Сингулярные интегральные операторы типа свертки

В математике , сингулярные интегральные операторы типа свертки — это сингулярные интегральные операторы возникающие на R ^н и Т ^н посредством свертки по распределениям; эквивалентно, они являются сингулярными интегральными операторами, коммутирующими со сдвигами. Классическими примерами гармонического анализа являются оператор гармонического сопряжения на окружности, преобразование Гильберта на окружности и действительной прямой, преобразование Берлинга на комплексной плоскости и преобразование Рисса в евклидовом пространстве. Непрерывность этих операторов на L ² очевидно, поскольку преобразование Фурье преобразует их в операторы умножения . Непрерывность на L ^п Пространства впервые были созданы Марселем Риссом . Классические методы включают использование интегралов Пуассона , теории интерполяции и максимальной функции Харди-Литтлвуда . фундаментальные новые методы, предложенные Альберто Кальдероном и Антони Зигмундом Для более общих операторов ряд авторов разработали в 1952 году, чтобы дать общие критерии непрерывности на L. ^п пространства. В этой статье объясняется теория классических операторов и очерчивается последующая общая теория.

л ² теория

Преобразование Гильберта на окружности

Смотрите также: Гармоническое сопряжение

Теория L ² функции особенно просты на круге. Если f ∈ L ² ( T ), то он имеет разложение в ряд Фурье $$f(\theta )=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta }.$$

Харди Спейс H ² ( T ) состоит из функций, отрицательные коэффициенты которых равны нулю, a _n = 0 при n < 0. Это именно те функции, интегрируемые с квадратом, которые возникают как граничные значения голоморфных функций в открытом единичном круге. Действительно, f — граничное значение функции

$$F(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n},$$

в том смысле, что функции

$$f_{r}(\theta )=F(re^{i\theta }),$$

определяется ограничением F на концентрические окружности | г | = r , удовлетворить

$$\|f_{r}-f\|_{2}\rightarrow 0.$$

Ортогональная проекция P пространства L ² ( T ) на H ² ( T ) называется проекцией Сегё . Это ограниченный оператор на L ² ( T ) с операторной нормой 1. По теореме Коши

$$F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{|\zeta |=1}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\theta ) \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\theta .$$

Таким образом

$$F(re^{i\varphi })={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-re^{i\theta }}\,d\theta .$$

Когда r = 1, подынтегральная функция в правой части имеет особенность при θ = 0. Усеченное преобразование Гильберта определяется формулой

$$H_{\varepsilon }f(\varphi )={i \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi }\int _{|\zeta -e^{i\varphi }|\geq \delta }{f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,$$

где δ = |1 – e ^{есть ε} |. Поскольку он определен как свертка с ограниченной функцией, это ограниченный оператор на L ² ( Т ). Сейчас

$$H_{\varepsilon }{1}={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }2\Re (1-e^{i\theta })^{-1}\,d\theta ={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }1\,d\theta =i-{i\varepsilon \over \pi }.$$

Если f — полином от z, то

$$H_{\varepsilon }f(z)-{i(1-\varepsilon ) \over \pi }f(z)={1 \over \pi i}\int _{|\zeta -z|\geq \delta }{f(\zeta )-f(z) \over \zeta -z}\,d\zeta .$$

По теореме Коши правая часть стремится к 0 равномерно при ε и, следовательно , δ стремится к 0. Итак

$$H_{\varepsilon }f\rightarrow if$$

равномерно для полиномов. С другой стороны, если u ( z ) = z, сразу видно, что

$${\overline {H_{\varepsilon }f}}=-u^{-1}H_{\varepsilon }(u{\overline {f}}).$$

Таким образом, если f — полином от z ⁻¹ без постоянного срока

$H_{\varepsilon }f\rightarrow -if$ равномерно.

Определите преобразование Гильберта на окружности с помощью $$H=i(2P-I).$$

Таким образом, если f — тригонометрический полином

$H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf$ равномерно.

Отсюда следует, что если f — любой L ² функция

$H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf$ в Л ² норма.

Это является непосредственным следствием результата для тригонометрических полиномов, если установлено, что операторы равномерно _Hε ограничены по операторной норме . Но на [– π , π ]

$$(1-e^{i\theta })^{-1}=[(1-e^{i\theta })^{-1}-i\theta ^{-1}]+i\theta ^{-1}.$$

Первый член ограничен на всем пространстве [–π,π], поэтому достаточно показать, что операторы свертки S _ε, определенные формулой

$$S_{\varepsilon }f(\varphi )=\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }f(\varphi -\theta )\theta ^{-1}\,d\theta$$

равномерно ограничены. По отношению к ортонормированному базису e ^вθ Операторы свертки диагональны, и их операторные нормы задаются путем взятия верхней границы модулей коэффициентов Фурье. Непосредственное вычисление показывает, что все они имеют вид

$${\frac {1}{\pi }}\left|\int _{a}^{b}{\sin t \over t}\,dt\right|$$

с 0 < а < б . Хорошо известно, что эти интегралы равномерно ограничены.

Отсюда также следует, что для непрерывной функции f на окружности H _ε f сходится к Hf равномерно , то есть, в частности, поточечно. Поточечный предел — это главное значение Коши , записанное

$$Hf=\mathrm {P.V.} \,{1 \over \pi }\int {f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta .$$

Если f находится только в L ² тогда H _ε f сходится к Hf поточечно почти всюду. Фактически определим операторы Пуассона на L ² функции

$$T_{r}\left(\sum a_{n}e^{in\theta }\right)=\sum r^{|n|}a_{n}e^{in\theta },$$

при r < 1. Поскольку эти операторы диагональны, легко видеть, что f _Tr стремится к f в L ² при увеличении r , Tr _{до 1. Более того, как доказал Лебег} f также поточечно стремится к f в каждой точке f Лебега . С другой стороны, известно также, что T _r Hf − H _{1 − r} f стремится к нулю в каждой точке Лебега функции f . Следовательно, H _{1 – r} f стремится поточечно к f в общих точках Лебега f и Hf и, следовательно, почти всюду.

Результаты такого рода о поточечной сходимости доказываются ниже в более общем виде для L ^п функции с использованием операторов Пуассона и максимальной функции Харди–Литтлвуда от f .

Преобразование Гильберта имеет естественную совместимость с диффеоморфизмами окружности, сохраняющими ориентацию. Таким образом, если H — диффеоморфизм окружности с

$$H(e^{i\theta })=e^{ih(\theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,$$

тогда операторы

$$H_{\varepsilon }^{h}f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int _{|e^{ih(\theta )}-e^{ih(\varphi )}|\geq \varepsilon }{\frac {f(e^{i\theta })}{e^{i\theta }-e^{i\varphi }}}e^{i\theta }\,d\theta ,$$

равномерно ограничены и стремятся в сильной операторной топологии к H . Более того, если Vf ( z ) = f ( H ( z )), то VHV ⁻¹ − H — оператор с гладким ядром, поэтому оператор Гильберта–Шмидта .

