Модель дорожного движения Бихама – Миддлтона – Левина

Модель трафика Бихама-Миддлтона-Левина представляет собой самоорганизующуюся клеточного автомата модель транспортного потока . Он состоит из ряда автомобилей, представленных точками на решетке со случайной начальной позицией, где каждая машина может относиться к одному из двух типов: те, которые движутся только вниз (показаны синим цветом в этой статье), и те, которые движутся только в направлении справа (в этой статье показано красным). Два типа автомобилей движутся по очереди. За каждый ход все автомобили соответствующего типа продвигаются на один шаг, если их не блокирует другая машина. Ее можно считать двумерным аналогом более простой модели Правила 184 . Возможно, это простейшая система, демонстрирующая фазовые переходы и самоорганизацию . ^[1]

История

Модель дорожного движения Бихама-Миддлтона-Левина была впервые сформулирована Офером Бихамом , А. Аланом Миддлтоном и Довом Левином в 1992 году. ^[2] Бихам и др. обнаружили, что по мере увеличения плотности движения устойчивый поток транспорта внезапно переходил от плавного потока к полной пробке. В 2005 году Раисса Д'Суза обнаружила, что при некоторой плотности движения существует промежуточная фаза, характеризующаяся периодическим возникновением пробок и плавным движением транспорта. ^[3] В том же году Энджел, Холройд и Мартин первыми строго доказали, что при плотностях, близких к единице, система всегда будет заклинивать. ^[4] Позже, в 2006 году, Тим Остин и Итай Бенджамини обнаружили, что для квадратной решетки со стороной N модель всегда будет самоорганизовываться для достижения полной скорости, если машин меньше N /2. ^[5]

Решетчатое пространство

Фундаментальный многоугольник тора, по которому движутся автомобили

Автомобили обычно размещаются на квадратной решетке, которая топологически эквивалентна тору : то есть автомобили, съезжающие с правого края, снова появляются на левом краю; и автомобили, которые съедут с нижнего края, снова появятся на верхнем краю.

Также проводились исследования прямоугольных решеток вместо квадратных. Для прямоугольников взаимно простых размеров промежуточными состояниями являются самоорганизующиеся полосы заторов и свободного течения с детальной геометрической структурой, периодически повторяющиеся во времени. ^[3] В невзапростых прямоугольниках промежуточные состояния обычно не периодические, а неупорядоченные. ^[3]

Фазовые переходы

Несмотря на простоту модели, в ней есть две хорошо различимые фазы – фаза застревания и фаза свободного течения . ^[2] При небольшом количестве автомобилей система обычно самоорганизуется для обеспечения плавного движения транспорта. Напротив, если автомобилей много, система застрянет до такой степени, что ни одна машина не сможет двигаться. Обычно в квадратной решетке плотность перехода равна примерно 32% от количества возможных мест в решетке. ^[6]

, Свободнотекущая фаза наблюдаемая на прямоугольной решетке 144х89 с плотностью трафика 28%.

Фаза с глобальными помехами , наблюдаемая на прямоугольной решетке 144×89 с плотностью трафика 60%.

Промежуточный этап

Промежуточная фаза возникает близко к переходной плотности, сочетая в себе черты как заклиненной, так и свободнотекучей фаз. Принципиально существуют две промежуточные фазы – неупорядоченная (которая может быть метастабильной ) и периодическая (которая доказуемо стабильна). ^[3] На прямоугольных решетках взаимно простых размерностей существуют только периодические орбиты. ^[3] В 2008 г. периодические промежуточные фазы наблюдались и в квадратных решетках. ^[7] Однако на квадратных решетках чаще наблюдаются неупорядоченные промежуточные фазы, которые имеют тенденцию доминировать при плотностях, близких к переходной области.

Периодическая промежуточная фаза , наблюдаемая на прямоугольной решетке 144×89 с плотностью трафика 38%.

промежуточная фаза Неупорядоченная , наблюдаемая на прямоугольной решетке 144×89 с плотностью трафика 39%.

Тщательный анализ

Несмотря на простоту модели, строгий анализ весьма нетривиален. ^[6] Тем не менее, были математические доказательства модели дорожного движения Бихама – Миддлтона – Левина. Доказательства до сих пор ограничивались крайней плотностью движения. В 2005 году Александр Холройд и др. доказали, что при плотности, достаточно близкой к единице, в системе не будет автомобилей, движущихся бесконечно часто. ^[4] В 2006 году Тим Остин и Итай Бенджамини доказали, что модель всегда достигнет фазы свободного движения, если количество автомобилей будет меньше половины длины ребра квадратной решетки. ^[5]

Неориентируемые поверхности

Модель обычно изучается на ориентируемом торе , но можно реализовать решетку и на бутылке Клейна . ^[8] Когда красные автомобили достигают правого края, они снова появляются на левом краю, за исключением перевернутых вертикально; те, что внизу, теперь оказались наверху, и наоборот. Более формально, для каждого $y\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace$ , красная машина выезжает с площадки $(N-1,y)$ зашёл бы на сайт $(0,N-y-1)$ . Возможна также реализация на вещественной проективной плоскости . ^[8] Помимо переворачивания красных машинок, то же самое проделывается и с синими машинками: для каждого $x\in \lbrace 0,\ldots ,N-1\rbrace$ , синяя машина выезжает с площадки $(x,N-1)$ зашёл бы на сайт $(N-x-1,0)$ .

