Теорема Рисса–Торина

Дополнительные теоремы, называемые теоремой Рисса, см. в разделе «Теорема Рисса» .

В математике теорема Рисса-Торина , часто называемая интерполяционной теоремой Рисса-Торина или теоремой выпуклости Рисса-Торина , является результатом интерполяции операторов . Он назван в честь Марселя Рисса и его ученика Г. Улофа Торина .

Эта теорема ограничивает нормы линейных отображений, действующих между L ^п пространства. Его полезность связана с тем, что некоторые из этих пространств имеют более простую структуру, чем другие. Обычно это относится к Л. ² которое является гильбертовым пространством , или к L ¹ и Л ^∞ . Поэтому можно доказать теоремы о более сложных случаях, доказав их в двух простых случаях, а затем используя теорему Рисса – Торина для перехода от простых случаев к сложным. Теорема Марцинкевича аналогична, но применима и к классу нелинейных отображений.

Мотивация

Сначала нам понадобится следующее определение:

Определение. Пусть p0 _что , p1 _< два числа такие, p0 < ₀ p1 ≤ _— ∞ . Тогда для 0 < θ < 1 определим p _θ по формуле:  ⁠ 1 / p _θ ⁠ = ⁠ 1 - θ / п ₀ ⁠ + ⁠ θ / p ₁ ⁠ .

Разбивая функцию   f   в L ^{п _я} как продукт | ж | = | ж | ^{1- я} | ж | ^я и применяя неравенство Гёльдера к его степени p _θ , мы получаем следующий результат, основополагающий при изучении L ^п -пространства:

Предложение (лог-выпуклость L ^п -нормы) — Каждая   f ∈ L ^{п ₀} ∩ Л ^{п ₁} удовлетворяет:

$$\|f\|_{p_{\theta }}\leq \|f\|_{p_{0}}^{1-\theta }\|f\|_{p_{1}}^{\theta }.$$ ( 1 )

Этот результат, название которого происходит от выпуклости отображения 1 ⁄ п ↦ журнал || ж || _p на [0, ∞] означает, что L ^{п ₀} ∩ Л ^{п ₁} ⊂ Л ^{п _я} .

С другой стороны, если мы возьмем разложение слоеного пирога   f = f   1 _{{|   ж   |>1}} + ж   1 _{{|   f   |≤1}} , то мы видим, что   f   1 _{{|   f   |>1}} ∈ L ^{п ₀} и   ж   1 _{{|   f   |≤1}} ∈ L ^{п ₁} , откуда получаем следующий результат:

Предложение — Каждое   f   в L ^{п _я} можно записать в виде суммы:   f = g + h , где g ∈ L ^{п ₀} и h ∈ L ^{п ₁} .

В частности, из приведенного выше результата следует, что L ^{п _я} входит в L ^{п ₀} + Л ^{п ₁} , сумма L ​ ^{п ₀} и Л ^{п ₁} в пространстве всех измеримых функций. Таким образом, мы имеем следующую цепочку включений:

Следствие — L ^{п ₀} ∩ Л ^{п ₁} ⊂ Л ^{п _я} ⊂ Л ^{п ₀} + Л ^{п ₁} .

На практике мы часто сталкиваемся с операторами, определенными на сумме L ^{п ₀} + Л ^{п ₁} . Например, лемма Римана–Лебега показывает, что преобразование Фурье отображает L ¹ ( Р ^д ) ограниченно в L ^∞ ( Р ^д ) , а теорема Планшереля показывает, что преобразования Фурье отображают L ² ( Р ^д ) ограниченно в себя, следовательно, преобразование Фурье ${\mathcal {F}}$ простирается до ( L ¹ + Л ² ) ( Р ^д ), установив $${\mathcal {F}}(f_{1}+f_{2})={\mathcal {F}}_{L^{1}}(f_{1})+{\mathcal {F}}_{L^{2}}(f_{2})$$ для   f1 _всех ∈ L ¹ ( Р ^д ) и   f ₂ ∈ L ² ( Р ^д ) . Поэтому естественно исследовать поведение таких операторов на промежуточных подпространствах L ^{п _я} .

