Симметризуемый компактный оператор

В математике симметризуемый компактный оператор — это компактный оператор в гильбертовом пространстве , который можно составить с положительным оператором с тривиальным ядром для получения самосопряженного оператора. Такие операторы естественным образом возникли в работах над интегральными операторами Гильберта, Корна, Лихтенштейна и Марти, необходимыми для решения эллиптических краевых задач в ограниченных областях евклидова пространства . Между концом 1940-х и началом 1960-х годов методы, ранее разработанные как часть классической теории потенциала , были абстрагированы в рамках теории операторов различными математиками, в том числе М. Г. Крейном , Уильямом Т. Ридом, Питером Лаксом и Жаном Дьедонне . Теория Фредгольма уже подразумевает, что любой элемент спектра является собственным значением . Основные результаты утверждают, что спектральная теория этих операторов аналогична теории компактных самосопряженных операторов: любое спектральное значение вещественно; они образуют последовательность, стремящуюся к нулю; любой обобщенный собственный вектор является собственным вектором ; а собственные векторы охватывают плотное подпространство гильбертова пространства.

Обсуждение

Пусть H — гильбертово пространство. Компактный оператор K в H симметризуем, если существует ограниченный самосопряженный оператор S в H такой, что S положителен с тривиальным ядром, т. е. ( Sx , x ) > 0 для всех ненулевых x и SK самосопряженный :

$\displaystyle {SK=K^{*}S.}$

Во многих приложениях S также компактна. Оператор S определяет новый скалярный продукт на H

$\displaystyle {(x,y)_{S}=(Sx,y)}.$

Пусть HS _— в гильбертовом пространстве пополнение H относительно этого скалярного произведения.

Оператор K определяет формально самосопряженный оператор на плотном H пространства HS _{подпространстве} . Как отметили Крейн (1947) и Рид (1951) , оператор имеет ту же операторную норму, что и K . Фактически из условия самосопряженности следует

$\displaystyle {SK^{n}=(K^{*})^{n}S.}$

По индукции следует, что если ( x , x ) _S = 1, то

$\displaystyle {\|Kx\|_{S}|^{2^{n}}\leq \|K^{2^{n}}x\|_{S}.}$

Следовательно

$\displaystyle {\|Kx\|_{S}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }\|K\|(\|S\|\|x\|^{2})^{1/2^{n}}=\|K\|}$

Если K только компактен, Крейн привел аргумент, ссылаясь на теорию Фредгольма, чтобы показать, что определяет компактный оператор на HS _K . Более короткий аргумент доступен, если K принадлежит классу Шаттена .

Когда K является оператором Гильберта–Шмидта , рассуждения ведутся следующим образом. Пусть R — единственный положительный квадратный корень из S и для ε > 0 определим

$\displaystyle {A_{\varepsilon }=(R+\varepsilon I)^{-1}SK(R+\varepsilon I)^{-1}.}$

Это самосопряженный оператор Гильберта–Шмидта на H , равномерно ограниченный в норме Гильберта–Шмидта:

$\displaystyle {\|A_{\varepsilon }\|_{2}^{2}=(R^{2}(R+\varepsilon I)^{-2}K,KR^{2}(R+\varepsilon I)^{-2})_{2}\leq \|K\|_{2}^{2},}$

слабо сходящаяся к самосопряженному оператору Гильберта–Шмидта A. Поскольку операторы Гильберта–Шмидта образуют гильбертово пространство, существует подпоследовательность , Поскольку A _ε R стремится к RK в норме Гильберта–Шмидта, отсюда следует, что

$\displaystyle {RK=AR.}$

, если U — унитарный оператор, индуцированный R между HS _{Таким образом} и H , то оператор KS _, индуцированный ограничением K, соответствует A на H :

$\displaystyle {UK_{S}U^{*}=A.}$

Операторы K − λI и K * − λI являются операторами Фредгольма индекса 0 при λ ≠ 0, поэтому любое спектральное значение K или K * является собственным значением, а соответствующие собственные пространства конечномерны. С другой стороны, по специальной теореме для компактных операторов H является ортогональной прямой суммой собственных пространств A , все конечномерные, за исключением, возможно, собственного пространства 0. Поскольку RA = K * R , образ под R собственного λ-пространства A лежит в λ собственном пространстве K *. Аналогично R переносит собственное пространство λ оператора K в собственное пространство λ оператора A . Отсюда следует, что все собственные значения K и K * вещественны. Поскольку R инъективен и имеет плотный образ, он индуцирует изоморфизмы между λ собственными пространствами A , K и K *. То же самое верно и для обобщенных собственных значений, поскольку степени K − λI и K * − λI также являются фредгольмовыми с индексом 0. Поскольку любой обобщенный собственный вектор λ A уже является собственным вектором, то же самое верно для K и K *. Для λ = 0 это рассуждение показывает, что K ^м x = 0 влечет Kx = 0.