Фактически, если G является инверсией H с соответствующей функцией g ( θ ), то

$$(VH_{\varepsilon }^{h}V^{-1}-H_{\varepsilon })f(e^{i\varphi })={1 \over \pi }\int _{|e^{i\theta }-e^{i\varphi }|\geq \varepsilon }\left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .$$

Так как ядро ​​в правой части гладкое на T × T , то операторы в правой части равномерно ограничены, а значит, и операторы H _ε ^час . Чтобы увидеть, что они сильно стремятся к H , достаточно проверить это на тригонометрических полиномах. В этом случае

$$H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{z-\zeta }}dz={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz+{\frac {f(\zeta )}{\pi i}}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{dz \over z-\zeta }.$$

В первом интеграле подынтегральная функция представляет собой тригонометрический полином от z и ζ, поэтому интеграл представляет собой тригонометрический полином от ζ . Имеет тенденцию в L ² к тригонометрическому полиному $${1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz.$$

Интеграл во втором члене можно вычислить по принципу аргумента . Имеет тенденцию в L ² к постоянной функции 1, так что

$$\lim _{\varepsilon \to 0}H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )=f(\zeta )+{1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz,$$

где предел находится в L ² . С другой стороны, правая часть не зависит от диффеоморфизма. Поскольку для тождественного диффеоморфизма левая часть равна Hf , она также равна Hf (это также можно проверить непосредственно, если f — тригонометрический полином). Наконец, полагая ε → 0,

$$(VHV^{-1}-H)f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int \left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .$$

Прямой метод вычисления коэффициентов Фурье для доказательства равномерной ограниченности оператора H ^е не обобщается непосредственно на L ^п пространства с 1 < p < ∞. Вместо этого прямое сравнение H ^е f с интегралом Пуассона преобразования Гильберта используется классически для доказательства этого. Если f имеет ряд Фурье

$$f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta },$$

его интеграл Пуассона определяется выражением

$$P_{r}f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}r^{|n|}e^{in\theta }={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{(1-r^{2})f(e^{i\theta }) \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}\,d\theta =K_{r}\star f(e^{i\theta }),$$

где ядро ​​Пуассона K _r имеет вид $$K_{r}(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }r^{|n|}e^{in\theta }={1-r^{2} \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.$$

В f есть в L ^п ( T то операторы Pr _{удовлетворяют} ) $$\|P_{r}f-f\|_{p}\rightarrow 0.$$

На самом деле K _r положительны, поэтому $$\|K_{r}\|_{1}={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }K_{r}(e^{i\theta })\,d\theta =1.$$

операторы Pr _{Таким образом ,} имеют операторную норму, ограниченную единицей на L ^п . Приведенное выше утверждение о сходимости следует по непрерывности из результата для тригонометрических полиномов, где оно является непосредственным следствием формулы для коэффициентов Фурье функции K _r .

Равномерная ограниченность операторной нормы H _ε следует из того, что HP _r − H _{1− r} задается сверткой с помощью функции ψ _r , где $${\begin{aligned}\psi _{r}(e^{i\theta })&=1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\\&\leq 1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {1-r}{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\end{aligned}}$$ для 1 − r ≤ |θ| ≤ π и при |θ| < 1 - р , $$\psi _{r}(e^{i\theta })=1+{2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.$$

Эти оценки показывают, что L ¹ нормы ∫ |ψ _r | равномерно ограничены. Так как H — ограниченный оператор, то операторы H _ε равномерно ограничены по операторной норме на L ² ( Т ). Тот же аргумент можно использовать и в отношении L ^п ( T ) если известно, что преобразование Гильберта H ограничено в операторной норме на L ^п ( Т ).

Преобразование Гильберта на действительной прямой

Смотрите также: преобразование Гильберта

Как и в случае с кругом, теория для L ² функции особенно легко разрабатывать. Фактически, как заметили Розенблюм и Девинац, два преобразования Гильберта могут быть связаны с помощью преобразования Кэли .

Гильберта Преобразование HR _L на ² ( R ) определяется формулой $${\widehat {H_{\mathbf {R} }f}}=\left(i\chi _{[0,\infty )}-i\chi _{(-\infty ,0]}\right){\widehat {f}},$$ где преобразование Фурье определяется выражением $${\widehat {f}}(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx.$$

Определим пространство Харди H ² ( R ) — замкнутое подпространство L ² ( R ), состоящий из функций, для которых преобразование Фурье обращается в нуль на отрицательной части вещественной оси. Его ортогональное дополнение задается функциями, для которых преобразование Фурье обращается в нуль на положительной части вещественной оси. Это комплексно-сопряженное число H ² ( Р ). Если P _R — ортогональная проекция на H ² ( Р ), тогда

$$H_{\mathbf {R} }=i(2P_{\mathbf {R} }-I).$$

Преобразование Кэли $$C(x)={x-i \over x+i}$$ переносит расширенную вещественную линию на окружность, отправляя точку ∞ в 1, а верхнюю полуплоскость на единичный диск.

Определим унитарный оператор из L ² ( Т ) на L ² ( р ) по $$Uf(x)=\pi ^{-1/2}(x+i)^{-1}f(C(x)).$$

Этот оператор переносит пространство Харди окружности H ² ( T ) на H ² ( Р ). Фактически для | ш | < 1, линейная оболочка функций $$f_{w}(z)={\frac {1}{1-wz}}$$ плотно в H ² ( Т ). Более того, $$Uf_{w}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{(1-w)(x-{\overline {z}})}}$$ где $$z=C^{-1}({\overline {w}}).$$

С другой стороны, при z ∈ H линейная оболочка функций $$g_{z}(t)=e^{itz}\chi _{[0,\infty )}(t)$$ плотно в L ² ((0,∞)). По формуле обращения Фурье они являются преобразованиями Фурье $$h_{z}(x)={\widehat {g_{z}}}(-x)={i \over {\sqrt {2\pi }}}(x+z)^{-1},$$ поэтому линейная оболочка этих функций плотна в H ² ( Р ). Поскольку U переносит f _w на кратные h _z , отсюда следует, что U переносит H ² ( T ) на H ² ( Р ). Таким образом $$UH_{\mathbf {T} }U^{*}=H_{\mathbf {R} }.$$

У Никольского (1986) часть L ² теория на вещественной прямой и верхней полуплоскости развивается путем переноса результатов с окружности и единичного круга. параллельные действительной оси в H. Естественными заменителями концентрических окружностей в диске являются линии , Согласно преобразованию Кэли, они соответствуют кругам в диске, касающимся единичного круга в первой точке. Поведение функций из H ² ( T ) на этих окружностях является частью теории мер Карлесона . Однако теорию сингулярных интегралов легче развивать, работая непосредственно R. над

ЧАС ² ( R ) состоит ровно из L ² функции f , возникающие из граничных значений голоморфных функций на H в следующем смысле: f находится в H ² при условии, что существует голоморфная функция F ( z ) на H такая, что функции f _y ( x ) = f ( x + iy ) для y > 0 находятся в L ² и f _y стремится к f в L ² при y → 0. В этом случае F обязательно уникально и задается интегральной формулой Коши :

$$F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds.$$

Фактически, выявление H ² с Л ² (0,∞) через преобразование Фурье, при y > 0 умножение на e ^{− да} on L ² (0,∞) induces a contraction semigroup V _y on H ² . Следовательно, для f в L ²

$${1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\widehat {g_{z}}}(s)\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(s)g_{z}(s)\,ds=V_{y}Pf(x).$$

Если f находится в H ² , F ( z ) голоморфно при Im z > 0, поскольку семейство L ² функции g _z голоморфно зависят от z . Более того, f _y = V _y f стремится к f в H ² поскольку это верно для преобразований Фурье. Обратно, если такой F существует, то по интегральной теореме Коши и приведенному выше тождеству, примененному к f _y

$$f_{y+t}=V_{t}Pf_{y}$$

для t > 0. Если t стремится к 0 , то Pf _y = f _y , так что f _y лежит в H ² . Но то же самое касается и предела f . С $$V_{t}f_{y}=f_{y+t}=V_{y}f_{t},$$ единственность F следует из $$f_{t}=\lim _{y\to 0}f_{y+t}=\lim _{y\to 0}V_{t}f_{y}=V_{t}f.$$

Для f в L ² усеченные преобразования Гильберта определяются формулой $${\begin{aligned}H_{\varepsilon ,R}f(x)&={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y-x|\leq R}{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y|\leq R}{f(x-y) \over y}\,dy\\H_{\varepsilon }f(x)&={1 \over \pi }\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{|y|\geq \varepsilon }{f(x-y) \over y}\,dy.\end{aligned}}$$

Операторы Hε _{являются свертками с , R} помощью ограниченных функций с компактным носителем, поэтому их операторные нормы задаются равномерной нормой их преобразований Фурье. Как и раньше, абсолютные значения имеют вид

$${1 \over {\sqrt {2\pi }}}\left|\int _{a}^{b}{2\sin t \over t}\,dt\right|.$$

0 < a < b , поэтому операторы Hε _{при , R} равномерно ограничены по операторной норме. Поскольку H _{ε , R} f стремится к H _ε f в L ² для f с компактным носителем и, следовательно, для произвольного f операторы H _ε также равномерно ограничены по операторной норме.

