Квантовое возрождение

Полное и точное восстановление полугауссовой волновой функции в бесконечной двумерной потенциальной яме в ходе ее временной эволюции. В промежутках между дробными оживлениями происходят, когда масштабированная форма волновой функции повторяет себя целое число раз по площади скважины.

В квантовой механике квантовое возрождение представляет собой периодическую повторяемость квантовой волновой функции от своей первоначальной формы в ходе временной эволюции либо много раз в пространстве, как кратные масштабированные дробив виде исходной волновой функции (дробное возрождение) или приблизительно или точно к ее исходной форма с самого начала (полное возрождение). Поэтому периодическая во времени квантовая волновая функция демонстрирует полное возрождение. каждый период . Явление возрождений легче всего наблюдать для волновых функций, представляющих собой хорошо локализованные волновые пакеты в начале временной эволюции, например, в атоме водорода. Для Водорода наблюдаются дробные возрождения. как множественные угловые гауссовы выступы вокруг круга, нарисованного радиальным максимумом ведущего компонента кругового состояния (того, который имеет наибольшую амплитуду в расширении собственного состояния)исходное локализованное состояние и полное возрождение исходного гауссиана. Полные возрождения точны для бесконечной квантовой ямы , гармонического осциллятора или атома водорода , а для более коротких времен являются приблизительными. для атома водорода и многих квантовых систем.

ColRev3a10

График коллапсов и возрождений квантовых колебаний атомной инверсии JCM.

Пример - произвольная усеченная волновая функция квантовой системы с рациональными энергиями

Рассмотрим квантовую систему с энергиями $E_{i}$ и собственные состояния $\psi _{i}$

$H\psi _{i}=E_{i}\psi _{i}$

и пусть энергии представляют собой рациональные доли некоторой постоянной $C$

$E_{i}=C{M_{i} \over N_{i}}$

(например, для атома водорода $M_{i}=1$, $N_{i}=i^{2}$, $C=-13.6eV$.

Тогда усеченное (до $\mathbb {N} _{max}$ состояний) решение зависящего от времени уравнения Шрёдингера есть

$\Psi (t)=\sum _{i=0}^{\mathbb {N} _{max}}a_{i}e^{-i{{E_{i}} \over \hbar }t}\psi _{i}$

Сверхвозрождение инверсии (возвращение полного приближенного возрождения к исходной форме) в модели Джейнса-Каммингса, когда точный спектр находится в резонансе вокруг среднего числа фотонов $n_{0}=100$ аппроксимируется полиномом от квантового числа фотона $n$ $E(n)=a\delta n^{2}+b\delta n+c$, $\delta n=n-n_{0}$

.

Позволять $L_{cm}$ быть наименьшим общим кратным всех $N_{i}$ и $L_{cd}$ наибольший общий делитель всех $M_{i}$тогда для каждого $N_{i}$ тот ${L_{cm}}/N_{i}$ является целым числом, для каждого $M_{i}$ тот ${M_{i}}/L_{cd}$ целое число, $2\pi M_{i}{L_{cm}}/(N_{i}L_{cd})$ является полным кратным $2\pi$ угол и

$\Psi (t)=\Psi (t+T)$

после полного возрождения время

$T={2\pi \hbar \over {L_{cd}C}}L_{cm}$.

Для такой маленькой квантовой системы, как Водород и $\mathbb {N} _{max}$ даже если его будет всего 100, то для его полного возрождения могут потребоваться квадриллионы лет. Особенно однажды созданный полями троянский волновой пакет вАтом водорода существует без каких-либо внешних полей стробоскопически и вечно повторяющийся после охвата почти всего гиперкуба квантовых фаз ровно за каждое полное время возрождения.

Поразительным следствием является то, что ни один конечно-разрядный компьютер не может точно распространять числовую волновую функцию на сколь угодно длинный путь. время. Если номер процессора представляет собой n- битное число с плавающей запятой , то это число может быть сохранено компьютером только с конечной точностью после запятой и энергией (до 8 цифр после запятой), например 2,34576893 = 234576893/100000000 и как конечная дробь этосовершенно рационально, и полное возрождение происходит для любой волновой функции любой квантовой системы после времени $t/2\pi =100000000$ что является его максимальным показателем и т. д., что может быть неверным для всех квантовых систем или для всех стационарных квантовых систем, которые подвергаются полному и точному возрождению численно.

В системе с рациональными энергиями, т.е. там, где существует квантовое точное полное возрождение, его существование непосредственно доказывает квантовую теорему о возвращении Пуанкаре , а время полного квантового возрождения равно времени возвращения Пуанкаре. В то время как рациональные числа плотны в действительных числах и произвольная функция квантовое число может быть сколь угодно точно аппроксимировано аппроксимациями Паде с коэффициенты произвольной десятичной точности, поэтому в течение сколь угодно долгого времени каждая квантовая система возрождается почти точно. Это также означает, что возвращение Пуанкаре и полное возрождение математически являются одним и тем же. и это общепринято, что рецидив называется полным оживлением, если он происходит после разумного и физически измеримого времени. это можно обнаружить с помощью реалистичного прибора, и это происходит из-за совершенно особого энергетического спектра, имеющего большую базовую энергию. Пространственный зазор, энергии которого кратны произвольным (не обязательно гармоническим).

См. также

• Теорема Пуанкаре о возврате