Для этого вернемся к нашему примеру и заметим, что преобразование Фурье на сумме L ¹ + Л ² было получено путем взятия суммы двух экземпляров одного и того же оператора, а именно $${\mathcal {F}}_{L^{1}}:L^{1}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{\infty }(\mathbf {R} ^{d}),$$ $${\mathcal {F}}_{L^{2}}:L^{2}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{d}).$$

На самом деле это один и тот же оператор в том смысле, что они согласуются в подпространстве ( L ¹ ∩ Л ² ) ( Р ^д ) . Поскольку пересечение содержит простые функции , оно плотно как в L, так и в L. ¹ ( Р ^д ) и Л ² ( Р ^д ) . Плотно определенные непрерывные операторы допускают уникальные расширения, поэтому мы имеем право рассматривать ${\mathcal {F}}_{L^{1}}$ и ${\mathcal {F}}_{L^{2}}$ быть таким же .

Поэтому задача изучения операторов на сумме L ^{п ₀} + Л ^{п ₁} по существу сводится к изучению операторов, отображающих два естественных доменных пространства, L ^{п ₀} и Л ^{п ₁} , ограниченный двумя целевыми пространствами: L ^{Вопрос ₀} и Л ^{д ₁} , соответственно. Поскольку такие операторы отображают пространство сумм L ^{п ₀} + Л ^{п ₁} в Л ^{Вопрос ₀} + Л ^{д ₁} , естественно ожидать, что эти операторы отображают промежуточное пространство L ^{п _я} в соответствующее промежуточное пространство L ^{q _θ} .

Формулировка теоремы

Есть несколько способов сформулировать интерполяционную теорему Рисса – Торина; Чтобы соответствовать обозначениям предыдущего раздела, мы будем использовать формулировку суммы.

Интерполяционная теорема Рисса–Торина . Пусть (Ω ₁ , Σ ₁ , µ ₁ ) и ( Ω ₂ , Σ ₂ , µ ₂ ) являются σ -конечными пространствами с мерой. Предположим, ≤ , _p0 q0 , _и p1 , ₁ q1 ≤ _: , пусть T ∞ L ^{п ₀} ( м ₁ ) + Л ^{п ₁} ( μ ₁ ) → L ^{Вопрос ₀} ( мкм ₂ ) + L ^{д ₁} ( µ ₂ ) — линейный оператор , ограниченно отображающий L ^{п ₀} ( µ ₁ ) в L ^{Вопрос ₀} ( µ ₂ ) и L ^{п ₁} ( µ ₁ ) в L ^{д ₁} ( мкм ₂ ) . Для 0 < θ < 1 пусть p _θ , q _θ определены, как указано выше. Тогда T ограниченно отображает L ^{п _я} ( µ ₁ ) в L ^{q _θ} ( µ ₂ ) и удовлетворяет нормы операторной оценке

$$\|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }.$$ ( 2 )

Другими словами, если одновременно имеет тип ( p0 ₍ , q0 ₀ ) тип < p1 _для , q1 ₍ ) , то T имеет pθ , _T и qθ ₎ тип всех < θ 1 . Таким образом, интерполяционная теорема поддается наглядному описанию. Действительно, диаграмма Рисса оператора T представляет собой совокупность всех точек ( ⁠ 1 / p ⁠ , ⁠ 1 / q ⁠ ) в единичном квадрате [0, 1] × [0, 1] такой, что T имеет тип ( p , q ) . Теорема об интерполяции утверждает, что диаграмма Рисса T представляет собой выпуклое множество: учитывая две точки на диаграмме Рисса, отрезок, соединяющий их, также будет на диаграмме.

Интерполяционная теорема была первоначально сформулирована и доказана Марселем Риссом в 1927 году. В статье 1927 года теорема установлена ​​только для нижнего треугольника диаграммы Рисса, а именно, с ограничением, что p ₀ ≤ q ₀ и p ₁ ≤ q ₁ . Олоф Торин распространил теорему интерполяции на весь квадрат, убрав ограничение нижнего треугольника. Доказательство Торина было первоначально опубликовано в 1938 году и впоследствии расширено в его диссертации 1948 года.

Доказательство

Сначала мы докажем результат для простых функций, а затем покажем, как аргумент можно распространить по плотности на все измеримые функции.

