Мера Карлесона

В математике мера Карлесона это тип меры на подмножествах мерного n - — евклидова пространства R. ^н . Грубо говоря, мера Карлесона в области Ω — это мера, которая не обращается в нуль на границе Ω по сравнению с поверхностной мерой на границе Ω.

Меры Карлесона имеют множество приложений в гармоническом анализе и теории уравнений в частных производных , например, при решении задач Дирихле с «грубой» границей. Условие Карлесона тесно связано с ограниченностью оператора Пуассона . Меры Карлесона названы в честь шведского математика Леннарта Карлесона .

Определение

Пусть n ∈ N и Ω ⊂ R ^н — открытое (и, следовательно, измеримое ) множество с непустой границей ∂Ω. Пусть µ — борелевская мера на Ω, и пусть σ обозначает поверхностную меру на ∂Ω. Мера µ называется мерой Карлесона, если существует константа C > 0 такая, что для каждой точки p ∈ ∂Ω и любого радиуса r > 0

$\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right),$

где

$\mathbb {B} _{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\left|\|x-p\|_{\mathbb {R} ^{n}}<r\right.\right\}$

обозначает открытый шар радиуса r вокруг p .

Карлесона об

Обозначим через D единичный круг комплексной плоскости C , снабженный некоторой борелевской мерой µ . Для 1 ⩽ p < +∞ пусть H ^п (∂ D ) обозначает пространство Харди на границе D и пусть L ^п ( D , µ ) обозначают L ^п пространство на D относительно меры µ . Определите оператор Пуассона

$P:H^{p}(\partial D)\to L^{p}(D,\mu )$

к

$P(f)(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {Re} {\frac {e^{it}+z}{e^{it}-z}}f(e^{it})\,\mathrm {d} \mu (t).$

Тогда P — ограниченный линейный оператор тогда и только тогда, когда мера µ карлесоновская.

Другие связанные понятия

Нижняя грань набора констант C > 0, для которой выполняется условие Карлесона

$\forall r>0,\forall p\in \partial \Omega ,\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)$

известна как норма Карлесона меры µ .

Если C ( R ) определяется как нижняя грань набора всех констант C > 0, для которых ограниченное условие Карлесона

$\forall r\in (0,R),\forall p\in \partial \Omega ,\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)$

то говорят, что мера µ удовлетворяет исчезающему условию Карлесона , если C ( R ) → 0 при R → 0.

Ссылки

• Карлесон, Леннарт (1962). «Интерполяции ограниченными аналитическими функциями и проблема короны». Энн. математики. 76 (3): 547–559. дои : 10.2307/1970375 . МР   0141789 .

Внешние ссылки

• Мортини, Р. (2001) [1994], «Мера Карлесона» , Энциклопедия математики , EMS Press