Хаотическое рассеяние

Хаотическое рассеяние — раздел теории хаоса, изучающий рассеивающие системы, обладающие сильной чувствительностью к начальным условиям . В классической системе рассеяния будет один или несколько прицельных параметров b , при которых частица попадает в рассеиватель. Это приводит к появлению одного или нескольких выходных параметров y , когда частица уходит в бесконечность. Пока частица пересекает систему, также может существовать время задержки — время , T помимо пройденного расстояния, с , необходимое частице для выхода из системы. В некоторых системах (например, «бильярдных» системах, в которых частица сталкивается без потерь с твердыми неподвижными объектами) эти две системы будут эквивалентны — см. ниже. В хаотической системе рассеяния малейшее изменение прицельного параметра может привести к очень большому изменению выходных параметров.

Система Гаспара – Райса

Рис. 1: Схема системы рассеяния Гаспара – Райса с указанием основных параметров.

Отличным примером системы является система рассеяния Гаспара-Райса (GR). — также известная просто как «трехдисковая» система, которая воплощает в себе многие важные концепции хаотического рассеяния, будучи при этом простой и легкой для понимания и моделирования. Идея очень проста: у нас есть три жестких диска, расположенных в некоторой треугольной форме, точечная частица отправляется внутрь и подвергается идеальным упругим столкновениям , пока не выйдет на бесконечность. В этом обсуждении мы будем рассматривать только системы ОТО, имеющие диски одинакового размера, одинаково расположенные вокруг точек равностороннего треугольника.

Рисунок 1 иллюстрирует эту систему, а рисунок 2 показывает два примера траекторий. Прежде всего обратите внимание, что траектории некоторое время прыгают вокруг системы, прежде чем окончательно выйти из нее. Обратите также внимание, что если мы считаем параметры удара началом двух идеально горизонтальных линий слева (система полностью обратима: точка выхода также может быть точкой входа), две траектории изначально настолько близки, что их можно почти идентичны. К моменту выхода они совершенно разные, что свидетельствует о сильной чувствительности к начальным условиям. Эта система будет использоваться в качестве примера на протяжении всей статьи.

Рис. 2: Система рассеяния Гаспара – Райса, показывающая чувствительность к начальным условиям.

Скорость распада

Если мы вводим большое количество частиц с равномерно распределенными прицельными параметрами, скорость, с которой они покидают систему, называется скоростью распада. Мы можем вычислить скорость затухания, моделируя систему на протяжении многих испытаний и формируя гистограмму времени задержки T . Для системы ОТО легко видеть, что время задержки и длина траектории частицы эквивалентны, за исключением коэффициента умножения. Типичным выбором параметра удара является координата y , тогда как угол траектории остается постоянным и равен нулю градусов — по горизонтали. При этом мы говорим, что частица «вышла из системы», как только она прошла границу на некотором произвольном, но достаточно большом расстоянии от центра системы.

Мы ожидаем, что количество частиц, остающихся в системе, N(T) будет меняться следующим образом:

$N(T)\sim e^{-\gamma T}$

Таким образом, скорость распада , $\gamma$, определяется как:

$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }-{\frac {\ln N(T)}{T}}$

где n — общее количество частиц.

На рисунке 3 показан график зависимости длины пути от количества частиц для моделирования одного миллиона (1e6) частиц, начатых со случайным прицельным параметром b . Подогнанная прямая с отрицательным наклоном, $\gamma =0.739$ накладывается. Длина пути s эквивалентна времени затухания T при условии, что мы соответствующим образом масштабируем (постоянную) скорость. Обратите внимание, что скорость экспоненциального затухания является свойством именно гиперболического хаотического рассеяния. Негиперболические рассеиватели могут иметь арифметическую скорость затухания.

Рис. 3: Скорость затухания системы рассеяния Гаспара – Райса.

Экспериментальная система и устойчивое многообразие

Рис. 4: Экспериментальная система рассеяния Гаспара – Райса.

На рис. 4 показана экспериментальная реализация Система Гаспара – Райса, использующая лазер вместо точечной частицы. Любой, кто действительно пробовал это, знает, что это не очень эффективный метод. метод тестирования системы — лазерный луч рассеивается в каждом направление. Как показали Свит, Отт и Йорк, более эффективный метод — направить цветной свет через зазоры. между дисками (или, в данном случае, прикрепите цветные полоски бумаги к парам цилиндров) и рассмотреть отражения через открытый зазор. В результате получается сложный узор из полос чередующегося цвета. показано ниже, более четко видно в смоделированной версии ниже.

На рисунках 5 и 6 показаны зоны притяжения для каждого ударный параметр b , то есть для заданного значения b , через который зазор частица выйдет? образуют Границы бассейна канторово множество и представляют собой члены стабильного многообразия : траектории, которые, однажды начавшись, никогда выйти из системы.

Рис. 5: Экспериментальная система рассеяния Гаспара – Райса, показывающая бассейны притяжения.

Рис. 6: Моделирование системы рассеяния Гаспара – Райса, показывающее бассейны притяжения.

Инвариантное множество и символическая динамика

Рис. 7: Возможные переменные для представления системы Гаспара – Райса в виде итерированной функциональной карты.

