Хорошо поставленная задача

В математике корректной является задача , для которой выполняются следующие свойства:

1. У проблемы есть решение
2. Решение уникально
3. Поведение решения постоянно меняется в зависимости от начальных условий.

Примеры архетипических корректных задач включают задачу Дирихле для уравнения Лапласа и уравнение теплопроводности с заданными начальными условиями. Их можно рассматривать как «естественные» проблемы, поскольку существуют физические процессы, моделируемые этими проблемами.

Проблемы, которые не являются корректными в указанном выше смысле, называются некорректными . Обратные задачи часто бывают некорректными; например, обратное уравнение теплопроводности, выводящее предыдущее распределение температуры из окончательных данных, не является корректным, поскольку решение очень чувствительно к изменениям окончательных данных.

Модели континуума часто необходимо дискретизировать , чтобы получить численное решение. Хотя решения могут быть непрерывными по отношению к начальным условиям, они могут страдать от численной нестабильности при решении с конечной точностью или с ошибками в данных.

Кондиционирование

Даже если задача корректна, она все равно может быть плохо обусловленной , то есть небольшая ошибка в исходных данных может привести к гораздо большим ошибкам в ответах. Проблемы нелинейных сложных систем (так называемых хаотических систем) представляют собой хорошо известные примеры неустойчивости. Плохо обусловленная проблема обозначается большим номером обусловленности .

Если задача корректна, то у нее есть хорошие шансы на решение на компьютере с использованием стабильного алгоритма . Если оно некорректно, его необходимо переформулировать для численной обработки. Обычно это предполагает включение дополнительных предположений, таких как гладкость решения. Этот процесс известен как регуляризация . Регуляризация Тихонова — одна из наиболее часто используемых для регуляризации линейных некорректных задач.

Энергетический метод

Энергетический метод полезен для установления как единственности, так и непрерывности по отношению к начальным условиям (т.е. он не устанавливает существование).Метод основан на получении верхней оценки энергоподобного функционала для заданной задачи.

Пример :Рассмотрим уравнение диффузии на единичном интервале с однородными граничными условиями Дирихле и подходящими начальными данными $f(x)$ (например, для чего $f(0)=f(1)=0$).

$${\begin{aligned}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{aligned}}$$

Умножьте уравнение $u_{t}=Du_{xx}$ к $u$ и проинтегрируем в пространстве по единичному интервалу, чтобы получить

$${\begin{aligned}&&\int _{0}^{1}uu_{t}dx&=D\int _{0}^{1}uu_{xx}dx\\\Longrightarrow &&\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\partial _{t}u^{2}dx&=Duu_{x}{\Big |}_{0}^{1}-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\\\Longrightarrow &&{\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}&=0-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\leq 0\end{aligned}}$$

Это говорит нам о том, что $\|u\|_{2}$ ( p-норма ) не может расти во времени.Умножая на два и интегрируя по времени, из $0$ до $t$, можно найти

$$\|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}$$

Этот результат представляет собой оценку энергии для этой задачи.

Чтобы показать уникальность решений, предположим, что существует два различных решения проблемы, назовем их $u$ и $v$, каждый из которых удовлетворяет одним и тем же начальным данным. После определения $w=u-v$ тогда, исходя из линейности уравнений, находим, что $w$ удовлетворяет

$${\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}$$

Применение оценки энергии говорит нам $\|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0$ что подразумевает $u=v$ ( почти везде ).

Аналогично, чтобы показать непрерывность относительно начальных условий, предположим, что $u$ и $v$ являются решениями, соответствующими различным начальным данным $u(x,0)=f(x)$ и $v(x,0)=g(x)$.Учитывая $w=u-v$ еще раз обнаруживаешь, что $w$ удовлетворяет тем же уравнениям, что и выше, но с $w(x,0)=f(x)-g(x)$. Это приводит к оценке энергии $\|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}$ который устанавливает непрерывность (т.е. как $f$ и $g$ стать ближе, если судить по $L^{2}$ норма их разницы, то $\|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0$).

Принцип максимума — это альтернативный подход к установлению единственности и непрерывности решений относительно начальных условий для этого примера.Существование решения этой задачи можно установить с помощью рядов Фурье .

См. также

• Спектроскопия полного поглощения - пример обратной задачи или некорректной задачи в реальной ситуации, решаемой с помощью алгоритма ожидания-максимизации.

Ссылки

• Адамар, Жак (1902). О задачах в частных производных и их физическом значении . Бюллетень Принстонского университета. стр. 49–52.
• Паркер, Сибил Б., изд. (1989) [1974]. Словарь научных и технических терминов МакГроу-Хилла (4-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-045270-9 .
• Тихонов А.Н.; Арсенин В.Ю. (1977). Решения некорректных задач . Нью-Йорк: Уинстон. ISBN  0-470-99124-0 .
• Штраус, Вальтер А. (2008). Уравнения в частных производных; Введение (2-е изд.). Хобокен: Уайли. ISBN  978-0470-05456-7 .