собственные пространства K * охватывают плотное подпространство H , поскольку оно содержит образ под R соответствующего пространства для A. Наконец , что все собственные векторы ненулевых собственных значений в _KS HS лежат _{Из приведенных выше аргументов также следует ,} в подпространстве H .

Операторы Гильберта–Шмидта K с ненулевыми действительными собственными значениями λ _n удовлетворяют следующим тождествам, доказанным Карлеманом (1921) :

$\displaystyle {\mathrm {tr} \,K^{2}=\sum \lambda _{n}^{2},\,\,\,\det(I-zK^{2})=\prod _{n=1}^{\infty }(1-z\lambda _{n}^{2}).}$

Здесь tr — след ядерных операторов , а det — определитель Фредгольма . Для симметризуемых операторов Гильберта – Шмидта результат утверждает, что след или определитель для K или K * равен следу или определителю для A .Для симметризуемых операторов тождества для K * можно доказать, взяв H ₀ в качестве ядра K * и H _m в качестве конечномерных собственных пространств для ненулевых собственных значений λ _m . Пусть P _N ортогональный проектор на прямую сумму H _m с 0 ⩽ m ⩽ N. — Это подпространство остается инвариантным с помощью K *.Хотя сумма не ортогональна, ограничение P _N K * P _N группы K * аналогично ограниченному оператору с ограниченным обратным к диагональному оператору на ортогональной прямой сумме с теми же собственными значениями. Таким образом

$\displaystyle {\mathrm {tr} \,(P_{N}K^{*}P_{N})^{2}=\sum _{m=1}^{N}\lambda _{m}^{2}\cdot \mathrm {dim} \,H_{m},\,\,\,\mathrm {det} \,[P_{N}-z(P_{N}K^{*}P_{N})^{2}]=\prod _{m=1}^{N}(1-z\lambda _{m}^{2})^{\mathrm {dim} \,H_{m}}.}$

Поскольку P _N K * P _N стремится к K * в норме Гильберта – Шмидта, тождества для K * следуют путем перехода к пределу при стремлении N к бесконечности.

Ссылки

• Карлеман, Т. (1921), «К теории линейных интегральных уравнений» , Math. Z. , 9 (3–4): 196–217, doi : 10.1007/bf01279029 , S2CID   122412155 .
• Дьедонне, Ж. (1969), Основы современного анализа , Чистая и прикладная математика, Academic Press
• Халмос, П.Р. (1974), Сборник задач по гильбертовому пространству , Тексты для выпускников по математике, том. 19, Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-0-387-90090-2 , Задача 82
• Келлог, Оливер Даймон (1929), Основы теории потенциала , Основные учения математических наук, том. 31, Шпрингер Верлаг
• Хавинсон, Д.; Путинар, М.; Шапиро, HS (2007), «Вариационная проблема Пуанкаре в теории потенциала», Arch. Рацион. Мех. Анальный. , 185 (1): 143–184, Bibcode : 2007ArRMA.185..143K , CiteSeerX   10.1.1.569.7145 , doi : 10.1007/s00205-006-0045-1 , S2CID   855706
• Крейн, М.Г. (1998), «Компактные линейные операторы в функциональных пространствах с двумя нормами (перевод из украинской статьи 1947 года)», Теория операторов интегральных уравнений , 30 (2): 140–162, doi : 10.1007/bf01238216 , S2CID   120822340
• Ландкоф, Н.С. (1972), Основы современной теории потенциала , Основные положения математических наук, т. 1, с. 180, Шпрингер Верлаг
• Лакс, Питер Д. (1954), «Симметризуемые линейные преобразования», Comm. Чистое приложение. Математика. , 7 (4): 633–647, doi : 10.1002/cpa.3160070403
• Рид, Уильям Т. (1951), «Симметризуемые полностью непрерывные линейные преобразования в гильбертовом пространстве», Duke Math. Дж. , 18 : 41–56, doi : 10.1215/s0012-7094-51-01805-4
• Заанен, Адриан Корнелис (1953), Линейный анализ; Мера и интеграл, Банахово и Гильбертово пространство, линейные интегральные уравнения , Interscience