Пока она симметрична, мы можем легко думать о системе как о повторяющейся карте функций , обычном методе представления хаотичной, динамической системы. На рисунке 7 показано одно возможное представление переменных: первая переменная $\theta \in [-\pi ,\pi ]$, представляющий угол вокруг диска при отскоке и второй, $\phi \in [-\pi /2,\pi /2]$, представляющий угол удара/отскока относительно диска. Подмножество этих двух переменных, называемое инвариантным набором, будет отображаться само на себя. Это множество, четыре члена которого показаны на рисунках 8 и 9, будет фрактальным , совершенно не притягивающим друг друга. и меры нуль. Это интересная инверсия более обычно обсуждаемых хаотических систем, в которых фрактальный инвариантный набор притягивает и фактически включает бассейн(ы) притяжения. Обратите внимание, что совершенно непритягивающая природа инвариантного множества является еще одним свойством гиперболического хаотического рассеивателя.

Рис. 8: Четыре члена инвариантного множества системы Гаспара – Райса.

Рис. 9: Четыре члена инвариантного набора системы Гаспара – Райса, итерированные вперед во времени.

Каждый член инвариантного набора можно смоделировать с помощью символической динамики : траектория маркируется в зависимости от каждого диска, от которого она отскакивает. Совокупность всех таких последовательностей образует несчетное множество . Для четырех членов, показанных на рисунках 8 и 9, символическая динамика будет следующей:

...121212121212...
...232323232323...
...313131313131...
...123123123123...

Члены стабильного многообразия могут быть представлены аналогичным образом, за исключением того, что каждая последовательность будет иметь начальную точку. Если учесть, что член инвариантного множества должен «вписываться» в границы между двумя бассейнами притяжения, становится очевидным, что в случае возмущения траектория может выйти в любом месте последовательности. Таким образом, также должно быть очевидно, что между любой данной границей будет существовать бесконечное число чередующихся бассейнов всех трех «цветов».

Из-за их нестабильной природы трудно получить прямой доступ к членам инвариантного множества или стабильному многообразию. Показатель неопределенности идеально подходит для измерения фрактальной размерности систем такого типа. Еще раз используя единственный параметр воздействия b , мы проводим несколько испытаний со случайными параметрами воздействия, возмущая их на небольшую величину, $\epsilon$, и посчитаем, как часто меняется количество отскоков от дисков, то есть долю неопределенности. Обратите внимание, что хотя система двумерна, одного прицельного параметра достаточно для измерения фрактальной размерности стабильного многообразия. Это показано на рисунке 10, на котором показаны зоны притяжения, построенные в зависимости от двойного параметра воздействия: $\theta$ и $\phi$. Стабильное многообразие, которое можно увидеть на границах между бассейнами, фрактально только в одном измерении.

Рис. 10: Бассейны притяжения в зависимости от параметров двойного воздействия, $\theta$ и $\phi$.

На рисунке 11 показана доля неопределенности f как функция неопределенности: $\epsilon$ для моделируемой системы Гаспара – Райса. Наклон подобранной кривой возвращает показатель неопределенности, $\gamma =0.380$, таким образом, с учетом ячеек равна размерность стабильного многообразия $D_{0}=N-\gamma =2-0.380=1.62$. Инвариантное множество — это пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий .

Поскольку система одинакова независимо от того, движется ли она вперед или назад, нестабильное многообразие является просто зеркальным отражением стабильного многообразия, и их фрактальные размерности будут равны. На этой основе мы можем вычислить фрактальную размерность инвариантного множества:

$D=D_{s}+D_{u}-N=2D_{s}-N=N-2\gamma$

где D_s и D_u — фрактальные размерности устойчивого и неустойчивого многообразий соответственно, а N =2 — размерность системы. Фрактальная размерность инвариантного множества D =1,24.

Рис. 10: График доли неопределенности системы рассеяния Гаспара-Райса с аппроксимацией прямой линией, дающей показатель неопределенности .

Связь между фрактальной размерностью, скоростью затухания и показателями Ляпунова

Из предыдущего обсуждения должно быть очевидно, что скорость затухания, фрактальная размерность и показатели Ляпунова связаны между собой. Например, большой показатель Ляпунова говорит нам, насколько быстро траектория в инвариантном множестве будет расходиться, если ее возмутить. Точно так же фрактальная размерность даст нам информацию о плотности орбит в инвариантном множестве. Таким образом, мы видим, что и то, и другое повлияет на скорость затухания, как это отражено в следующей гипотезе для двумерной системы рассеяния:

$D_{1}=\left(h_{1}-{\frac {1}{\gamma }}\right)\left({\frac {1}{h_{1}}}-{\frac {1}{h_{2}}}\right)$

где D ₁ — информационная размерность , а h ₁ и h ₂ — малый и большой показатели Ляпунова соответственно. Для аттрактора, $\gamma =\infty$ и это сводится к гипотезе Каплана-Йорка .

См. также

• Озера Вада
• Показатель неопределенности

Внешние ссылки

• Программное обеспечение для моделирования системы Гаспара – Райса.
• Моделирование системы Гаспара-Райса и ее символической динамики из «Хаоса V: Бык Дюэма».