Чтобы доказать, что H _ε f стремится к Hf при стремлении ε к нулю, достаточно проверить это на плотном множестве функций. С другой стороны,

$${\overline {H_{\varepsilon }f}}=-H_{\varepsilon }({\overline {f}}),$$

поэтому достаточно доказать, что H _ε f стремится к if для плотного набора функций из H ² ( R ), например преобразования Фурье гладких функций g с компактным носителем в (0,∞). Но преобразование Фурье f продолжается до целой функции F на C , которая ограничена на Im( z ) ≥ 0. То же самое верно и для производных g . С точностью до скаляра они соответствуют умножению F ( z ) на степени z . Таким образом, F удовлетворяет оценке Пэли-Винера для Im( z ) ≥ 0:

$$|F^{(m)}(z)|\leq K_{N,m}(1+|z|)^{-N}$$

для любого m , N ≥ 0. В частности, интеграл, определяющий H _ε f ( x ), можно вычислить, взяв стандартный контур полукруга с центром в x . Он состоит из большого полукруга радиуса R и малого круга радиуса ε с двумя частями действительной оси между ними. По теореме Коши интеграл по контуру равен нулю. Интеграл по большому контуру стремится к нулю по оценке Пэли-Винера. Интеграл на действительной оси является искомым пределом. Поэтому он задается как минус предел на малом полукруглом контуре. Но это предел

$${1 \over \pi }\int _{\Gamma }{F(z) \over z-x}\,dz.$$

Где Γ — небольшой полукруглый контур, ориентированный против часовой стрелки. При использовании обычных методов контурного интегрирования этот предел равен if ( x ). В этом случае легко проверить, что сходимость преобладает в L ² с

$$H_{\varepsilon }f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\,dy={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }\int _{0}^{1}f^{\prime }(x+t(y-x))\,dt\,dy$$

так что конвергенция преобладает $$G(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{1}\int _{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(x+ty)|\,dy$$ который находится в L ² по оценке Пэли-Винера.

Отсюда следует, что для f на L ² ( Р ) $$H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf.$$

Это можно вывести и непосредственно, поскольку после перехода к преобразованиям Фурье и _Hε H становятся операторами умножения на равномерно ограниченные функции. Множители для H _ε почти всюду поточечно стремятся к множителю для H , поэтому приведенное выше утверждение следует из теоремы о доминируемой сходимости, примененной к преобразованиям Фурье.

Что касается преобразования Гильберта на окружности, то H _ε f стремится к Hf поточечно почти всюду, если f является L ² функция. Фактически, определим операторы Пуассона на L ² функции

$$T_{y}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(x-t)f(t)\,dt,$$

где ядро ​​Пуассона имеет вид

$$P_{y}(x)={\frac {y}{\pi (x^{2}+y^{2})}}.$$

для y > 0. Его преобразование Фурье $${\widehat {P_{y}}}(t)=e^{-y|t|},$$

откуда легко видеть, что T _y f стремится к f в L ² при увеличении y до 0. Более того, как доказал Лебег, T _y f также поточечно стремится к f в каждой точке Лебега из f . другой стороны, известно также, что T _y Hf – Hy _С f стремится к нулю в каждой точке Лебега функции f . Следовательно, H _ε f стремится поточечно к f в общих точках Лебега f и Hf и, следовательно, почти всюду. Абсолютные значения функций T _y f − f и T _y Hf – H _y f могут быть ограничены поточечно кратными максимальной функции f .

Что касается преобразования Гильберта на окружности, то равномерная ограниченность операторных норм оператора H _ε следует из равномерной ограниченности операторных норм оператора T _ε , если H известно, что ограничен, поскольку HT _ε − H _ε является оператором свертки с помощью функции

$$g_{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}&|x|\leq \varepsilon \\{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}-{\frac {1}{\pi x}}&|x|>\varepsilon \end{cases}}$$

Л ​ ¹ нормы этих функций равномерно ограничены.

Преобразования Рисса в комплексной плоскости

Основная статья: преобразование Рисса

Комплексные преобразования Рисса R и R * в комплексной плоскости являются унитарными операторами на L ² ( C ) определяется как умножение на z /| г | и его сопряжение на преобразовании Фурье L ² функция е :

$${\widehat {Rf}}(z)={{\overline {z}} \over |z|}{\widehat {f}}(z),\,\,\,{\widehat {R^{*}f}}(z)={z \over |z|}{\widehat {f}}(z).$$

Отождествление C с R ² , R и R * определяются выражениями

$$R=-iR_{1}+R_{2},\,\,\,R^{*}=-iR_{1}-R_{2},$$

где R ₁ и R ₂ — преобразования Рисса на R ² определено ниже.

On L ² ( C ), оператор R и его целые степени унитарные. Их также можно выразить в виде сингулярных интегральных операторов:

$${R^{k}f(w)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}$$

где $$M_{k}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over |z|^{k+2}}\,\,\,\,(k\geq 1),\,\,\,\,M_{-k}(z)={\overline {M_{k}(z)}}.$$

Определив усеченные высшие преобразования Рисса как $${R_{\varepsilon }^{(k)}f(w)=\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}$$ Можно показать, что эти операторы равномерно ограничены по операторной норме. Для нечетных степеней это можно вывести с помощью метода вращения Кальдерона и Зигмунда, описанного ниже. Если известно, что операторы ограничены по операторной норме, это также можно вывести с помощью операторов Пуассона.

Операторы Пуассона T _s на R ² определяются при s > 0 соотношением

$${T_{s}f(x)={1 \over 2\pi }\int _{\mathbf {R} ^{2}}{sf(x) \over (|x-t|^{2}+s^{2})^{3/2}}\,dt.}$$

Они задаются сверткой с функциями

$${P_{s}(x)={s \over 2\pi (|x|^{2}+s^{2})^{3/2}}.}$$

P _s — преобразование Фурье функции e ^{− с | х |} , поэтому при преобразовании Фурье они соответствуют умножению на эти функции и образуют сжимающую полугруппу на L ² ( Р ² ). Поскольку P _y положителен и интегрируем с интегралом 1, операторы T _s также определяют сжимающую полугруппу на каждом L ^п пространство с 1 < p < ∞.

Высшие преобразования Рисса ядра Пуассона можно вычислить:

$${R^{k}P_{s}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over (|z|^{2}+s^{2})^{k/2+1}}}$$

для k ≥ 1 и комплексно-сопряженный для − k . Действительно, правая часть представляет собой гармоническую функцию F ( x , y , s ) трех переменных и для таких функций

$${T_{s_{1}}F(x,y,s_{2})=F(x,y,s_{1}+s_{2}).}$$

Как и раньше операторы

$${T_{\varepsilon }R^{k}-R_{\varepsilon }^{(k)}}$$

задаются сверткой с интегрируемыми функциями и имеют равномерно ограниченную операторную норму. Поскольку преобразования Рисса унитарны на L ² ( C ) из равномерной ограниченности усеченных преобразований Рисса следует, что они сходятся в топологии сильных операторов к соответствующим преобразованиям Рисса.