Простые функции

В силу симметрии предположим ${\textstyle p_{0}<p_{1}}$ (дело ${\textstyle p_{0}=p_{1}}$ тривиально следует из ( 1 )). Позволять ${\textstyle f}$ быть простой функцией , то есть $$f=\sum _{j=1}^{m}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}$$ для некоторого конечного ${\textstyle m\in \mathbb {N} }$, ${\textstyle a_{j}=\left\vert a_{j}\right\vert \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha _{j}}\in \mathbb {C} }$ и ${\textstyle A_{j}\in \Sigma _{1}}$, ${\textstyle j=1,2,\dots ,m}$. Аналогично, пусть ${\textstyle g}$ обозначим простую функцию ${\textstyle \Omega _{2}\to \mathbb {C} }$, а именно $$g=\sum _{k=1}^{n}b_{k}\mathbf {1} _{B_{k}}$$ для некоторого конечного ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$, ${\textstyle b_{k}=\left\vert b_{k}\right\vert \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta _{k}}\in \mathbb {C} }$ и ${\textstyle B_{k}\in \Sigma _{2}}$, ${\textstyle k=1,2,\dots ,n}$.

Обратите внимание, что, поскольку мы предполагаем ${\textstyle \Omega _{1}}$ и ${\textstyle \Omega _{2}}$ быть ${\textstyle \sigma }$-конечные метрические пространства, ${\textstyle f\in L^{r}(\mu _{1})}$ и ${\textstyle g\in L^{r}(\mu _{2})}$ для всех ${\textstyle r\in [1,\infty ]}$. Тогда, при правильной нормировке, мы можем предположить ${\textstyle \lVert f\rVert _{p_{\theta }}=1}$ и ${\textstyle \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}=1}$, с ${\textstyle q_{\theta }'=q_{\theta }(q_{\theta }-1)^{-1}}$ и с ${\textstyle p_{\theta }}$, ${\textstyle q_{\theta }}$ как определено утверждением теоремы.

Далее мы определяем две комплексные функции $${\begin{aligned}u:\mathbb {C} &\to \mathbb {C} &v:\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\z&\mapsto u(z)={\frac {1-z}{p_{0}}}+{\frac {z}{p_{1}}}&z&\mapsto v(z)={\frac {1-z}{q_{0}}}+{\frac {z}{q_{1}}}.\end{aligned}}$$ Обратите внимание, что для ${\textstyle z=\theta }$, ${\textstyle u(\theta )=p_{\theta }^{-1}}$ и ${\textstyle v(\theta )=q_{\theta }^{-1}}$. Затем мы расширяем ${\textstyle f}$ и ${\textstyle g}$ зависеть от комплексного параметра ${\textstyle z}$ следующее: $${\begin{aligned}f_{z}&=\sum _{j=1}^{m}\left\vert a_{j}\right\vert ^{\frac {u(z)}{u(\theta )}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha _{j}}\mathbf {1} _{A_{j}}\\g_{z}&=\sum _{k=1}^{n}\left\vert b_{k}\right\vert ^{\frac {1-v(z)}{1-v(\theta )}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta _{k}}\mathbf {1} _{B_{k}}\end{aligned}}$$ так что ${\textstyle f_{\theta }=f}$ и ${\textstyle g_{\theta }=g}$. Здесь мы неявно исключаем случай ${\textstyle q_{0}=q_{1}=1}$, что дает ${\textstyle v\equiv 1}$: В таком случае можно просто взять ${\textstyle g_{z}=g}$, независимо от ${\textstyle z}$, и следующий аргумент потребует лишь незначительных изменений.

Теперь представим функцию $$\Phi (z)=\int _{\Omega _{2}}(Tf_{z})g_{z}\,\mathrm {d} \mu _{2}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{n}\left\vert a_{j}\right\vert ^{\frac {u(z)}{u(\theta )}}\left\vert b_{k}\right\vert ^{\frac {1-v(z)}{1-v(\theta )}}\gamma _{j,k}$$ где ${\textstyle \gamma _{j,k}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\alpha _{j}+\beta _{k})}\int _{\Omega _{2}}(T\mathbf {1} _{A_{j}})\mathbf {1} _{B_{k}}\,\mathrm {d} \mu _{2}}$ являются константами, независимыми от ${\textstyle z}$. Мы это легко видим ${\textstyle \Phi (z)}$ — целая функция, ограниченная на полосе ${\textstyle 0\leq \operatorname {\mathbb {R} e} z\leq 1}$. Тогда, чтобы доказать ( 2 ), нам нужно лишь показать, что

$${\begin{aligned}\left\vert \Phi (\mathrm {i} y)\right\vert &\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}&&{\text{and}}&\left\vert \Phi (1+\mathrm {i} y)\right\vert &\leq \|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}\end{aligned}}$$ ( 3 )

