Максимальная функция Харди – Литтлвуда

В математике максимальный оператор Харди -Литтлвуда M является важным нелинейным оператором, используемым в реальном анализе и гармоническом анализе .

Определение

Оператор принимает локально интегрируемую функцию f : R ^д → C и возвращает другую функцию Mf . Для любой точки x ∈ R ^д , функция Mf возвращает максимум набора действительных чисел, а именно набора средних значений f x для всех шаров B ( x , r ) любого радиуса r в точке . Формально,

$Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}|f(y)|\,dy$

где | Е | обозначает d -мерную меру Лебега подмножества E ⊂ R ^д .

Средние значения совместно непрерывны по x и r , поэтому максимальная функция Mf , являющаяся супремумом по r > 0, измерима . Неочевидно, что Mf конечно почти всюду. Это следствие максимального неравенства Харди – Литтлвуда .

Максимальное неравенство Харди – Литтлвуда

Эта теорема Г.Х. Харди и Дж.Э. Литтлвуда утверждает, что ограничен как M сублинейный оператор из L ^п ( Р ^д ) в себя при p > 1. То есть, если f ∈ L ^п ( Р ^д ) то максимальная функция Mf слабая L ¹ -ограничен и Mf ∈ L ^п ( Р ^д ). Прежде чем сформулировать теорему более точно, для простоты обозначим через { f > t } множество { x | ж ( Икс ) > т }. Теперь у нас есть:

Теорема (оценка слабого типа). Для d ≥ 1 существует константа C _d > 0 такая, что для всех λ > 0 и f ∈ L ¹ ( Р ^д ), у нас есть:

$\left|\{Mf>\lambda \}\right|<{\frac {C_{d}}{\lambda }}\Vert f\Vert _{L^{1}(\mathbf {R} ^{d})}.$

Имея в виду максимальное неравенство Харди – Литтлвуда, следующая оценка сильного типа является непосредственным следствием интерполяционной теоремы Марцинкевича :

Теорема (оценка сильного типа). Для d ≥ 1, 1 < p ≤ ∞ и f ∈ L ^п ( Р ^д ),

существует константа C _p,d > 0 такая, что

$\Vert Mf\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\leq C_{p,d}\Vert f\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}.$

В оценке сильного типа наилучшие оценки для C _p,d неизвестны. Однако впоследствии Элиас М. Штайн использовал метод вращений Кальдерона-Зигмунда, чтобы доказать следующее:

Теорема (независимость размерности). Для 1 < p ≤ ∞ можно выбрать C _p,d = C _p независимо от d .

Доказательство

Хотя существует несколько доказательств этой теоремы, общее из них приведено ниже: Для p = ∞ неравенство тривиально (поскольку среднее значение функции не превышает ее существенного супремума ). Для 1 < p < ∞ сначала воспользуемся следующей версией леммы о накрытии Витали для доказательства оценки слабого типа. (Доказательство леммы см. в статье.)

Лемма. Пусть X — сепарабельное метрическое пространство и ${\mathcal {F}}$ семейство открытых шаров ограниченного диаметра. Затем ${\mathcal {F}}$ имеет счетное подсемейство ${\mathcal {F}}'$ состоящее из непересекающихся шаров таких, что

$\bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B\subset \bigcup _{B\in {\mathcal {F'}}}5B$

где 5 B — это B с радиусом, увеличенным в 5 раз.

Для каждого x такого, что Mf ( x ) > t , по определению, мы можем найти шар B _x с центром в x такой, что

$\int _{B_{x}}|f|dy>t|B_{x}|.$

Таким образом, { Mf > t } является подмножеством объединения таких шаров, поскольку x меняется в { Mf > t }. Это тривиально, поскольку x содержится в B _x . По лемме среди таких шаров можно найти последовательность непересекающихся шаров B _j такую, что объединение 5 B _j накрывает { Mf > t }. Отсюда следует:

$|\{Mf>t\}|\leq 5^{d}\sum _{j}|B_{j}|\leq {5^{d} \over t}\int |f|dy.$

Это завершает доказательство оценки слабого типа. Далее мы выводим из этого L ^п границы. Определите b как b ( x ) = f ( x ), если | ж ( Икс )| > t /2 и 0 в противном случае. По оценке слабого типа, примененной к b , имеем:

$|\{Mf>t\}|\leq {2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx,$

с С = 5 ^д . Затем

$\|Mf\|_{p}^{p}=\int \int _{0}^{Mf(x)}pt^{p-1}dtdx=p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}|\{Mf>t\}|dt$

По приведенной выше оценке имеем:

$\|Mf\|_{p}^{p}\leq p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\left({2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx\right)dt=2Cp\int _{0}^{\infty }\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}t^{p-2}|f|dxdt=C_{p}\|f\|_{p}^{p}$

константа Cp _где зависит только от p и d . Это завершает доказательство теоремы.