Равномерную ограниченность разницы между преобразованием и усеченным преобразованием можно также увидеть для нечетного k, используя метод вращения Кальдерона-Зигмунда. Группа T действует вращением на функции на C через $${U_{\theta }f(z)=f(e^{i\theta }z).}$$

Это определяет унитарное представление на L ² ( C ) и унитарные операторы R _θ коммутируют с преобразованием Фурье. Если A — ограниченный оператор в L ² ( R ) то он определяет ограниченный оператор A ⁽¹⁾ on L ² ( C ) просто заставляя A действовать на первую координату. С обозначением L ² ( Р ² ) = Л ² ( р ) ⊗ Л ² ( Р ), А ⁽¹⁾ знак равно А ⊗ я . Если φ — непрерывная функция на окружности, то новый оператор можно определить формулой $${B={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .}$$

Это определение понимается в том смысле, что $${(Bf,g)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )(U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}f,g)\,d\theta }$$

для любых f , g в L ² ( С ). Отсюда следует, что $${\|B\|\leq {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|\varphi (\theta )|\cdot \|A\|\,d\theta .}$$

Взяв A за преобразование Гильберта H на L ² ( R ) или его усечение H _ε , отсюда следует, что $${\begin{aligned}R&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta ,\\R_{\varepsilon }&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H_{\varepsilon }^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .\end{aligned}}$$

Взятие сопряженных дает аналогичную формулу для R* и его усечения. Это дает второй способ проверки оценок норм R , R * и их усечений. Преимущество этого метода заключается в том, что он применим также и для L ^п пространства.

Операторы Пуассона также можно использовать, чтобы показать, что усеченные высшие преобразования Рисса функции стремятся к высшему преобразованию Рисса в общих точках Лебега функции и ее преобразования. Действительно, ( Р ^к Т _ε - Р ^{( к )} _ε ) f → 0 в каждой точке Лебега f ; в то время как ( Р ^к − Р ^к T _ε ) f → 0 в каждой точке Лебега кольца R ^к ф .

Преобразование Берлинга на комплексной плоскости

Смотрите также: уравнение Бельтрами

С

$${{\overline {z}} \over z}=\left({{\overline {z}} \over |z|}\right)^{2},$$

преобразование Берлинга T на L ² – унитарный оператор, равный R ² . Это соотношение классически использовалось Векуа (1962) и Альфорсом (1966) для установления свойств непрерывности T на L. ^п пространства. Результаты преобразования Рисса и его степеней показывают, что T является пределом в сильной операторной топологии усеченных операторов. $$T_{\varepsilon }f(w)=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy.$$

Соответственно, Tf можно записать как интеграл главного значения Коши:

$$Tf(w)=-{\frac {1}{\pi }}P.V.\iint {\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dx\,dy.$$

Из описания T и T * на преобразованиях Фурье следует, что если f гладкая с компактным носителем

$${\begin{aligned}T(\partial _{z}f)&=\partial _{z}T(f),\\T(\partial _{\overline {z}}f)&=\partial _{\overline {z}}T(f).\end{aligned}}$$

Подобно преобразованию Гильберта в одном измерении, преобразование Берлинга совместимо с конформными изменениями координат. Пусть Ω — ограниченная область в C с гладкой границей ∂Ω и пусть φ — однолистное голоморфное отображение единичного круга D на Ω, продолжающееся до гладкого диффеоморфизма окружности на ∂Ω. Если χ _Ω является характеристической функцией Ω, оператор может χ _Ω Tχ _Ω определяет оператор T (Ω) на L ² (Ом). Через конформное отображение φ оно индуцирует оператор, также обозначаемый T (Ω), на L ² ( D ) который можно сравнить с T ( D ). То же самое относится и к усечениям ( _Tε Ω) и Tε ₍ ) D .

Пусть U _ε — диск | г - ш | < ε и V ^е область |φ( z ) − φ( ш )| < е . На Л ² ( Д ) $${\begin{aligned}T_{\varepsilon }(\Omega )f(w)&=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}\left[{\varphi ^{\prime }(w)\varphi ^{\prime }(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}f(z)\right]dx\,dy,\\T_{\varepsilon }(D)f(w)&=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash U_{\varepsilon }}{f(z) \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy,\end{aligned}}$$

и операторные нормы этих усеченных операторов равномерно ограничены. С другой стороны, если

$$T_{\varepsilon }^{\prime }(D)f(w)=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{(z-w)^{2}}}dx\,dy,$$

то разница между этим оператором и T _ε (Ω) представляет собой усеченный оператор с гладким ядром K ( w , z ):

$$K(w,z)=-{1 \over \pi }\left[{\varphi '(w)\varphi '(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}\right].$$

Таким образом, операторы T′ _ε ( D ) также должны иметь равномерно ограниченные операторные нормы. Чтобы увидеть, что их разность стремится к 0 в сильной операторной топологии, достаточно проверить это для f Smooth с компактным носителем в D . По теореме Грина

$$\left(T_{\varepsilon }(D)-T_{\varepsilon }^{\prime }(D)\right)f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{U_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dx\,dy-{1 \over \pi }\iint _{V_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dx\,dy+{1 \over 2\pi i}\int _{\partial U_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{z-w}}d{\overline {z}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial V_{\varepsilon }}{f(z) \over z-w}\,d{\overline {z}}.$$

Все четыре слагаемых в правой части стремятся к 0. Следовательно, разность ( Ω) − T ( D ) представляет собой оператор Гильберта–Шмидта с ядром K. T

В пользу поточечной сходимости существует простой аргумент, предложенный Матеу и Вердерой (2006), показавший, что усеченные интегралы сходятся к Tf именно в его точках Лебега, то есть почти всюду. Фактически T обладает следующим свойством симметрии для f , g ∈ L ² ( С )

$$\iint (Tf)g=-{1 \over \pi }\lim \int _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(w)g(z)}{(w-z)^{2}}}=\iint f(Tg).$$

С другой стороны, если χ — характеристическая функция диска D ( z ,ε) с центром z и радиусом ε , то

$$T\chi (w)=-\varepsilon ^{2}{\frac {1-\chi (w)}{(w-z)^{2}}}.$$

Следовательно $$T_{\varepsilon }(f)(z)={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint f(T\chi )={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint (Tf)\chi =\mathbf {Av} _{D(z,\varepsilon )}\,Tf.$$

По теореме Лебега о дифференцировании правая часть сходится к Tf в точках Лебега Tf .

Рисс трансформируется в более высоких измерениях

Основная статья: преобразование Рисса

Для f в пространстве Шварца R ^н , j -е преобразование Рисса определяется формулой

$$R_{j}f(x)=c_{n}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy={\frac {c_{n}}{n-1}}\int \partial _{j}f(x-y){1 \over |y|^{n-1}}dy,$$

где $$c_{n}=\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {n+1}{2}}}.$$

При преобразовании Фурье:

$${\widehat {R_{j}f}}(t)={it_{j} \over |t|}{\widehat {f}}(t).$$

Таким образом, R _j соответствует оператору ∂ _j ∆ ^−1/2 , где ∆ = −∂ ₁ ² − ⋯ −∂ _n ² обозначает лапласиан на R ^н . По определению R _j — ограниченный и кососопряженный оператор для L ² норма и

$$R_{1}^{2}+\cdots +R_{n}^{2}=-I.$$

Соответствующие усеченные операторы $$R_{j,\varepsilon }f(x)=c_{n}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy$$ равномерно ограничены по операторной норме. Это можно либо доказать непосредственно, либо установить с помощью метода вращений Кальдерона–Зигмунда для группы SO( n ). Это выражает операторы R _j и их усечения через преобразования Гильберта в одном измерении и его усечения. Фактически, если G = SO( n ) с нормированной мерой Хаара и H ⁽¹⁾ – преобразование Гильберта по первой координате, тогда

$${\begin{aligned}R_{j}&=\int _{G}\varphi (g)gH^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon }&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon }^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon ,R}&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon ,R}^{(1)}g^{-1}\,dg.\end{aligned}}$$

где φ ( g ) — матричный коэффициент (1, j ) g .