для всех ${\textstyle f_{z}}$ и ${\textstyle g_{z}}$ как построено выше. Действительно, если ( 3 ) верно, то по теореме Адамара о трёх прямых $$\left\vert \Phi (\theta +\mathrm {i} 0)\right\vert ={\biggl \vert }\int _{\Omega _{2}}(Tf)g\,\mathrm {d} \mu _{2}{\biggr \vert }\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }$$ для всех ${\textstyle f}$ и ${\textstyle g}$. Это означает, что, фиксируя ${\textstyle f}$, что $$\sup _{g}{\biggl \vert }\int _{\Omega _{2}}(Tf)g\,\mathrm {d} \mu _{2}{\biggr \vert }\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }$$ где верхняя грань берется по всем ${\textstyle g}$ простые функции с ${\textstyle \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}=1}$. Левую часть можно переписать с помощью следующей леммы.

Лемма — Пусть ${\textstyle 1\leq p,p'\leq \infty }$ будут сопряженными показателями и пусть ${\textstyle f}$ быть функцией в ${\textstyle L^{p}(\mu _{1})}$. Затем $$\lVert f\rVert _{p}=\sup {\biggl |}\int _{\Omega _{1}}fg\,\mathrm {d} \mu _{1}{\biggr |}$$ где верхняя грань берется по всем простым функциям ${\textstyle g}$ в ${\textstyle L^{p'}(\mu _{1})}$ такой, что ${\textstyle \lVert g\rVert _{p'}\leq 1}$.

В нашем случае из приведенной выше леммы следует $$\lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }$$ для всех простых функций ${\textstyle f}$ с ${\textstyle \lVert f\rVert _{p_{\theta }}=1}$. Эквивалентно, для общей простой функции: $$\lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }\lVert f\rVert _{p_{\theta }}.$$

Доказательство ( 3 )

Докажем теперь, что наше утверждение ( 3 ) действительно достоверно. Последовательность ${\textstyle (A_{j})_{j=1}^{m}}$ состоит из непересекающихся подмножеств в ${\textstyle \Sigma _{1}}$ и, таким образом, каждый ${\textstyle \xi \in \Omega _{1}}$ принадлежит (максимум) одному из них, скажем ${\textstyle A_{\hat {\jmath }}}$. Тогда для ${\textstyle z=\mathrm {i} y}$, $${\begin{aligned}\left\vert f_{\mathrm {i} y}(\xi )\right\vert &=\left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert ^{\frac {u(\mathrm {i} y)}{u(\theta )}}\\&=\exp {\biggl (}\log \left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert {\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}{\biggr )}\exp {\biggl (}-\mathrm {i} y\log \left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert p_{\theta }{\biggl (}{\frac {1}{p_{0}}}-{\frac {1}{p_{1}}}{\biggr )}{\biggr )}\\&=\left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert ^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\\&=\left\vert f(\xi )\right\vert ^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\end{aligned}}$$ что подразумевает, что ${\textstyle \lVert f_{\mathrm {i} y}\rVert _{p_{0}}\leq \lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}}$. При параллельном рассуждении каждый ${\textstyle \zeta \in \Omega _{2}}$ принадлежит (не более) к одному из наборов, поддерживающих ${\textstyle g}$, сказать ${\textstyle B_{\hat {k}}}$, и $$\left\vert g_{\mathrm {i} y}(\zeta )\right\vert =\left\vert b_{\hat {k}}\right\vert ^{\frac {1-1/q_{0}}{1-1/q_{\theta }}}=\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{\frac {1-1/q_{0}}{1-1/q_{\theta }}}=\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}\implies \lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\leq \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}.$$

Теперь мы можем связать ${\textstyle \Phi (\mathrm {i} y)}$: Применяя неравенство Гёльдера с сопряженными показателями ${\textstyle q_{0}}$ и ${\textstyle q_{0}'}$, у нас есть $${\begin{aligned}\left\vert \Phi (\mathrm {i} y)\right\vert &\leq \lVert Tf_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}}\lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\\&\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}\lVert f_{\mathrm {i} y}\rVert _{p_{0}}\lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\\&=\|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\lVert g\rVert _{q_{\theta }'}^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}\\&=\|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}.\end{aligned}}$$

