Ляпуновское измерение

В математике динамических систем понятие размерности Ляпунова было предложено Капланом и Йорком. для оценки размерности аттракторов хаусдорфовой . В дальнейшем концепция получила развитие и строгое обоснование в ряде работ, и в настоящее время используются различные подходы к определению размерности Ляпунова. Заметим, что аттракторы с нецелой хаусдорфовой размерностью называются странными аттракторами . Поскольку прямое численное вычисление хаусдорфовой размерности аттракторов часто представляет собой задачу высокой численной сложности, широкое распространение получили оценки через размерность Ляпунова.Размерность Ляпунова получила название в честь русского математика Александра Ляпунова из-за тесной связи с показателями Ляпунова .

Определения

Рассмотрим динамическую систему ${\big (}\{\varphi ^{t}\}_{t\geq 0},(U\subseteq \mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|){\big )}$, где $\varphi ^{t}$ – оператор сдвига вдоль решений: $\varphi ^{t}(u_{0})=u(t,u_{0})$,ОДУ ​ ${\dot {u}}=f({u})$, $t\leq 0$, или разностное уравнение ${u}(t+1)=f({u}(t))$, $t=0,1,...$,с непрерывно дифференцируемой вектор-функцией $f$.Затем $D\varphi ^{t}(u)$ – фундаментальная матрица решений линеаризованной системыи обозначим через $\sigma _{i}(t,u)=\sigma _{i}(D\varphi ^{t}(u)),\ i=1...n$, сингулярные значения относительно их алгебраической кратности ,упорядочены по убыванию для любого $u$ и $t$.

Определение через размерность Ляпунова за конечное время

Понятие конечновременной ляпуновской размерности и связанное с ней определение ляпуновской размерности, развитое в работах Н. Кузнецова , удобен для численных экспериментов, где можно наблюдать только конечное время.Рассмотрим аналог формулы Каплана–Йорка для показателей Ляпунова за конечное время:

$d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n})=j(t,u)+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(t,u)+\cdots +{\rm {LE}}_{j(t,u)}(t,u)}{|{\rm {LE}}_{j(t,u)+1}(t,u)|}},$

$j(t,u)=\max\{m:\sum _{i=1}^{m}{\rm {LE}}_{i}(t,u)\geq 0\},$

относительно упорядоченного набора показателей Ляпунова за конечное время $\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}=\{{\frac {1}{t}}\ln \sigma _{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}$ в точку $u$. Ляпуновская размерность динамической системы за конечное время относительнок инвариантному множеству $K$определяется следующим образом

$\dim _{\rm {L}}(t,K)=\sup \limits _{u\in K}d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}).$

В этом подходе используется аналог формулы Каплана–Йоркастрого подтверждается теоремой Дуади–Эстерле, что доказывает, что для любого фиксированного $t>0$ ляпуновская размерность конечного времени для замкнутого ограниченного инвариантного множества $K$— верхняя оценка размерности Хаусдорфа:

$\dim _{\rm {H}}K\leq \dim _{\rm {L}}(t,K).$

Ищем лучшую такую ​​оценку $\inf _{t>0}\dim _{\rm {L}}(t,K)=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u)$, размерность Ляпунова определяется следующим образом:

$\dim _{\rm {L}}K=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u).$

Возможности изменения порядка ограничения времени и супремума по множеству обсуждаются, например, в .

Заметим, что определенная выше ляпуновская размерность инвариантна относительно липшицевых диффеоморфизмов .

Точная размерность Ляпунова

Пусть матрица Якобиана $Df(u_{\text{eq}})$ в одном из состояний равновесия имеют простые действительные собственные значения: $\{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n},\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\geq \lambda _{i+1}(u_{\text{eq}})$,затем

$\dim _{\rm {L}}u_{\text{eq}}=d_{\rm {KY}}(\{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n}).$

Если в точке равновесия достигается супремум локальных ляпуновских размерностей на глобальном аттракторе, включающем в себя все состояния равновесия, то это позволяет получить аналитическую формулу точной ляпуновской размерности глобального аттрактора (см. соответствующую гипотезу Идена ).

Определение с помощью подхода статистической физики и эргодичности

Следуя подходу статистической физики и предполагая эргодичность оценена ляпуновская размерность аттрактора к предельное значение локальной размерности Ляпунова $\lim _{t\to +\infty }\dim _{\rm {L}}(t,u_{0})$ типичной . траектории, принадлежащей аттрактору В этом случае $\{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}$ и $\dim _{\rm {L}}u_{0}=d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{i=1}^{n})=j(u_{0})+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(u_{0})+\cdots +{\rm {LE}}_{j(u_{0})}(u_{0})}{|{\rm {LE}}_{j(u_{0})+1}(u_{0})|}}$.С практической точки зрения строгое использование эргодической теоремы Оселедекапроверка того, что рассматриваемая траектория $u(t,u_{0})$ это типичная траектория, и использование соответствующей формулы Каплана–Йорка является сложной задачей(см., например, обсуждения в ). Точные предельные значения показателей Ляпунова за конечное время:если они существуют и одинаковы для всех $u_{0}\in U$,называются абсолютными ​ $\{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}\equiv \{{\rm {LE}}_{i}\}_{1}^{n}$ и используется в формуле Каплана-Йорка .Примеры строгого использования эргодической теории для вычисления показателей Ляпунова и размерности можно найти в.