π) ⁻¹ ∫ _C ω = 1, противоречие.

Следствие (теорема Римана об отображении). Любая связная и односвязная открытая область на комплексной плоскости, имеющая хотя бы две граничные точки, конформно эквивалентна единичному кругу.

Это непосредственное следствие теоремы.

Приложения

Из теоремы униформизации Кебе для плоских римановых поверхностей следует теорема униформизации для односвязной римановой поверхности. Действительно, область разреза представляет собой либо всю сферу Римана; или сфера Римана за вычетом точки, то есть комплексная плоскость после применения преобразования Мёбиуса для перемещения точки в бесконечность; или сфера Римана за вычетом замкнутого интервала, параллельного действительной оси. После применения преобразования Мёбиуса замкнутый интервал можно отобразить в [–1,1]. Следовательно, оно конформно эквивалентно единичному кругу, поскольку конформное отображение g ( z ) = ( z + z ⁻¹ )/2 отображает единичный круг на C \ [−1,1].

Для области G, полученной вырезанием $\mathbb {C}$ ∪ {∞} из конечного числа непересекающихся замкнутых дисков конформное отображение на щелевые горизонтальные или вертикальные области можно сделать явным и представить в замкнутой форме. Таким образом, ядро ​​Пуассона на любом из дисков можно использовать для решения задачи Дирихле на границе диска, как описано у Кацнельсона (2004) . Элементарные свойства, такие как принцип максимума и принцип отражения Шварца, применяются, как описано Альфорсом (1978) . Для конкретного диска группа преобразований Мёбиуса, стабилизирующая границу, копия SU(1,1) , действует эквивариантно на соответствующем ядре Пуассона. При фиксированном a в G задача Дирихле с граничным значением log | г - а | можно решить с помощью ядра Пуассона. Это дает функцию h ( z ) на G. гармоническую Разница грамм ( z , а ) знак равно час ( z ) - журнал | г - а | называется функцией Грина с полюсом в точке a . Он обладает важным свойством симметрии: g ( z , w ) = g ( w , z ) , поэтому он гармоничен по обеим переменным, когда это имеет смысл. Следовательно, если a = u + i v , гармоническая функция ∂ _ты г ( z , а ) имеет гармоническое сопряжение - ∂ _v г ( z , а ) . С другой стороны, согласно задаче Дирихле, для каждого ∂ D _i существует единственная гармоническая функция ω _i на G, равная 1 на ∂ D _i и 0 на ∂ D _j при j ≠ i (так называемая гармоническая мера ∂ D _я ). Сумма ω _i равна 1. Гармоническая функция ∂ _v g ( z , a ) на D \ { a } многозначна: ее аргумент изменяется на целое число, кратное 2π, вокруг каждого из граничных дисков D _i . Проблема многозначности решается путем выбора λ _i так, чтобы ∂ _v g ( z , a ) + Σ λ _i ∂ _v ω _i ( z ) не имело изменения аргумента вокруг каждого ∂ D _j . По построению отображение горизонтальной щели p ( z ) = ( ∂ _u + i ∂ _v ) [ g ( z , a ) + Σ λ _i ω _i ( z )] голоморфно в G, за исключением точки a , где оно имеет полюс с вычетом 1. Аналогично отображение вертикальной щели получается, если положить q ( z ) = (− ∂ _v + i ∂ _u ) [ g ( z , a ) + Σ µ _i ω _i ( z )] ; отображение q ( z ) голоморфно, за исключением полюса в точке a с вычетом 1.

Теорема Кебе также подразумевает, что каждая конечносвязная ограниченная область на плоскости конформно эквивалентна открытому единичному диску с удаленным конечным числом меньших непересекающихся замкнутых дисков или, что то же самое, расширенной комплексной плоскости с удаленным конечным числом непересекающихся замкнутых дисков. Этот результат известен как теорема Кебе о «Kreisnormierungs».

Следуя Голузину (1969), его можно вывести из теоремы о параллельных щелях, используя вариант теоремы Каратеодори о ядре и теоремы Брауэра об инвариантности области . Метод Голузина представляет собой упрощение исходного аргумента Кебе.

Фактически каждое конформное отображение такой круговой области на другую круговую область обязательно задается преобразованием Мёбиуса. Чтобы убедиться в этом, можно предположить, что обе области содержат точку ∞ и что конформное отображение f переносит ∞ на ∞. Функции отображения можно непрерывно продолжить на граничные окружности. Последовательные инверсии в этих граничных кругах порождают группы Шоттки . Объединение областей действия обеих групп Шоттки определяет плотные открытые подмножества сферы Римана. По принципу отражения Шварца f можно расширить до конформного отображения между этими открытыми плотными множествами. Их дополнениями являются предельные множества групп Шоттки. Они компактны и имеют нулевую меру. Затем теорему об искажении Кебе можно использовать для доказательства того, что f непрерывно продолжается до конформного отображения сферы Римана на себя. Следовательно, f задается преобразованием Мёбиуса.