Мы можем повторить тот же процесс для ${\textstyle z=1+\mathrm {i} y}$ чтобы получить ${\textstyle \left\vert f_{1+\mathrm {i} y}(\xi )\right\vert =\left\vert f(\xi )\right\vert ^{p_{\theta }/p_{1}}}$, ${\textstyle \left\vert g_{1+\mathrm {i} y}(\zeta )\right\vert =\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{q_{\theta }'/q_{1}'}}$ и, наконец, $$\left\vert \Phi (1+\mathrm {i} y)\right\vert \leq \|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}\lVert f_{1+\mathrm {i} y}\rVert _{p_{1}}\lVert g_{1+\mathrm {i} y}\rVert _{q_{1}'}=\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}.$$

Распространение на все измеримые функции в L ^{п _я}

На данный момент мы доказали, что

$$\lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}$$ ( 4 )

когда ${\textstyle f}$ это простая функция. Как уже говорилось, неравенство справедливо для всех ${\textstyle f\in L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}$ плотностью простых функций в ${\textstyle L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}$.

Формально пусть ${\textstyle f\in L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}$ и пусть ${\textstyle (f_{n})_{n}}$ — последовательность простых функций такая, что ${\textstyle \left\vert f_{n}\right\vert \leq \left\vert f\right\vert }$, для всех ${\textstyle n}$, и ${\textstyle f_{n}\to f}$ точечно. Позволять ${\textstyle E=\{x\in \Omega _{1}:\left\vert f(x)\right\vert >1\}}$ и определить ${\textstyle g=f\mathbf {1} _{E}}$, ${\textstyle g_{n}=f_{n}\mathbf {1} _{E}}$, ${\textstyle h=f-g=f\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}}$ и ${\textstyle h_{n}=f_{n}-g_{n}}$. Обратите внимание, что, поскольку мы предполагаем ${\textstyle p_{0}\leq p_{\theta }\leq p_{1}}$, $${\begin{aligned}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{p_{\theta }}&=\int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\mathbf {1} _{E}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\mathbf {1} _{E}\right\vert ^{p_{0}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\int _{\Omega _{1}}\left\vert g\right\vert ^{p_{0}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\lVert g\rVert _{p_{0}}^{p_{0}}\\\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{p_{\theta }}&=\int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}\right\vert ^{p_{1}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\int _{\Omega _{1}}\left\vert h\right\vert ^{p_{1}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\lVert h\rVert _{p_{1}}^{p_{1}}\end{aligned}}$$ и, что эквивалентно, ${\textstyle g\in L^{p_{0}}(\Omega _{1})}$ и ${\textstyle h\in L^{p_{1}}(\Omega _{1})}$.

Посмотрим, что произойдет в пределе для ${\textstyle n\to \infty }$. С ${\textstyle \left\vert f_{n}\right\vert \leq \left\vert f\right\vert }$, ${\textstyle \left\vert g_{n}\right\vert \leq \left\vert g\right\vert }$ и ${\textstyle \left\vert h_{n}\right\vert \leq \left\vert h\right\vert }$, по теореме о доминируемой сходимости легко получить $${\begin{aligned}\lVert f_{n}\rVert _{p_{\theta }}&\to \lVert f\rVert _{p_{\theta }}&\lVert g_{n}\rVert _{p_{0}}&\to \lVert g\rVert _{p_{0}}&\lVert h_{n}\rVert _{p_{1}}&\to \lVert h\rVert _{p_{1}}.\end{aligned}}$$ Сходным образом, ${\textstyle \left\vert f-f_{n}\right\vert \leq 2\left\vert f\right\vert }$, ${\textstyle \left\vert g-g_{n}\right\vert \leq 2\left\vert g\right\vert }$ и ${\textstyle \left\vert h-h_{n}\right\vert \leq 2\left\vert h\right\vert }$ подразумевать $${\begin{aligned}\lVert f-f_{n}\rVert _{p_{\theta }}&\to 0&\lVert g-g_{n}\rVert _{p_{0}}&\to 0&\lVert h-h_{n}\rVert _{p_{1}}&\to 0\end{aligned}}$$ и, в силу линейности ${\textstyle T}$ как оператор типов ${\textstyle (p_{0},q_{0})}$ и ${\textstyle (p_{1},q_{1})}$ (мы еще не доказали, что оно имеет тип ${\textstyle (p_{\theta },q_{\theta })}$ для общего ${\textstyle f}$) $${\begin{aligned}\lVert Tg-Tg_{n}\rVert _{p_{0}}&\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}\lVert g-g_{n}\rVert _{p_{0}}\to 0&\lVert Th-Th_{n}\rVert _{p_{1}}&\leq \|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}\lVert h-h_{n}\rVert _{p_{1}}\to 0.\end{aligned}}$$

