Лемма о кольцах

В геометрии упаковок кругов на евклидовой плоскости лемма о кольцах дает нижнюю оценку размеров соседних кругов в упаковке кругов. ^[1]

Заявление [ править ]

Лемма гласит: Пусть $n$ быть любым целым числом, большим или равным трем. Предположим, что единичная окружность окружена кольцом $n$ внутренние непересекающиеся окружности, все касательные к нему, с последовательными окружностями в кольце, касающимися друг друга. Тогда минимальный радиус любой окружности в кольце не меньше единичной доли.

{\frac {1}{F_{2n-3}-1}}

где

F_{i}

это

i

число Фибоначчи . ^[1]^[2]

Последовательность минимальных радиусов, от $n=3$ , начинается

{\textstyle \displaystyle 1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{12}},{\frac {1}{33}},{\frac {1}{88}},{\frac {1}{232}},\dots }

(последовательность A027941 в OEIS )

Известны также обобщения на трехмерное пространство. ^[3]

Строительство [ править ]

Можно построить бесконечную последовательность окружностей, содержащую кольца для каждой. $n$ которые точно соответствуют границе леммы о кольце, показывая, что она является точной. Конструкция позволяет полуплоскости рассматривать как вырожденные окружности бесконечного радиуса и включает дополнительные касания между окружностями, помимо требуемых в формулировке леммы. Он начинается с помещения единичного круга между двумя параллельными полуплоскостями; в геометрии кругов они считаются касающимися друг друга в бесконечной точке . Каждая последующая окружность после первых двух касается центральной единичной окружности и двух последних добавленных окружностей; см. иллюстрацию первых шести кругов (включая две полуплоскости), построенных таким образом. Первый $n$ круги этой конструкции образуют кольцо, минимальный радиус которого можно вычислить по теореме Декарта как такой же, как радиус, указанный в лемме о кольце. Эту конструкцию можно возмущать до кольца $n$ конечные окружности без дополнительных касаний, минимальный радиус которых сколь угодно близок к этой границе. ^[4]

История [ править ]

Версия леммы о кольце с более слабой оценкой была впервые доказана Бертоном Роденом и Деннисом Салливаном как часть доказательства гипотезы Уильяма Терстона о том, что упаковки кругов можно использовать для аппроксимации конформных отображений . ^[5] Лоуэлл Хансен дал рекуррентное соотношение для максимально точной нижней границы: ^[6] и Дов Ааронов нашли выражение в замкнутой форме для той же границы. ^[2]

Приложения [ править ]

Помимо первоначального применения к конформному отображению, ^[5] Теорема об упаковке кругов и лемма о кольце играют ключевую роль в доказательстве Кесега, Паха и Палвёлдьи о том, что плоские графы ограниченной степени могут быть нарисованы с ограниченным наклонным числом . ^[7]

Ссылки [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Стивенсон, Кеннет (2005), Введение в упаковку кругов: теория дискретных аналитических функций , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82356-2 , МР 2131318 ; см. особенно лемму 8.2 (Лемма о кольце), стр. 73–74 , и Приложение B, Лемма о кольце, стр. 318–321 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Ахаронов, Дов (1997), «Точная константа в лемме о кольце», Комплексные переменные , 33 (1–4): 27–31, doi : 10.1080/17476939708815009 , MR 1624890
^ измерениях», Geometriae Dedicata , 152 : 51–62, doi : 10.1007/s10711-010-9545-0 , MR 2795235 , S2CID Василис, Джонатан (2011), «Кольцевая лемма в трех
^ Ахаронов Д.; Стивенсон, К. (1997), «Геометрические последовательности дисков в аполлоновой упаковке» , Алгебра и анализ , 9 (3): 104–140, MR 1466797
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Роден, Берт ; Салливан, Деннис (1987), «Сходимость упаковок кругов к отображению Римана» , Журнал дифференциальной геометрии , 26 (2): 349–360, doi : 10.4310/jdg/1214441375 , MR 0906396
^ Хансен, Лоуэлл Дж. (1988), «О лемме о кольцах Родена и Салливана», Комплексные переменные , 10 (1): 23–30, doi : 10.1080/17476938808814284 , MR 0946096
^ Кесег, Балаж; Пах, Янош ; Палвёлдьи, Дёмётёр (2011), «Рисование плоских графов ограниченной степени с небольшим количеством наклонов», в Брандесе, Ульрике ; Корнельсен, Сабина (ред.), Рисование графиков: 18-й Международный симпозиум, GD 2010, Констанц, Германия, 21-24 сентября 2010 г., Пересмотренные избранные статьи , Конспекты лекций по информатике, том. 6502, Гейдельберг: Springer, стр. 293–304, arXiv : 1009.1315 , doi : 10.1007/978-3-642-18469-7_27 , MR 2781274

[s-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Стивенсон, Кеннет (2005), Введение в упаковку кругов: теория дискретных аналитических функций , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82356-2 , МР 2131318 ; см. особенно лемму 8.2 (Лемма о кольце), стр. 73–74 , и Приложение B, Лемма о кольце, стр. 318–321 .

[a-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Ахаронов, Дов (1997), «Точная константа в лемме о кольце», Комплексные переменные , 33 (1–4): 27–31, doi : 10.1080/17476939708815009 , MR 1624890

[v-3] измерениях», Geometriae Dedicata , 152 : 51–62, doi : 10.1007/s10711-010-9545-0 , MR 2795235 , S2CID Василис, Джонатан (2011), «Кольцевая лемма в трех

[as-4] Ахаронов Д.; Стивенсон, К. (1997), «Геометрические последовательности дисков в аполлоновой упаковке» , Алгебра и анализ , 9 (3): 104–140, MR 1466797

[rs-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Роден, Берт ; Салливан, Деннис (1987), «Сходимость упаковок кругов к отображению Римана» , Журнал дифференциальной геометрии , 26 (2): 349–360, doi : 10.4310/jdg/1214441375 , MR 0906396

[h-6] Хансен, Лоуэлл Дж. (1988), «О лемме о кольцах Родена и Салливана», Комплексные переменные , 10 (1): 23–30, doi : 10.1080/17476938808814284 , MR 0946096

[kpp-7] Кесег, Балаж; Пах, Янош ; Палвёлдьи, Дёмётёр (2011), «Рисование плоских графов ограниченной степени с небольшим количеством наклонов», в Брандесе, Ульрике ; Корнельсен, Сабина (ред.), Рисование графиков: 18-й Международный симпозиум, GD 2010, Констанц, Германия, 21-24 сентября 2010 г., Пересмотренные избранные статьи , Конспекты лекций по информатике, том. 6502, Гейдельберг: Springer, стр. 293–304, arXiv : 1009.1315 , doi : 10.1007/978-3-642-18469-7_27 , MR 2781274

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]