Теперь пространство круговых областей с n окружностями имеет размерность 3 n – 2 (фиксация точки на одной окружности), как и пространство параллельных щелевых областей с n параллельными разрезами (фиксация конечной точки на разрезе). Оба пространства связаны путями. Теорема о параллельных щелях дает отображение одного пространства в другое. Оно одно-единственное, поскольку конформные отображения между круговыми областями задаются преобразованиями Мёбиуса. Оно непрерывно по теореме сходимости ядер. Благодаря инвариантности области отображения отображение переносит открытые множества на открытые множества. Теорема о сходимости ядер может быть применена к обратному отображению: она доказывает, что если последовательность щелевых областей реализуема круговыми областями и щелевые области стремятся к щелевой области, то соответствующая последовательность круговых областей сходится к круговой. домен; более того, соответствующие конформные отображения также сходятся. Таким образом, карта должна соответствовать связности путей целевого пространства.

Отчет об оригинальном доказательстве униформизации Кёбе с помощью круговых областей можно найти у Бибербаха (1953) . Униформизацию также можно доказать с помощью уравнения Бельтрами . Шиффер и Хоули (1962) построили конформное отображение в круговую область путем минимизации нелинейного функционала - метод, обобщивший принцип Дирихле.

Кёбе также описал две итерационные схемы построения конформного отображения на круговую область; они описаны у Гайера (1964) и Хенрици (1986) (переоткрыты инженерами по аэронавтике Хэлси (1979) , они очень эффективны). Фактически предположим, что область на сфере Римана задается внешним видом n непересекающихся жордановых кривых и что ∞ является внешней точкой. Пусть f ₁ — отображение Римана, переводящее внешнюю сторону первой кривой на внешнюю сторону единичного круга, фиксируя ∞. Кривые Жордана преобразуются с помощью f ₁ в n новых кривых. Теперь сделайте то же самое со второй кривой, чтобы получить f ₂ с другим новым набором из n кривых. Продолжайте таким же образом, пока f _n не будет определен. Затем перезапустите процесс на первой из новых кривых и продолжайте. Кривые постепенно стремятся к фиксированным окружностям и при больших N отображение f _N приближается к единице; а композиции f _N ∘ f _{N −1} ∘ ⋅⋅⋅ ∘ f ₂ ∘ f ₁ равномерно на компактах стремятся к униформизующему отображению.

Униформизация с помощью параллельных щелевых областей и круговых областей была доказана с помощью вариационных принципов Рихардом Курантом, начиная с 1910 года, и описана Курантом (1950) .

Униформизация параллельными разрезными областями справедлива для произвольных связных открытых областей в C ; Кёбе (1908) предположил («Kreisnormierungsproblem» Кёбе), что аналогичное утверждение верно для униформизации с помощью круговых областей. Он и Шрамм (1993) доказали гипотезу Кебе, когда число граничных компонентов счетно; Хотя гипотеза доказана для широких классов областей, она остается открытой, когда число граничных компонентов несчетно. Кёбе (1936) также рассмотрел предельный случай соприкасающихся или касательных окружностей, который продолжает активно изучаться в теории упаковки кругов .

См. также

• Теорема Каратеодори (конформное отображение)
• Теорема Жордана о кривой
• Проблема Шенфлиса