Теперь легко доказать, что ${\textstyle Tg_{n}\to Tg}$ и ${\textstyle Th_{n}\to Th}$ в меру: Для любого ${\textstyle \epsilon >0}$, неравенство Чебышева дает $$\mu _{2}(y\in \Omega _{2}:\left\vert Tg-Tg_{n}\right\vert >\epsilon )\leq {\frac {\lVert Tg-Tg_{n}\rVert _{q_{0}}^{q_{0}}}{\epsilon ^{q_{0}}}}$$ и аналогично для ${\textstyle Th-Th_{n}}$. Затем, ${\textstyle Tg_{n}\to Tg}$ и ${\textstyle Th_{n}\to Th}$ ae для некоторой подпоследовательности и, в свою очередь, ${\textstyle Tf_{n}\to Tf}$ ae Тогда по лемме Фату и напоминая, что ( 4 ) справедливо для простых функций, $$\lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \liminf _{n\to \infty }\lVert Tf_{n}\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\liminf _{n\to \infty }\lVert f_{n}\rVert _{p_{\theta }}=\|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}.$$

Интерполяция аналитических семейств операторов

Схема доказательства, представленная в предыдущем разделе, легко обобщается на случай, когда оператор T может изменяться аналитически. Фактически, аналогичное доказательство можно провести и для установления оценки всей функции $$\varphi (z)=\int (T_{z}f_{z})g_{z}\,d\mu _{2},$$ из чего мы получаем следующую теорему Элиаса Штейна , опубликованную в его диссертации 1956 года:

Интерполяционная теорема Стейна . Пусть (Ω ₁ , Σ ₁ , µ ₁ ) и ( Ω ₂ , Σ ₂ , µ ₂ ) являются σ -конечными пространствами с мерой. Предположим, что p0 , _q0 p1 ≤ _≤ , 1 ≤ , ₁ q1 ≤ _∞ ∞ , и определим:

S знак равно { z ∈ C : 0 <Re( z ) < 1} ,

S знак равно { z ∈ C : 0 ≤ Re( z ) ≤ 1} .

Возьмем набор линейных операторов { T _z : z ∈ S } в пространстве простых функций из L ¹ ( 1 _{-измеримых} ) пространство всех функций ₂ на 2 _в . Мы предполагаем следующие дополнительные свойства этого набора линейных операторов:

• Отображение $$z\mapsto \int (T_{z}f)g\,d\mu _{2}$$ непрерывна на S и голоморфна на S для всех простых функций   f   и g .
• Для некоторой константы k < π операторы удовлетворяют равномерной границе: $$\sup _{z\in S}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\log \left|\int (T_{z}f)g\,d\mu _{2}\right|<\infty$$
• T _z отображает L ^{п ₀} ( µ ₁ ) ограниченно L ​ ^{Вопрос ₀} ( µ ₂ ) всякий раз, когда Re( z ) = 0 .
• T _z отображает L ^{п ₁} ( µ ₁ ) ограниченно L ^{д ₁} ( µ ₂ ) всякий раз, когда Re( z ) = 1 .
• Нормы оператора удовлетворяют равномерной границе $$\sup _{{\text{Re}}(z)=0,1}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\log \left\|T_{z}\right\|<\infty$$ для некоторой константы k < π .

Тогда для каждого 0 < θ < 1 оператор T _θ отображает L ^{п _я} ( µ ₁ ) ограниченно в L ^{q _θ} ( м ₂ ) .

Теория вещественных пространств Харди и пространства ограниченных средних колебаний позволяет использовать аргумент интерполяционной теоремы Штейна при работе с операторами в пространстве Харди H ¹ ( Р ^д ) и пространство BMO ограниченных средних колебаний; это результат Чарльза Феффермана и Элиаса Стайна .