Обратите внимание, что константа $C=5^{d}$ в доказательстве можно улучшить до $3^{d}$ используя внутреннюю регулярность и меры Лебега конечную версию леммы о накрытии Витали . см . в разделе «Обсуждение» Дополнительную информацию об оптимизации константы ниже.

Приложения

Некоторые применения максимального неравенства Харди – Литтлвуда включают доказательство следующих результатов:

• Теорема Лебега о дифференцировании
• Теорема о дифференцировании Радемахера
• Теорема Фату о некасательной сходимости.
• Теорема дробного интегрирования

Здесь мы используем стандартный прием с использованием максимальной функции, чтобы быстро доказать теорему дифференцирования Лебега. (Но помните, что при доказательстве максимальной теоремы мы использовали лемму Витали о накрытии.) Пусть f ∈ L ¹ ( Р ^н ) и

$\Omega f(x)=\limsup _{r\to 0}f_{r}(x)-\liminf _{r\to 0}f_{r}(x)$

где

$f_{r}(x)={\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}f(y)dy.$

Обозначим f = h + g , где h непрерывен и имеет компактный носитель, а g ∈ L ¹ ( Р ^н ) с нормой, которую можно сделать сколь угодно малой. Затем

$\Omega f\leq \Omega g+\Omega h=\Omega g$

по непрерывности. Теперь Ωg ≤ 2 Mg и, следовательно, по теореме имеем:

$\left|\{\Omega g>\varepsilon \}\right|\leq {\frac {2\,M}{\varepsilon }}\|g\|_{1}$

Теперь мы можем позволить $\|g\|_{1}\to 0$ и заключаем, что Ω f = 0 почти всюду; то есть, $\lim _{r\to 0}f_{r}(x)$ существует почти для всех x . Осталось доказать, что предел действительно равен f ( x ). Но это легко: известно, что $\|f_{r}-f\|_{1}\to 0$ ( аппроксимация тождества ) и, таким образом, существует подпоследовательность $f_{r_{k}}\to f$ почти везде. Тогда в силу единственности предела → _fr f почти всюду.

Обсуждение

Пока неизвестно, каковы наименьшие константы C _p,d и C _d в приведенных выше неравенствах. Однако результат Элиаса Стайна о сферических максимальных функциях можно использовать, чтобы показать, что при 1 < p < ∞ мы можем устранить зависимость C _p,d от размерности, то есть C _p,d = C _p для некоторая константа C _p > 0, зависящая только от p . Неизвестно, существует ли слабая граница, не зависящая от размерности.

Существует несколько распространенных вариантов максимального оператора Харди-Литтлвуда, которые заменяют средние значения по центрированным шарам средними значениями по различным семействам множеств. Например, можно определить нецентрированный максимальный оператор HL (используя обозначения Штейна-Шакарчи)

$f^{*}(x)=\sup _{x\in B_{x}}{\frac {1}{|B_{x}|}}\int _{B_{x}}|f(y)|dy$

где шары B _x должны просто содержать x, а не быть сосредоточены в x. Существует также диадический максимальный оператор HL

$M_{\Delta }f(x)=\sup _{x\in Q_{x}}{\frac {1}{|Q_{x}|}}\int _{Q_{x}}|f(y)|dy$

где Q _x пробегает все двоичные кубы, содержащие точку x . Оба эти оператора удовлетворяют максимальному неравенству HL.

См. также

• Лемма о восходящем солнце

Ссылки

• Джон Б. Гарнетт , Ограниченные аналитические функции . Спрингер-Верлаг, 2006 г.
• Антониос Д. Мелас, Лучшая константа для центрированного максимального неравенства Харди – Литтлвуда , Annals of Mathematics, 157 (2003), 647–688.
• Рами Шакарчи и Элиас М. Стейн , Принстонские лекции по анализу III: Реальный анализ . Издательство Принстонского университета, 2005 г.
• Элиас М. Стейн, Максимальные функции: сферические средние , Учеб. Натл. акад. наук. США 73 (1976), 2174–2175 гг.
• Элиас М. Стейн, Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций . Издательство Принстонского университета, 1971 г.
• Джеральд Тешль , Темы реального и функционального анализа (конспекты лекций)