Ссылки

• Альфорс, Ларс В.; Сарио, Лео (1960), Римановы поверхности , Princeton Mathematical Series, vol. 26, Издательство Принстонского университета
• Альфорс, Ларс В. (1978), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , Международная серия по чистой и прикладной математике (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  0070006571
• Бибербах, Л. (1953), Конформное отображение , перевод Ф. Стейнхардта, Челси
• Курант, Ричард (1950), Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности , Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc., MR   0036317 ; перепечатано, Springer, 1977, ISBN   0-387-90246-5
• Гайер, Дитер (1959a), «Об экстремальной проблеме конформного отображения» , Math. Z. (на немецком языке), 71 : 83–88, doi : 10.1007/BF01181387 , S2CID   120833385 .
• Гайер, Дитер (1959b), «Исследования по проведению конформного картографирования нескольких связанных областей» , Arch. (на немецком языке), 3 : 149–178, doi : 10.1007/BF00284172 , S2CID   121587700
• Гайер, Дитер (1964), Конструктивные методы конформного отображения , Спрингер
• Голузин Г.М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного , Переводы математических монографий, вып. 26, Американское математическое общество
• Грунский, Гельмут (1978), Лекции по теории функций в многосвязных областях , Ванденхук и Рупрехт, ISBN  3-525-40142-6
• Хэлси, Н.Д. (1979), «Анализ потенциального потока многоэлементных аэродинамических профилей с использованием конформного картографирования» , AIAA J. , 17 (12): 1281–1288, doi : 10.2514/3.61308
• Он, Чжэн-Сюй; Шрамм, Одед (1993), "Неподвижные точки, униформизация Кебе и упаковки кругов", Ann. математики. , 137 (2): 369–406, номер документа : 10.2307/2946541 , JSTOR   2946541.
• Хенричи, Питер (1986), Прикладной и вычислительный комплексный анализ , Wiley-Interscience, ISBN  0-471-08703-3
• Кацнельсон, Ицхак (2004), Введение в гармонический анализ , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-54359-0
• Кодайра, Кунихико (2007), Комплексный анализ , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 107, Издательство Кембриджского университета, ISBN  9780521809375
• Кёбе, Пауль (1908), «Об униформизации произвольных аналитических кривых, III», Göttingen Nachrichten : 337–358.
• Кобе, Пол (1910), «О конформном картировании многосвязных областей» , Годовой отчет. немецкий Математика. , 19 : 339–348
• Кёбе, Пол (1910a), «Об униформизации произвольных аналитических кривых» , Журнал чистой и прикладной математики , 138 : 192–253, doi : 10.1515/crll.1910.138.192 , S2CID   120198686
• Кёбе, Пауль (1910b), «О методе униформизации Гильберта» (PDF) , Göttinger Nachrichten : 61–65
• Кёбе, Пол (1916), «Трактаты по теории конформного отображения. IV. Отображение многосвязных простых областей на щелевые области» , Acta Math. , 41 : 305–344, doi : 10.1007/BF02422949 , S2CID   124229696 .
• Пол (1918), Отображение многосвязных простых областей на щелевые Math . V. , Кёбе , отображения : « Трактаты по теории конформного »   области
• Кобе, Пол (1920), «Трактаты по теории конформного отображения VI. Отображение многосвязных простых областей на круговые области. Униформизация гиперэллиптических кривых. (Итерационные методы)» , Math. Z. , 7 : 235–301, doi. : 10.1007/BF01199400 , S2CID   125679472
• Кобе, Пол (1936), «Контактные проблемы конформного отображения», сообщает Верханде. Саксонский. Академическая наука Лейпциг , 88 : 141–164.
• Кюнау, Р. (2005), «Канонические конформные и квазиконформные отображения», Справочник по комплексному анализу, том 2 , Elsevier, стр. 131–163.
• Нэпьер, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности , Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-4693-6
• Нехари, Зеев (1952), Конформное отображение , Dover Publications , ISBN  9780486611372
• Неванлинна, Рольф (1953), Униформизация , Основные принципы математических наук, том. 64, джемпер
• Пфлюгер, Альберт (1957), Теория римановых поверхностей , Спрингер
• Шиффер, Менахем; Спенсер, Дональд К. (1954), Функционалы конечных римановых поверхностей , Princeton University Press
• Шиффер, М. (1959), «Собственные значения Фредгольма многосвязных областей», Pacific J. Math. , 9 : 211–269, doi : 10.2140/pjm.1959.9.211
• Шиффер, Менахем; Хоули, Н.С. (1962), «Соединения и конформное отображение», Acta Math. , 107 (3–4): 175–274, doi : 10.1007/bf02545790
• Симха, Р.Р. (1989), "Теорема униформизации для плоских римановых поверхностей", Arch. Математика. , 53 (6): 599–603, doi : 10.1007/bf01199820 , S2CID   119590093
• Спрингер, Джордж (1957), Введение в римановы поверхности , Аддисон – Уэсли, MR   0092855
• Стивенсон, Кеннет (2005), Введение в упаковку кругов , Cambridge University Press, ISBN  0-521-82356-0
• Вейль, Герман (1913), Идея римановой поверхности (перепечатка немецкого оригинала 1913 года в 1997 году) , Тойбнер, ISBN  3-8154-2096-2
• Вейль, Герман (1955), Концепция римановой поверхности , перевод Джеральда Р. Маклейна (3-е изд.), Аддисон-Уэсли, MR   0069903