Введение в упаковку кругов
Введение в упаковку кругов: теория дискретных аналитических функций — это математическая монография, посвященная системам касательных окружностей и теореме об упаковке кругов . Он был написан Кеннетом Стивенсоном и опубликован в 2005 году издательством Cambridge University Press .
Темы
[ редактировать ]Упаковки кругов, изучаемые в этой книге, представляют собой системы кругов, которые соприкасаются в точках касания, но не перекрываются, в соответствии с комбинаторным шаблоном смежности, определяющим, какие пары кругов должны соприкасаться. Теорема об упаковке кругов утверждает, что упаковка кругов существует тогда и только тогда, когда набор смежностей образует плоский граф ; Первоначально оно было доказано Полом Кебе в 1930-х годах и популяризировано Уильямом Тёрстоном , который заново открыл его в 1970-х годах и связал его с теорией конформных отображений и конформной геометрии . [1] Как тему, это следует отличать от упаковки сфер , которая рассматривает более высокие измерения (здесь все двумерно) и больше ориентирована на плотность упаковки , чем на комбинаторные закономерности касания. [2] [3]
Книга разделена на четыре части с прогрессивным уровнем сложности. [4] Первая часть знакомит с предметом визуально, побуждая читателя думать об упаковках не просто как о статических объектах, а как о динамических системах кругов, которые меняются предсказуемым образом, когда изменяются условия, при которых они формируются (паттерны их соседства). Вторая часть касается доказательства самой теоремы об упаковке кругов и связанной с ней теоремы о жесткости : каждому максимальному планарному графу можно сопоставить упаковку кругов, единственную с точностью до преобразований Мёбиуса плоскости. [1] [3] В более общем смысле тот же результат справедлив для любого триангулированного многообразия с упаковкой кругов на топологически эквивалентной римановой поверхности , уникальной с точностью до конформной эквивалентности. [5]
Третья часть книги посвящена степеням свободы, которые возникают, когда образец смежности не является полностью триангулированным (это планарный граф, но не максимальный планарный граф). В этом случае различные расширения этого шаблона на более крупные максимальные планарные графы приведут к различным упаковкам, которые можно сопоставить друг с другом соответствующими кругами. В книге исследуется связь между этими отображениями, которые она называет дискретными аналитическими функциями, и аналитическими функциями классического математического анализа . Заключительная часть книги посвящена гипотезе Уильяма Терстона, доказанной Бертоном Роденом и Деннисом Салливаном , которая делает эту аналогию конкретной: конформные отображения любого топологического диска в круг можно аппроксимировать, заполняя диск гексагональной упаковкой единичных кругов. , нахождение упаковки кругов, которая добавляет к этому шаблону смежностей один внешний круг, и построение результирующей дискретной аналитической функции. Эта часть также включает приложения к теории чисел и визуализацию структуры мозга. [1] [3]
Стивенсон реализовал алгоритмы упаковки кругов и использовал их для создания множества иллюстраций к книге. [5] придавая большей части этой работы оттенок экспериментальной математики , хотя она также является математически строгой. [4] Нерешенные проблемы перечислены на протяжении всей книги, которая также включает девять приложений по смежным темам, таким как лемма о кольцах и спирали Дойла . [1] [3]
Аудитория и прием
[ редактировать ]Книга представляет математику исследовательского уровня и предназначена для профессиональных математиков, интересующихся этой и смежными темами. Рецензент Фредерик Матеус описывает уровень материала в книге как «одновременно математически строгий и доступный для начинающего математика», представленный в доступном стиле, передающем любовь автора к материалу. [6] Однако, хотя в предисловии к книге говорится, что никаких дополнительных знаний не требуется и что книгу могут читать нематематики или использовать в качестве учебника для студентов, рецензент Мишель Интермонт не согласен, отмечая, что в ней нет упражнений для студентов, и пишет, что «Нематематики будут просто разочарованы этой книгой». [2] Точно так же рецензент Дэвид Мамфорд считает, что первые семь глав (часть I и большая часть части II) написаны на уровне бакалавриата, но пишет, что «в целом книга подходит для аспирантов по математике». [4]
Публикация
[ редактировать ]- Стивенсон, Кеннет (2005), Введение в упаковку кругов: теория дискретных аналитических функций , Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 9780521823562 , OCLC 55878014
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Покас, Сергей М., «Обзор введения в упаковку кругов », zbMATH , Zbl 1074.52008
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Интермонт, Мишель (декабрь 2005 г.), «Обзор введения в упаковку кругов », MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Лорд, Ник (ноябрь 2006 г.), «Обзор введения в упаковку кругов », The Mathematical Gazette , 90 (519): 554–556, doi : 10.1017/S0025557200180726 , JSTOR 40378239 , S2CID 126249069
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Мамфорд, Дэвид (январь – февраль 2006 г.), «Набейте это! (Обзор введения в упаковку кругов )», American Scientist , 94 (1): 84–86, doi : 10.1511/2006.57.84 , JSTOR 27858719
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Кэннон, JW ; Флойд, штат Вашингтон ; Парри, WR (июнь 2007 г.), «Обзор введения в упаковку кругов », The Mathematical Intelligencer , 29 (3): 63–66, doi : 10.1007/bf02985693 , S2CID 123145356
- ^ Матеус, Фредерик (2006), «Обзор введения в упаковку кругов », Mathematical Reviews , MR 2131318