В частности, для f ∈ L ² , R _{j ,ε} f → R _j f в L ² . Более того, R _{j ,ε} f стремится к R _j почти всюду. Это можно доказать точно так же, как и для преобразования Гильберта, используя операторы Пуассона, определенные на L ² ( Р ^н ) когда Р ^н рассматривается как граница полупространства в R ^{п +1} . Альтернативно это можно доказать непосредственно из результата преобразования Гильберта на R, используя выражение R _j как интеграл по G .

Операторы Пуассона T _y на R ^н определяются для y > 0 формулой

$$T_{y}f(x)=c_{n}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {yf(x)}{\left(|x-t|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}dt.$$

Они задаются сверткой с функциями $$P_{y}(x)=c_{n}{\frac {y}{\left(|x|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.$$

P _y — преобразование Фурье функции e ^{− и | х |} , поэтому при преобразовании Фурье они соответствуют умножению на эти функции и образуют сжимающую полугруппу на L ² ( Р ^н ). Поскольку P _y положителен и интегрируем с интегралом 1, операторы T _y также определяют сжимающую полугруппу на каждом L ^п пространство с 1 < p < ∞.

Преобразования Рисса ядра Пуассона можно вычислить

$$R_{j}P_{\varepsilon }(x)=c_{n}{\frac {x_{j}}{\left(|x|^{2}+\varepsilon ^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.$$

Оператор R _j T _ε задается сверткой с этой функцией. Непосредственно проверяется, что операторы R _j T _ε − R _{j , ε} задаются сверткой с функциями, равномерно ограниченными в L ¹ норма. Поэтому операторная норма разности равномерно ограничена. Имеем ( R _j T _ε − R _{j , ε} ) f → 0 в каждой точке Лебега f ; в то время как ( R _j - R _j T _ε ) f → 0 в каждой точке Лебега R _j f . Итак, R _{j , ε} f → R _j f на общих точках Лебега f и R _j f .

л ^п теория

Элементарные доказательства теоремы М. Рисса

Теорема Марселя Рисса утверждает, что сингулярные интегральные операторы, непрерывные для L ² нормы также непрерывны в L ^п норма для 1 < p < ∞ и что нормы операторов непрерывно меняются с p .

Доказательство Бохнера преобразования Гильберта на окружности.

Как только установлено, что операторные нормы преобразования Гильберта на L ^п ( T ) ограничены для четных целых чисел, из интерполяционной теоремы Рисса–Торина и двойственности следует, что они ограничены для всех p с 1 < p < ∞ и что нормы непрерывно меняются с p . Более того, рассуждения с интегралом Пуассона можно применить, чтобы показать, что усеченные преобразования Гильберта H _ε равномерно ограничены по операторной норме и сходятся в сильной операторной топологии к H .

Достаточно доказать оценку для действительных тригонометрических полиномов без постоянного члена:

$$f\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{m=1}^{N}a_{m}e^{im\theta }+a_{-m}e^{-im\theta },\qquad a_{-m}={\overline {a_{m}}}.$$

Поскольку f + iHf — полином от e ^iθ без постоянного срока

$${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(f+iHf)^{2n}\,d\theta =0.$$

Следовательно, взяв действительную часть и используя неравенство Гёльдера :

$$\|Hf\|_{2n}^{2n}\leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\left|\left((Hf)^{2k},f^{2n-2k}\right)\right|\leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\|Hf\|_{2n}^{2k}\cdot \|f\|_{2n}^{2n-2k}.$$

Таким образом, теорема М. Рисса следует индукцией для p четного целого числа и, следовательно, для всех p с 1 < p < ∞ .

Доказательство Котлара преобразования Гильберта на прямой

Как только установлено, что операторные нормы преобразования Гильберта на L ^п ( R ) ограничены, когда p является степенью 2, из интерполяционной теоремы Рисса–Торина и двойственности следует, что они ограничены для всех p с 1 < p < ∞ и что нормы непрерывно меняются с p . Более того, рассуждения с интегралом Пуассона можно применить, чтобы показать, что усеченные преобразования Гильберта H _ε равномерно ограничены по операторной норме и сходятся в сильной операторной топологии к H .

Достаточно доказать оценку, когда f — функция Шварца. В этом случае справедливо тождество Котлара:

$$(Hf)^{2}=f^{2}+2H(fH(f)).$$

Фактически, запишите f = f ₊ + f ₋ в соответствии с ± i собственными пространствами H . Поскольку f ± iHf продолжаются до голоморфных функций в верхней и нижней полуплоскости, то же самое делают и их квадраты. Следовательно

$$f^{2}-(Hf)^{2}=\left(f_{+}+f_{-}\right)^{2}+\left(f_{+}-f_{-}\right)^{2}=2\left(f_{+}^{2}+f_{-}^{2}\right)=-2iH\left(f_{+}^{2}-f_{-}^{2}\right)=-2H(f(Hf)).$$

(Идентичность Котлара также можно проверить непосредственно, приняв преобразования Фурье.)

Следовательно, полагая теорему М. Рисса для p = 2 ^н ,

$$\|Hf\|_{2^{n+1}}^{2}=\left\|(Hf)^{2}\right\|_{2^{n}}\leq \left\|f^{2}\right\|_{2^{n}}+2\|H(fH(f))\|_{2^{n}}\leq \|f\|_{2^{n+1}}^{2}+2\|H\|_{2^{n}}\|f\|_{2^{n+1}}\|Hf\|_{2^{n+1}}.$$

С

$$R^{2}>1+2\|H\|_{2^{n}}R$$

для достаточно большого R теорема М. Рисса должна выполняться и при p = 2 ^{п +1} .

Точно такой же метод работает и для преобразования Гильберта на окружности. То же тождество Котлара легко проверить на тригонометрических полиномах f, записав их в виде суммы членов с неотрицательными и отрицательными показателями, т. е собственных функций H . . Л ​ ^п Таким образом, границы могут быть установлены, когда p является степенью двойки, и, как правило, следуют с помощью интерполяции и двойственности.

Метод вращения Кальдерона – Зигмунда

Метод вращения преобразований Рисса и их усечения одинаково хорошо применим на L ^п пространства для 1 < p < ∞ . Таким образом, эти операторы могут быть выражены через преобразование Гильберта на R и его усечения. Интегрирование функций Φ из группы T или SO( n ) в пространство операторов на L ^п понимается в слабом смысле:

$$\left(\int _{G}\Phi (x)\,dx\,f,g\right)=\int _{G}(\Phi (x)f,g)\,dx$$

где f лежит в L ^п и g лежит в дуальном пространстве L ^д с ⁠ 1 / p ⁠ + ⁠ 1 / q ⁠ . Отсюда следует, что преобразования Рисса ограничены на L ^п и что различия с их усечениями также равномерно ограничены. Непрерывность L ^п нормы фиксированного преобразования Рисса является следствием интерполяционной теоремы Рисса–Торина .

Поточечная сходимость

Смотрите также: теорема Фату

Доказательства поточечной сходимости преобразований Гильберта и Рисса основаны на теореме дифференцирования Лебега , которую можно доказать с помощью максимальной функции Харди-Литтлвуда . Методы для самого простого и известного случая, а именно преобразования Гильберта на окружности, являются прототипом для всех остальных преобразований. Подробно этот случай описан здесь.

Пусть f находится в L ^п ( T ) для p > 1. Теорема дифференцирования Лебега утверждает, что

$${A(\varepsilon )={1 \over 2\varepsilon }\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }|f(t)-f(x)|\,dt\to 0}$$

почти для всех x в T . Точки, в которых это справедливо, называются точками Лебега функции f . Из этой теоремы следует, что если — интегрируемая функция на окружности, интеграл Пуассона Tr _f f стремится поточечно к f в каждой точке Лебега функции f . Фактически, при x фиксированном A ( ε ) является непрерывной функцией на [0, π ] . Непрерывность в точке 0 следует из того, что x — точка Лебега, а в других местах потому, что, если h — интегрируемая функция, интеграл от |h| на интервалах уменьшающейся длины стремится к 0 по неравенству Гёльдера .