Приложения

Неравенство Хаусдорфа – Янга

Основная статья: Неравенство Хаусдорфа – Янга

было показано В первом разделе , что преобразование Фурье ${\mathcal {F}}$ карты Л ¹ ( Р ^д ) ограниченно в L ^∞ ( Р ^д ) и Л ² ( Р ^д ) в себя. Аналогичное рассуждение показывает, что оператор ряда Фурье , преобразующий периодические функции   f : T → C в функции ${\hat {f}}:\mathbf {Z} \to \mathbf {C}$ значениями которых являются коэффициенты Фурье $${\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx,$$ карты Л ¹ ( T ) ограниченно в ℓ ^∞ ( Z ) и Л ² ( Т ) в ℓ ² ( З ) . Интерполяционная теорема Рисса – Торина теперь подразумевает следующее: $${\begin{aligned}\left\|{\mathcal {F}}f\right\|_{L^{q}(\mathbf {R} ^{d})}&\leq \|f\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\\\left\|{\hat {f}}\right\|_{\ell ^{q}(\mathbf {Z} )}&\leq \|f\|_{L^{p}(\mathbf {T} )}\end{aligned}}$$ где 1 ≤ p ≤ 2 и ⁠ 1 / p ⁠ + ⁠ 1 / q ⁠ знак равно 1 . Это неравенство Хаусдорфа–Юнга .

Неравенство Хаусдорфа–Юнга можно также установить для преобразования Фурье на локально компактных абелевых группах . Нормальная оценка 1 не является оптимальной. смотрите в основной статье Ссылки .

Операторы свертки

Основная статья: Неравенство свертки Янга

Пусть   f   — фиксированная интегрируемая функция и T — оператор свертки с   f   , т. е. для каждой функции g имеем Tg = f ∗ g .

Хорошо известно, что T ограничено из L ¹ в Л ¹ и тривиально то, что оно ограничено из L ^∞ в Л ^∞ (обе границы равны || f || ₁ ). Поэтому теорема Рисса–Торина дает $$\|f*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.$$

Мы берем это неравенство и меняем роли оператора и операнда, или, другими словами, мы думаем о S как об операторе свертки с g и получаем, что S ограничено из L ¹ в Л ^п . Далее, поскольку g находится в L ^п получаем, ввиду неравенства Гёльдера, что S ограничено из L ^д в Л ^∞ , где снова ⁠ 1 / p ⁠ + ⁠ 1 / q ⁠ знак равно 1 . Таким образом, интерполируя, мы получаем $$\|f*g\|_{s}\leq \|f\|_{r}\|g\|_{p}$$ где связь между p , r и s равна $${\frac {1}{r}}+{\frac {1}{p}}=1+{\frac {1}{s}}.$$

Преобразование Гильберта

Основная статья: преобразование Гильберта

Преобразование Гильберта f   C : R → выражением определяется $${\mathcal {H}}f(x)={\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x-t)}{t}}\,dt=\left({\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {p.v.} {\frac {1}{t}}\ast f\right)(x),$$ где pv указывает главное значение Коши интеграла. Преобразование Гильберта — это оператор множителя Фурье с особенно простым множителем: $${\widehat {{\mathcal {H}}f}}(\xi )=-i\,\operatorname {sgn}(\xi ){\hat {f}}(\xi ).$$

следует Из теоремы Планшереля , что преобразования Гильберта отображают L ² ( R ) ограниченно в себя.

Тем не менее преобразование Гильберта не ограничено на L ¹ ( Р ) или Л ^∞ ( R ) , поэтому мы не можем напрямую использовать интерполяционную теорему Рисса–Торина. Чтобы понять, почему у нас нет этих границ конечных точек, достаточно вычислить преобразование Гильберта простых функций 1 _(−1,1) ( x ) и 1 _(0,1) ( x ) − 1 _(0,1) ( - Икс ) . Однако мы можем показать, что $$({\mathcal {H}}f)^{2}=f^{2}+2{\mathcal {H}}(f{\mathcal {H}}f)$$ для всех функций Шварца   f : R → C , и это тождество можно использовать в сочетании с неравенством Коши – Шварца, чтобы показать, что преобразование Гильберта отображает L ^{2 н} ( Р ^д ) ограниченно в себя для всех n ≥ 2 . Интерполяция теперь устанавливает границу $$\|{\mathcal {H}}f\|_{p}\leq A_{p}\|f\|_{p}$$ для всех 2 ⩽ p < ∞ , и самосопряжённость преобразования Гильберта можно использовать для переноса этих границ на случай 1 < p ⩽ 2 .

