Принцип аргументации

В комплексном анализе принцип аргумента (или принцип аргумента Коши ) представляет собой теорему, связывающую разницу между количеством нулей и полюсов мероморфной функции с контурным интегралом функции логарифмической производной .

Формулировка

Если f ( z ) — мероморфная функция внутри и на некотором замкнутом контуре C , и f не имеет ни нулей, ни полюсов на C , то

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=Z-P

где Z и P обозначают соответственно количество нулей и полюсов f ( z ) внутри контура C , причем каждый нуль и полюс отсчитываются столько раз, сколько указывают его кратность и порядок соответственно. Это утверждение теоремы предполагает, что контур C простой, т. е. не имеет самопересечений, и ориентирован против часовой стрелки.

В более общем смысле, предположим, что f ( z ) — мероморфная функция на открытом множестве Ω в комплексной плоскости и что C — замкнутая кривая в Ω, которая избегает всех нулей и полюсов f и стягивается до точки внутри Ω. Для каждой точки z ∈ Ω пусть n ( C , z ) — витков C число вокруг z . Затем

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\,

где первое суммирование проводится по всем нулям a функции f, учитываемым с учетом их кратностей, а второе суммирование проводится по полюсам b функции f, учитываемым с учетом их порядков.

Интерпретация контурного интеграла

Контурный интеграл $\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz$ можно интерпретировать как 2π i умноженное на число витков пути f ( C ) вокруг начала координат, используя замену w = f ( z ):

\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\,dw

То есть это в i общее изменение аргумента f раз большее ( z ) при z движении вокруг C , что объясняет название теоремы; это следует из

{\frac {d}{dz}}\log(f(z))={\frac {f'(z)}{f(z)}}

и связь между аргументами и логарифмами.

Доказательство принципа аргумента

Пусть z _Z будет нулем f . Мы можем написать f ( z ) = ( z - z _Z ) ^кg ( z ), где k — кратность нуля, и, таким образом, g ( z _Z ) ≠ 0. Получаем

f'(z)=k(z-z_{Z})^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)\,\!

и

{f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{Z}}+{g'(z) \over g(z)}.

Поскольку g ( z _Z ) ≠ 0, отсюда следует, что g' ( z )/ g ( z ) не имеет особенностей в точке z _Z и, следовательно, является аналитическим в точке z _Z , что означает, что вычет f ′ ( z )/ f ( z ) в z _Z - k .

Пусть z _{P —} полюс f . Мы можем написать f ( z ) = ( z - z _P ) ^{− м}h ( z ), где m — порядок полюса, а h ( z _P ) ≠ 0. Тогда

f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.

и

{f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}

аналогично вышеописанному. Отсюда следует, что h ′( z )/ h ( z ) не имеет особенностей в точке z _P, поскольку h ( z _P ) ≠ 0 и, следовательно, она аналитична в точке z _P . Мы обнаруживаем, что остаток ж ′( z )/ ж ( z ) в z _P является - м .

Объединив все это, каждый нуль z _Z кратности k из f создает простой полюс для f ′( z )/ f ( z ) с остатком k полюс z _P порядка m и каждый f создает простой полюс для f ′( z )/ f ( z ) с остатком − m . (Здесь простым шестом мыозначают полюс первого порядка.) Кроме того, можно показать, что f ′( z )/ f ( z ) не имеет других полюсов,и так никаких других остатков.

По теореме о вычетах мы получаем, что интеграл относительно C является произведением 2 πi и суммы вычетов. Вместе сумма k для представляет собой каждого нуля z _Z количество нулей с учетом кратности нулей, а также для полюсов, и таким образом мы имеем наш результат.

Приложения и последствия

Принцип аргумента можно использовать для эффективного поиска нулей или полюсов мероморфных функций на компьютере. Даже с учетом ошибок округления выражение ${1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz$ даст результаты, близкие к целому числу; определив эти целые числа для разных контуров С, можно получить информацию о расположении нулей и полюсов. Численные проверки гипотезы Римана используют этот метод, чтобы получить верхнюю границу числа нулей римана. $\xi (s)$ функция внутри прямоугольника, пересекающего критическую линию. Принцип аргумента также можно использовать для доказательства теоремы Руше , которую можно использовать для ограничения корней многочленных корней.

Следствием более общей формулировки принципа аргумента является то, что при той же гипотезе, если g — аналитическая функция в Ω, то

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).

Например, если f — многочлен , имеющий нули z ₁ , ..., z _p внутри простого контура C и g ( z ) = z ^к, затем

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\cdots +z_{p}^{k},

является степенной суммой симметричного полинома корней f .

Другое следствие: если мы вычислим комплексный интеграл:

\oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz

для соответствующего выбора g и f мы имеем формулу Абеля – Планы :

\sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt\,

которое выражает связь между дискретной суммой и ее интегралом.

Принцип аргумента также применяется в теории управления . В современных книгах по теории управления с обратной связью он обычно используется в качестве теоретической основы критерия устойчивости Найквиста . можно использовать более обобщенную форму принципа аргумента . Более того, для вывода интеграла чувствительности Боде и других связанных с ним интегральных соотношений ^[1]

Принцип обобщенного аргумента

Это непосредственное обобщение принципа аргумента. Предположим, что g аналитична в области $\Omega$ . Затем

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}g(z)\,dz=\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(b)n(C,b)\,

где первое суммирование снова проводится по всем нулям a из f, считая с их кратностью, а второе суммирование снова проводится по полюсам b из f, считая с их порядками.

История

Согласно книге Фрэнка Смитиса ( Коши и создание теории комплексных функций , Cambridge University Press, 1997, стр. 177), Огюстен-Луи Коши представил теорему, аналогичную приведенной выше, 27 ноября 1831 года, во время своего добровольного изгнания. в Турине (тогдашней столице Королевства Пьемонт-Сардиния) вдали от Франции. Однако, согласно этой книге, упоминались только нули, а не полюса. Эта теорема Коши была опубликована только много лет спустя, в 1874 году, в рукописной форме, и поэтому ее довольно трудно читать. Коши опубликовал статью с обсуждением нулей и полюсов в 1855 году, за два года до своей смерти.

См. также

Ссылки

^ Сюй, Юн; Чен, Банда; Чен, Цзе; Цю, Ли (2023). «Принцип аргументации и интегральные отношения: скрытые связи и обобщенные формы» . Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 68 (3): 1831–1838. дои : 10.1109/TAC.2022.3159565 . ISSN 0018-9286 .

Рудин, Уолтер (1986). Действительный и комплексный анализ (Международная серия по чистой и прикладной математике) . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054234-1 .
Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-000657-7 .
Черчилль, Руэл Вэнс; Браун, Джеймс Уорд (1989). Комплексные переменные и приложения . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-010905-6 .
Баклунд, Р.-Й. (1914) О нулях дзета(s)-функции Римана, Ч. Р. акад. наук. Париж 158, 1979–1982.

Внешние ссылки

«Аргумент, принцип» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Сюй, Юн; Чен, Банда; Чен, Цзе; Цю, Ли (2023). «Принцип аргументации и интегральные отношения: скрытые связи и обобщенные формы» . Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 68 (3): 1831–1838. дои : 10.1109/TAC.2022.3159565 . ISSN 0018-9286 .

[1]