Полагая r = 1 − ε , разницу можно оценить двумя интегралами:

$$2\pi |T_{r}f(x)-f(x)|=\int _{0}^{2\pi }|(f(x-y)-f(x))P_{r}(y)|\,dy\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }+\int _{|y|\geq \varepsilon }.$$

Ядро Пуассона обладает двумя важными свойствами при ε. малых

$${\begin{aligned}\sup _{y\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}|P_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1}.\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|P_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}$$

Первый интеграл ограничен A ( ε ) первым неравенством, поэтому стремится к нулю, когда ε стремится к 0; второй интеграл стремится к 0 по второму неравенству.

Те же рассуждения можно использовать, чтобы показать, что T _{1 − ε} Hf – H _ε f стремится к нулю в каждой точке Лебега функции f . В действительности оператор T _{1 − ε} Hf имеет ядро ​​Q _r + i , где сопряженное ядро ​​Пуассона Q _r определяется формулой $${Q_{r}(\theta )={2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}$$

Следовательно $${2\pi |T_{1-\varepsilon }Hf(x)-H_{\varepsilon }f(x)|\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }|f(x-y)-f(x)|\cdot |Q_{r}(y)|\,dy+\int _{|y|\geq \varepsilon }|f(x-y)-f(x)|\cdot |Q_{1}(y)-Q_{r}(y)|\,dy.}$$

Сопряженное ядро ​​Пуассона обладает двумя важными свойствами при малых ε. $${\begin{aligned}\sup _{y\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}|Q_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1}.\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|Q_{1}(y)-Q_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}$$

Точно такие же рассуждения, как и предыдущие, показывают, что оба интеграла стремятся к 0 при ε → 0.

Из объединения этих двух предельных формул следует, что H _ε f стремится поточечно к Hf в общих точках Лебега f и Hf и, следовательно, почти всюду.

Максимальные функции

Смотрите также: максимальная функция Харди – Литтлвуда.

Большая часть Л ^п теория была разработана с использованием максимальных функций и максимальных преобразований. Этот подход имеет то преимущество, что он также распространяется на L ¹ пространствах в подходящем «слабом» смысле и дает уточненные оценки в L ^п пространства для p > 1. Эти более точные оценки составляют важную часть методов, использованных Леннартом Карлесоном в 1966 году для решения гипотезы Лусина о том, что ряд Фурье L ² функции сходятся почти всюду. В более элементарных формах этого подхода L ² теории уделяется меньше внимания: вместо этого больше внимания уделяется L ¹ теория, в частности ее теоретико-мерный и вероятностный аспекты; результаты для других L ^п пространства выводятся путем интерполяции между L ¹ и Л ^∞ пространства. Этот подход описан во многих учебниках, в том числе в классических книгах Зигмунда (1977) и Кацнельсона (1968) . Здесь следует рассказ Кацнельсона для частного случая преобразования Гильберта функций из L ¹ ( T ), случай, не рассмотренный выше. Ф. Рисса Доказательство выпуклости , первоначально установленное Харди , устанавливается непосредственно, без обращения к интерполяции Рисса-Торина .

Если f — это L ¹ функция на окружности, ее максимальная функция определяется формулой

$${f^{*}(t)=\sup _{0<h\leq \pi }{1 \over 2h}\int _{t-h}^{t+h}|f(s)|\,ds.}$$

f * конечен почти всюду и имеет слабый L ¹ тип. Действительно, для λ > 0, если

$${E_{f}(\lambda )=\{x:\,|f(x)|>\lambda \},\,\,f_{\lambda }=\chi _{E(\lambda )}f,}$$

затем

$$m(E_{f^{*}}(\lambda ))\leq {8 \over \lambda }\int _{E_{f}(\lambda )}|f|\leq {8\|f\|_{1} \over \lambda },$$

где m обозначает меру Лебега.

Приведенное выше неравенство Харди–Литтлвуда приводит к доказательству того, что почти каждая точка x из T является точкой Лебега интегрируемой функции f , так что

$$\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{x-h}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt}{2h}}\to 0.$$

В самом деле, пусть

$$\omega (f)(x)=\limsup _{h\to 0}{\frac {\int _{x-h}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt}{2h}}\leq f^{*}(x)+|f(x)|.$$

Если g непрерывен, то ω ( g ) = 0, так что ω ( f − g ) = ω ( f ). С другой стороны, f можно сколь угодно близко аппроксимировать в L ¹ непрерывным g . Тогда, используя неравенство Чебычева ,

$$m\{x:\,\omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\omega (f-g)(x)>\lambda \}\leq m\{x:\,(f-g)^{*}(x)>\lambda \}+m\{x:\,|f(x)-g(x)|>\lambda \}\leq C\lambda ^{-1}\|f-g\|_{1}.$$

Правую часть можно сделать сколь угодно малой, так что ω( f ) = 0 почти всюду.

Интегралы Пуассона L ¹ функция f удовлетворяет

$${|T_{r}f|\leq f^{*}.}$$

Отсюда следует, что f _Tr стремится к f поточечно почти всюду. В самом деле, пусть

$${\Omega (f)=\limsup _{r\to 1}|T_{r}f-f|.}$$

Если g непрерывен, то разность везде стремится к нулю, поэтому Ω( f − g ) = Ω( f ). С другой стороны, f можно сколь угодно близко аппроксимировать в L ¹ непрерывным g . Тогда, используя неравенство Чебычева ,

$$m\{x:\,\Omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\Omega (f-g)(x)>\lambda \}\leq m\{x:\,(f-g)^{*}(x)>\lambda \}+m\{x:\,|f(x)-g(x)|>\lambda \}\leq C\lambda ^{-1}\|f-g\|_{1}.$$

Правую часть можно сделать сколь угодно малой, так что Ω( f ) = 0 почти всюду. Более тонкий аргумент показывает, что сходимость происходит в каждой точке Лебега функции f .

Если f интегрируемо, сопряженные интегралы Пуассона определяются и задаются сверткой с ядром Q _r . Это определяет Hf внутри | г | < 1. Чтобы показать, что Hf имеет радиальный предел почти для всех углов, учитывать

$${F(z)=\exp(-f(z)-iHf(z)),}$$

где f ( z ) обозначает расширение f с помощью интеграла Пуассона. F голоморфен в единичном круге с | F ( z )| ⩽ 1. Ограничение F на счетное семейство концентрических окружностей дает последовательность функций из L ^∞ ( T ) который имеет слабый предел g в L ^∞ ( T ) с интегралом Пуассона F . По букве Л ² результате g — радиальный предел почти для всех углов F. В Отсюда следует, что Hf ( z ) почти всюду имеет радиальный предел. Это принимается за определение Hf на T , так что Tr _Hf поточечно стремится к H. почти всюду Функция Hf имеет слабую L ¹ тип.

Неравенство, использованное выше для доказательства поточечной сходимости для L ^п функция с 1 < p < ∞ имеет смысл для L ¹ функции, вызывая максимальную функцию. Неравенство становится

$${|H_{\varepsilon }f-T_{1-\varepsilon }Hf|\leq 4f^{*}.}$$

Позволять

$${\omega (f)=\limsup _{\varepsilon \to 0}|H_{\varepsilon }f-T_{1-\varepsilon }Hf|.}$$

Если g гладкая, то разность везде стремится к нулю, поэтому ω( f − g ) = ω ( f ). С другой стороны, f можно сколь угодно близко аппроксимировать в L ¹ по г. гладкому Затем

$$m\{x:\,\omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\omega (f-g)(x)>\lambda \}\leq m\{x:\,4(f-g)^{*}(x)>\lambda \}\leq C\lambda ^{-1}\|f-g\|_{1}.$$

Правую часть можно сделать сколь угодно малой, так что ω ( f ) = 0 почти всюду. Таким образом, разность f почти всюду стремится к нулю. Можно привести более тонкий аргумент чтобы показать, что, как и в случае L ^п разность стремится к нулю во всех точках Лебега f . В сочетании с результатом для сопряженного интеграла Пуассона отсюда следует, что если f находится в L ¹ ( T ), то H _ε f сходится к Hf почти всюду — теорема, первоначально доказанная Приваловым в 1919 году.