Сравнение с реальным методом интерполяции

Хотя интерполяционная теорема Рисса–Торина и ее варианты являются мощными инструментами, позволяющими получить точную оценку интерполируемых операторных норм, они страдают многочисленными дефектами: некоторые незначительными, некоторые более серьезными. Прежде всего отметим, что комплексно-аналитический характер доказательства интерполяционной теоремы Рисса–Торина вынуждает скалярное поле быть C . Для функций с расширенным действительным знаком это ограничение можно обойти, переопределив функцию так, чтобы она была конечной всюду - возможно, поскольку каждая интегрируемая функция должна быть конечной почти всюду. Более серьезным недостатком является то, что на практике многие операторы, такие как максимальный оператор Харди–Литтлвуда и операторы Кальдерона–Зигмунда , не имеют хороших оценок конечной точки. В случае преобразования Гильберта из предыдущего раздела мы смогли обойти эту проблему, явно вычислив оценки нормы в нескольких промежуточных точках. Это обременительно и часто невозможно в более общих сценариях. Поскольку многие такие операторы удовлетворяют оценкам слабого типа $$\mu \left(\{x:Tf(x)>\alpha \}\right)\leq \left({\frac {C_{p,q}\|f\|_{p}}{\alpha }}\right)^{q},$$ настоящие интерполяционные теоремы, такие как интерполяционная теорема Марцинкевича для них лучше подходят . Более того, большое количество важных операторов, таких как максимальный оператор Харди-Литтлвуда , являются только сублинейными . Это не является помехой для применения реальных методов интерполяции, однако сложные методы интерполяции плохо приспособлены для работы с нелинейными операторами. С другой стороны, реальные методы интерполяции по сравнению со сложными методами интерполяции имеют тенденцию давать худшие оценки норм промежуточных операторов и не так хорошо ведут себя за пределами диагонали диаграммы Рисса. Недиагональные версии интерполяционной теоремы Марцинкевича требуют формализма пространств Лоренца и не обязательно дают оценки нормы на L ^п -пространства.

Теорема Митягина

Б. Митягин расширил теорему Рисса–Торина; это расширение формулируется здесь для частного случая пространств последовательностей с безусловными базисами (см. ниже).

Предполагать: $$\|A\|_{\ell _{1}\to \ell _{1}},\|A\|_{\ell _{\infty }\to \ell _{\infty }}\leq M.$$

Затем $$\|A\|_{X\to X}\leq M$$

для любого безусловного банахова пространства последовательностей X , т. е. для любого $(x_{i})\in X$ и любой $(\varepsilon _{i})\in \{-1,1\}^{\infty }$, $\|(\varepsilon _{i}x_{i})\|_{X}=\|(x_{i})\|_{X}$.

Доказательство основано на теореме Крейна–Мильмана .

См. также

• Теория интерполяции Марцинкевича
• Интерполяционное пространство

Ссылки

• Данфорд, Н.; Шварц, Дж. Т. (1958), Линейные операторы, части I и II , Wiley-Interscience .
• Фефферман, Чарльз; Штейн, Элиас М. (1972), " $H^{p}$ Пространства нескольких переменных», Acta Mathematica , 129 : 137–193, doi : 10.1007/bf02392215
• Глазман, И.М.; Любич, Ю.И. (1974), Конечномерный линейный анализ: систематическое представление в форме задачи , Кембридж, Массачусетс: MIT Press . Перевод с русского и под редакцией Г. П. Баркера и Г. Куэрти.
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Матем. наука., вып. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN.  3-540-12104-8 , МР   0717035 .
• Митягин [Митягин], Б.С. (1965), "Интерполяционная теорема для модулярных пространств ", Матем. Сб. , Новая серия, 66 (108): 473–482 .
• Торин, Г.О. (1948), "Теоремы выпуклости, обобщающие теоремы М. Рисса и Адамара с некоторыми приложениями", Comm. Сем. Математика. унив. Лунд [Медд. Лундсский университет. Мат. сем.] , 9 : 1–58, МР   0025529
• Рисс, Марсель (1927), «О максимумах билинейных форм и линейных функционалах», Acta Mathematica , 49 (3–4): 465–497, doi : 10.1007/bf02564121
• Штейн, Элиас М. (1956), «Интерполяция линейных операторов», Пер. амер. Математика. Соц. , 83 (2): 482–492, doi : 10.1090/s0002-9947-1956-0082586-0
• Штейн, Элиас М.; Шакарчи, Рами (2011), Функциональный анализ: введение в дальнейшие темы анализа , Princeton University Press
• Штейн, Элиас М.; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Princeton University Press

Внешние ссылки

• «Теорема Рисса о выпуклости» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]