Поведение системы на бутылке Клейна гораздо больше похоже на поведение системы на торе, чем на реальной проективной плоскости. ^[8] Для установки бутылки Клейна подвижность как функция плотности начинает уменьшаться несколько раньше, чем в случае тора, хотя поведение аналогичное для плотностей, превышающих критическую точку. Подвижность на вещественной проективной плоскости уменьшается более постепенно при плотностях от нуля до критической точки. В реальной проективной плоскости в углах решетки могут образовываться локальные заедания, хотя остальная часть решетки является сыпучей. ^[8]

Рандомизация

Рандомизированный вариант модели трафика BML, названный BML-R, был изучен в 2010 году. ^[9] В периодических границах вместо обновления всех автомобилей одного цвета одновременно на каждом этапе рандомизированная модель выполняет $L^{2}$ обновления (где $L$ — длина стороны предположительно квадратной решетки): каждый раз выбирается случайная ячейка и, если она содержит автомобиль, она по возможности перемещается в следующую ячейку. В этом случае промежуточное состояние, наблюдаемое в обычной модели трафика BML, не существует из-за недетерминированного характера рандомизированной модели; вместо этого переход от заклиненной фазы к свободно текущей фазе резкий.

В условиях открытых границ вместо того, чтобы автомобили, выезжающие с одного края, обтекали другой край, с вероятностью добавляются новые автомобили на левом и верхнем краях. $\alpha$ и снят с правого и нижнего краев $\beta$ соответственно. В этом случае количество автомобилей в системе может меняться со временем, а локальные заторы могут привести к тому, что решетка будет сильно отличаться от обычной модели, например, из-за сосуществования заторов и областей со свободным движением; содержащие большие пустые пространства; или содержащие преимущественно автомобили одного типа. ^[9]

Ссылки

^ Д'Суза, Раиса. «Модель дорожного движения Бихама – Миддлтона – Левина» . Проверено 4 января 2015 г.
^ Jump up to: ^а ^б Бихам, Офер ; Миддлтон, А. Алан ; Левин, Дов (ноябрь 1992 г.). «Самоорганизация и динамический переход в моделях транспортных потоков» . Физ. Преподобный А. 46 (10). Американское физическое общество: R6124–R6127. arXiv : cond-mat/9206001 . Бибкод : 1992PhRvA..46.6124B . дои : 10.1103/PhysRevA.46.R6124 . ISSN 1050-2947 . ПМИД 9907993 . S2CID 14543020 . Архивировано из оригинала 24 февраля 2013 г. Проверено 14 декабря 2012 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Д'Суза, Раиса М. (2005). «Сосуществующие фазы и решетчатая зависимость модели клеточного автомата транспортного потока» . Физ. Преподобный Е. 71 (6). Американское физическое общество: 066112. Бибкод : 2005PhRvE..71f6112D . дои : 10.1103/PhysRevE.71.066112 . ПМИД 16089825 . Архивировано из оригинала 24 февраля 2013 года . Проверено 14 декабря 2012 г.
^ Jump up to: ^а ^б Ангел, Омер; Холройд, Александр Э.; Мартин, Джеймс Б. (12 августа 2005 г.). «Фаза застревания модели дорожного движения Бихама – Миддлтона – Левина» . Электронные коммуникации в теории вероятности . 10 : 167–178. arXiv : math/0504001 . Бибкод : 2005math......4001A . дои : 10.1214/ECP.v10-1148 . ISSN 1083-589X . S2CID 10913106 . Архивировано из оригинала 4 марта 2016 г. Проверено 14 декабря 2012 г.
^ Jump up to: ^а ^б Остин, Тим; Бенджамини, Итай (2006). «Для какого количества автомобилей должна произойти самоорганизация в модели движения Бихама – Миддлтона – Левайна из любой возможной начальной конфигурации?». arXiv : math/0607759 .
^ Jump up to: ^а ^б Холройд, Александр Э. «Модель дорожного движения Бихама – Миддлтона – Левина» . Проверено 14 декабря 2012 г.
^ Линеш, Николас Дж.; Д'Суза, Раиса М. (15 октября 2008 г.). «Периодические состояния, локальные эффекты и сосуществование в модели пробок BML». Физика А. 387 (24): 6170–6176. arXiv : 0709.3604 . Бибкод : 2008PhyA..387.6170L . дои : 10.1016/j.physa.2008.06.052 . ISSN 0378-4371 . S2CID 18321146 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Кампора, Даниэль; де Ла Торре, Хайме; Гарсиа Васкес, Хуан Карлос; Капаррини, Фернандо Санчо (август 2010 г.). «Модель BML на неориентируемых поверхностях». Физика А. 389 (16): 3290–3298. Бибкод : 2010PhyA..389.3290C . дои : 10.1016/j.physa.2010.03.037 . hdl : 11441/107117 .
^ Jump up to: ^а ^б Дин, Чжун-Цзюнь; Цзян, Руй; Ван, Бин-Хонг (2011). «Транспортный поток в модели Бихама – Миддлтона – Левина с правилом случайного обновления». Физический обзор E . 83 (4): 047101. Бибкод : 2011PhRvE..83d7101D . дои : 10.1103/PhysRevE.83.047101 . ПМИД 21599339 .