Общая теория

Кальдерон и Зигмунд (1952) представили общие методы изучения сингулярных интегральных операторов типа свертки. В преобразовании Фурье операторы задаются операторами умножения. Это даст ограниченные операторы на L ² если соответствующая функция мультипликатора ограничена. Чтобы доказать ограниченность на L ^п пространств Кальдерон и Зигмунд ввели метод разложения L ¹ функции, обобщающие восходящем солнце о лемму Ф. Рисса . Этот метод показал, что оператор определяет непрерывный оператор из L ¹ в пространство функций слабого L ¹ . и Тогда из интерполяционной теоремы Марцинкевича двойственности следует, что сингулярный интегральный оператор ограничен на всех L ^п для 1 < p < ∞. Простая версия этой теории описана ниже для операторов на R . Как показал де Леу (1965) , результаты по R можно вывести из соответствующих результатов для T, ограничив множитель целыми числами или эквивалентным образом периодизовав ядро ​​оператора. Соответствующие результаты для круга были первоначально получены Марцинкевичем в 1939 году. Эти результаты обобщаются на R ^н и Т ^н . Они предоставляют альтернативный метод, показывающий, что преобразования Рисса, высшие преобразования Рисса и, в частности, преобразование Берлинга определяют ограниченные операторы на L ^п пространства.

Разложение Кальдерона-Зигмунда

См. Также: Лемма о восходящем солнце и лемма Кальдерона – Зигмунда.

Пусть f — неотрицательная интегрируемая или непрерывная функция на [ a , b ]. Пусть я = ( а , б ). Для любого открытого подинтервала J из [ a , b ] пусть f _J обозначает среднее значение | ж | над Дж . Пусть α — положительная константа, большая, чем f _I . Разделите I на два равных интервала (опуская середину). Один из этих интервалов должен удовлетворять условиям f _J < α, поскольку их сумма 2 f _I меньше 2α. В противном случае интервал будет удовлетворять условиям α ≤ f _J < 2α. Отбросьте такие интервалы и повторите процесс деления пополам с оставшимся интервалом, отбрасывая интервалы по тому же критерию. Это можно продолжать бесконечно. Отброшенные интервалы не пересекаются, и их объединение представляет собой открытое множество Ω. Для точек x в дополнении они лежат во вложенном наборе интервалов с длиной, уменьшающейся до 0, и на каждом из которых среднее значение f ограничено α. Если f непрерывно, эти средние стремятся к | ж ( Икс )|. Если f только интегрируема, это верно только почти всюду, поскольку это верно в Лебега f точках по теореме дифференцирования Лебега . Таким образом, f удовлетворяет | ж ( Икс )| ≤ α почти всюду на Ω ^с , дополнение к Ω. Пусть J _n — набор отброшенных интервалов и определим «хорошую» функцию g по формуле

$${g(x)=\chi _{J_{n}}(f)\,\,\,(x\in J_{n}),\,\,\,\,\,g(x)=f(x)\,\,\,(x\in \Omega ^{c}).}$$

По конструкции | г ( Икс )| ≤ 2 α почти всюду и $${\|g\|_{1}\leq \|f\|_{1}.}$$

Объединение этих двух неравенств дает $${\|g\|_{p}^{p}\leq (2\alpha )^{p-1}\|f\|_{1}.}$$

Определите «плохую» функцию b как b = f − g . Таким образом, b равно 0 вне Ω и равно f минус его среднее значение по J _n . Таким образом, среднее значение b на J _n равно нулю и $${\|b\|_{1}\leq 2\|f\|_{1}.}$$

Более того, поскольку | б | ≥ α на Ω $${m(\Omega )\leq \alpha ^{-1}\|f\|_{1}.}$$

Разложение $$\displaystyle {f(x)=g(x)+b(x)}$$

называется разложением Кальдерона–Зигмунда .

Теорема о множителе

См. Также: Множитель (анализ Фурье) и интерполяционная теорема Марцинкевича.

Пусть K ( x ) — ядро, определенное на R \ {0} такое, что

$$W(f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x|\geq \varepsilon }K(x)f(x)\,dx$$

существует как распределение для функции Шварца умеренное . Предположим, что преобразование Фурье оператора T ограничено, так что свертка с помощью W определяет ограниченный оператор T на L ² ( Р ). Тогда если K удовлетворяет условию Хёрмандера

$$A=\sup _{y\neq 0}\int _{|x|\geq 2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx<\infty ,$$

тогда T определяет ограниченный оператор в L ^п при 1 < p < ∞ и непрерывном операторе из L ¹ на функции слабого типа L ¹ .

Фактически, с помощью аргумента интерполяции Марцинкевича и двойственности достаточно проверить, что если f является гладкой с компактным носителем, то

$$m\{x:\,|Tf(x)|\geq 2\lambda \}\leq (2A+4\|T\|)\cdot \lambda ^{-1}\|f\|_{1}.$$

Возьмите разложение Кальдерона-Зигмунда f, как указано выше. $$f(x)=g(x)+b(x)$$ с интервалами Jn _, и с α = λµ где µ > 0. Тогда

$$m\{x:\,|Tf(x)|\geq 2\lambda \}\leq m\{x:\,|Tg(x)|\geq \lambda \}+m\{x:\,|Tb(x)|\geq \lambda \}.$$

Член для g можно оценить с помощью неравенства Чебычева :

$$m\{x:\,|Tg(x)|\geq 2\lambda \}\leq \lambda ^{-2}\|Tg\|_{2}^{2}\leq \lambda ^{-2}\|T\|^{2}\|g\|_{2}^{2}\leq 2\lambda ^{-1}\mu \|T\|^{2}\|f\|_{1}.$$

Если J * определяется как интервал с тем же центром, что и J, но в два раза большей длины, термин для b можно разбить на две части:

$$m\{x:\,|Tb(x)|\geq \lambda \}\leq m\{x:\,x\notin \cup J_{n}^{*},\,\,\,|Tb(x)|\geq \lambda \}+m(\cup J_{n}^{*}).$$

Второе слагаемое легко оценить:

$$m(\cup J_{n}^{*})\leq \sum m(J_{n}^{*})=2\sum m(J_{n})\leq 2\lambda ^{-1}\mu ^{-1}\|f\|_{1}.$$

Чтобы оценить первый член, обратите внимание, что

$$b=\sum b_{n},\qquad b_{n}=(f-\mathbf {Av} _{J_{n}}(f))\chi _{J_{n}}.$$

Таким образом, по неравенству Чебычева:

$$m\{x:\,x\notin \cup J_{m}^{*},\,\,\,|Tb(x)|\geq \lambda \}\leq \lambda ^{-1}\int _{(\cup J_{m}^{*})^{c}}|Tb(x)|\,dx\leq \lambda ^{-1}\sum _{n}\int _{(J_{n}^{*})^{c}}|Tb_{n}(x)|\,dx.$$

По построению интеграл от по _bn J n _равен нулю. Таким образом, если y _n — середина J _n , то по условию Хёрмандера:

$$\int _{(J_{n}^{*})^{c}}|Tb_{n}(x)|\,dx=\int _{(J_{n}^{*})^{c}}\left|\int _{J_{n}}(K(x-y)-K(x-y_{n}))b_{n}(y)\,dy\right|\,dx\leq \int _{J_{n}}|b_{n}(y)|\int _{(J_{n}^{*})^{c}}|K(x-y)-K(x-y_{n})|\,dxdy\leq A\|b_{n}\|_{1}.$$

