Гипотеза Каплана – Йорка

В прикладной математике гипотеза Каплана-Йорка касается размерности аттрактора с использованием показателей Ляпунова . Расположив показатели Ляпунова в порядке от наибольшего к наименьшему. $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \dots \geq \lambda _{n}$, пусть j — наибольший индекс, для которого

$\sum _{i=1}^{j}\lambda _{i}\geqslant 0$

и

$\sum _{i=1}^{j+1}\lambda _{i}<0.$

Тогда гипотеза состоит в том, что размерность аттрактора равна

$D=j+{\frac {\sum _{i=1}^{j}\lambda _{i}}{|\lambda _{j+1}|}}.$

Эта идея используется для определения размерности Ляпунова .

Примеры

Гипотеза Каплана – Йорка является полезным инструментом для оценки фрактальной размерности , особенно для хаотических систем. и хаусдорфова размерность соответствующего аттрактора.

• с Отображение Энона параметрами a = 1,4 и b = 0,3 имеет упорядоченные показатели Ляпунова $\lambda _{1}=0.603$ и $\lambda _{2}=-2.34$. В этом случае находим j = 1 и формула размерности сводится к

$D=j+{\frac {\lambda _{1}}{|\lambda _{2}|}}=1+{\frac {0.603}{|{-2.34}|}}=1.26.$

• Система Лоренца демонстрирует хаотическое поведение при значениях параметров $\sigma =16$, $\rho =45.92$ и $\beta =4.0$. Полученные показатели Ляпунова равны {2,16, 0,00, −32,4}. Учитывая, что j = 2, находим

$D=2+{\frac {2.16+0.00}{|-32.4|}}=2.07.$