Внешние ссылки

Реализация CUDA Дэниелом Лу
Реализация WebGL Джейсона Дэвиса
Реализация JavaScript от Maciej Baron

[dsouzaweb-1] Д'Суза, Раиса. «Модель дорожного движения Бихама – Миддлтона – Левина» . Проверено 4 января 2015 г.

[bml-2] Jump up to: ^а ^б Бихам, Офер ; Миддлтон, А. Алан ; Левин, Дов (ноябрь 1992 г.). «Самоорганизация и динамический переход в моделях транспортных потоков» . Физ. Преподобный А. 46 (10). Американское физическое общество: R6124–R6127. arXiv : cond-mat/9206001 . Бибкод : 1992PhRvA..46.6124B . дои : 10.1103/PhysRevA.46.R6124 . ISSN 1050-2947 . ПМИД 9907993 . S2CID 14543020 . Архивировано из оригинала 24 февраля 2013 г. Проверено 14 декабря 2012 г.

[dsouzaPRE-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Д'Суза, Раиса М. (2005). «Сосуществующие фазы и решетчатая зависимость модели клеточного автомата транспортного потока» . Физ. Преподобный Е. 71 (6). Американское физическое общество: 066112. Бибкод : 2005PhRvE..71f6112D . дои : 10.1103/PhysRevE.71.066112 . ПМИД 16089825 . Архивировано из оригинала 24 февраля 2013 года . Проверено 14 декабря 2012 г.

[angel-4] Jump up to: ^а ^б Ангел, Омер; Холройд, Александр Э.; Мартин, Джеймс Б. (12 августа 2005 г.). «Фаза застревания модели дорожного движения Бихама – Миддлтона – Левина» . Электронные коммуникации в теории вероятности . 10 : 167–178. arXiv : math/0504001 . Бибкод : 2005math......4001A . дои : 10.1214/ECP.v10-1148 . ISSN 1083-589X . S2CID 10913106 . Архивировано из оригинала 4 марта 2016 г. Проверено 14 декабря 2012 г.

[austin-5] Jump up to: ^а ^б Остин, Тим; Бенджамини, Итай (2006). «Для какого количества автомобилей должна произойти самоорганизация в модели движения Бихама – Миддлтона – Левайна из любой возможной начальной конфигурации?». arXiv : math/0607759 .

[Holroydweb-6] Jump up to: ^а ^б Холройд, Александр Э. «Модель дорожного движения Бихама – Миддлтона – Левина» . Проверено 14 декабря 2012 г.

[linesch-7] Линеш, Николас Дж.; Д'Суза, Раиса М. (15 октября 2008 г.). «Периодические состояния, локальные эффекты и сосуществование в модели пробок BML». Физика А. 387 (24): 6170–6176. arXiv : 0709.3604 . Бибкод : 2008PhyA..387.6170L . дои : 10.1016/j.physa.2008.06.052 . ISSN 0378-4371 . S2CID 18321146 .

[campora-8] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Кампора, Даниэль; де Ла Торре, Хайме; Гарсиа Васкес, Хуан Карлос; Капаррини, Фернандо Санчо (август 2010 г.). «Модель BML на неориентируемых поверхностях». Физика А. 389 (16): 3290–3298. Бибкод : 2010PhyA..389.3290C . дои : 10.1016/j.physa.2010.03.037 . hdl : 11441/107117 .

[bmlr-9] Jump up to: ^а ^б Дин, Чжун-Цзюнь; Цзян, Руй; Ван, Бин-Хонг (2011). «Транспортный поток в модели Бихама – Миддлтона – Левина с правилом случайного обновления». Физический обзор E . 83 (4): 047101. Бибкод : 2011PhRvE..83d7101D . дои : 10.1103/PhysRevE.83.047101 . ПМИД 21599339 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]