Следовательно $$m\left\{x:\,x\notin \cup J_{m}^{*},|Tb(x)|\geq \lambda \right\}\leq \lambda ^{-1}A\|b\|_{1}\leq 2A\lambda ^{-1}\|f\|_{1}.$$

Объединение трех оценок дает

$$m\{x:\,|Tf(x)|\geq \lambda \}\leq \left(2\mu \|T\|^{2}+2\mu ^{-1}+2A\right)\lambda ^{-1}\|f\|_{1}.$$

Константу минимизируем, приняв $$\mu =\|T\|^{-1}.$$

Аргумент интерполяции Маркинцевича расширяет границы до любого L ^п при 1 < p < 2 следующим образом. Учитывая > 0, напишите

$$f=f_{a}+f^{a},$$

где f _a = f, если | ж | < a и 0 в противном случае и f ^а = е, если | ж | ≥ a и 0 в противном случае. Тогда по неравенству Чебычева и слабому типу L ¹ неравенство выше

$$m\{x:\,|Tf(x)|>a\}\leq m\left\{x:\,|Tf_{a}(x)|>{\tfrac {a}{2}}\right\}+m\left\{x:\,|Tf^{a}(x)|>{\tfrac {a}{2}}\right\}\leq 4a^{-2}\|T\|^{2}\|f_{a}\|_{2}^{2}+Ca^{-1}\|f^{a}\|_{1}.$$

Следовательно

$${\begin{aligned}\|Tf\|_{p}^{p}&=p\int _{0}^{\infty }a^{p-1}m\{x:\,|Tf(x)|>a\}\,da\\&\leq p\int _{0}^{\infty }a^{p-1}\left(4a^{-2}\|T\|^{2}\|f_{a}\|_{2}^{2}+Ca^{-1}\|f^{a}\|_{1}\right)da\\&=4\|T\|^{2}\iint _{|f(x)|<a}|f(x)|^{2}a^{p-3}\,dx\,da+2C\iint _{|f(x)|\geq a}|f(x)|a^{p-2}\,dx\,da\\&\leq \left(4\|T\|^{2}(2-p)^{-1}+C(p-1)^{-1}\right)\int |f|^{p}\\&=C_{p}\|f\|_{p}^{p}.\end{aligned}}$$

По двойственности

$$\|Tf\|_{q}\leq C_{p}\|f\|_{q}.$$

Преемственность норм можно продемонстрировать более тонким аргументом. или следует из интерполяционной теоремы Рисса–Торина .

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1966), Лекции по квазиконформным отображениям , Математические исследования Ван Ностранда, том. 10, Ван Ностранд
• Ариас де Рейна, Хуан (2002), Поточечная сходимость рядов Фурье , Конспект лекций по математике, том. 1785, Спрингер, ISBN  3540432701
• Астала, Кари; Иванец, Тадеуш ; Мартин, Гавен (2009), Эллиптические уравнения в частных производных и квазиконформные отображения на плоскости , Princeton Mathematical Series, vol. 48, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-13777-3
• Белл, Стивен Р. (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение , Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN  0-8493-8270-Х
• Кальдерон, Альберто ; Зигмунд, Антони (1952), “О существовании некоторых сингулярных интегралов”, Acta Math. , 88 : 85–139, doi : 10.1007/bf02392130
• Кальдерон, Альберто (1966), «Особые интегралы» , Bull. амер. Математика. Соц. , 72 (3): 427–465, doi : 10.1090/s0002-9904-1966-11492-1
• де Леу, Карел (1965), "На L ^п множители», Ann. of Math. , 81 (2): 364–379, doi : 10.2307/1970621 , JSTOR   1970621.
• Девинац, Аллен (1967), Об операторах Винера-Хопфа , Функциональный анализ (Proc. Conf., Ирвин, Калифорния, 1966), Academic Press, стр. 81–118.
• Дуоандикоэчеа, Хавьер (2001), Анализ Фурье , Американское математическое общество, ISBN  0-8218-2172-5
• Дюрен, П. (1970), Теория H ^п -Пространства , Академическая пресса
• Гарнетт, Джон Б. (2007), Ограниченные аналитические функции , Тексты для аспирантов по математике, том. 236, Спрингер, ISBN  978-0-387-33621-3
• Гохберг, Израиль; Крупник, Наум (1968), "Норма преобразования Гильберта в пространстве L _p ", Функц. Анальный. Прил. , 2 (2): 180–181, doi : 10.1007/BF01075955 , S2CID   121822947
• Гохберг, Израиль; Крупник, Наум (1992), Одномерные линейные сингулярные интегральные уравнения, I. Введение , Теория операторов: достижения и приложения, том. 53, Биркхойзер, ISBN  3-7643-2584-4
• Графакос, Лукас (2008), Классический анализ Фурье (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-09431-1
• Хёрмандер, Ларс (1960), "Оценки трансляционно-инвариантных операторов в L ^п пробелы», Acta Mathematica , 104 (1–2): 93–140, doi : 10.1007/bf02547187
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных, I. Теория распределения и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-52343-Х
• Иванец, Тадеуш ; Мартин, Гавен (1996), «Преобразования Рисса и связанные с ними сингулярные интегралы», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 473 : 25–57
• Кацнельсон, Ицхак (1968), Введение в гармонический анализ (2-е изд.), Dover Publications , ISBN  9780486633312
• Кранц, Стивен Г. (1999), Панорама гармонического анализа , Математические монографии Каруса, том. 27, Математическая ассоциация Америки, ISBN  0-88385-031-1
• Мэтью, Джон; Вердера, Джоан (2006), «L ^п и слабый L ¹ оценки максимального преобразования Рисса и максимального преобразования Берлинга», Math. Res. Lett. , 13 (6): 957–966, arXiv : math/0603077 , doi : 10.4310/mrl.2006.v13.n6.a10 , S2CID   17629849
• Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, том. 83, Пергамон Пресс
• Михлин Соломон Георгиевич ; Прессдорф, Зигфрид (1986), Сингулярные интегральные операторы , Springer-Verlag, ISBN  3-540-15967-3
• Никольский Н.К. (1986), Трактат об операторе смены. Теория спектральных функций , Основы математических наук, вып. 273, Springer Verlag, ISBN  3-540-15021-8
• Прессли, Эндрю; Сигал, Грэм (1986), Группы циклов , Oxford University Press, ISBN  0-19-853535-Х
• Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1997), Классы Харди и теория операторов , Дувр, ISBN  0-486-69536-0
• Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1994), Темы классов Харди и однолистных функций , Биркхойзер, ISBN  3-7643-5111-Х
• Сигал, Грэм (1981), «Унитарные представления некоторых бесконечномерных групп» , Comm. Математика. Физ. , 80 (3): 301–342, Бибкод : 1981CMaPh..80..301S , doi : 10.1007/bf01208274 , S2CID   121367853
• Стейн, Элиас М. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton University Press
• Штейн, Элиас М.; Вайс, Гвидо Л. (1971), Введение в анализ Фурье евклидовых пространств , Princeton University Press, ISBN  069108078X
• Штейн, Элиас М.; Шакарчи, Рами (2005), Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовые пространства , Принстонские лекции по анализу, том. 3, Издательство Принстонского университета, ISBN  0691113866
• Титчмарш, EC (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN  0198533497
• Торчинский, Альберто (2004), Методы действительных переменных в гармоническом анализе , Дувр, ISBN  0-486-43508-3
• Векуа, И.Н. (1962), Обобщенные аналитические функции , Pergamon Press.
• Зигмунд, Антони (1977), Тригонометрический ряд. Том. I, II (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-07477-0
• Зигмунд, Антони (1971), Сингулярные интегралы , Конспекты лекций по математике, том. 204, Шпрингер-Верлаг