Разветвленный коллектор

В математике — разветвленное многообразие это обобщение дифференцируемого многообразия , которое может иметь особенности очень ограниченного типа и допускает четко определенное касательное пространство в каждой точке. Разветвленное n -многообразие покрывается n -мерными «координатными картами», каждая из которых включает в себя одну или несколько «ветвей», гомеоморфно проектирующихся в один и тот же дифференцируемый n -диск в R. ^н. Разветвленные многообразия впервые появились в теории динамических систем в связи с одномерными гиперболическими аттракторами, построенными Смейлом , и были формализованы Р. Ф. Уильямсом в серии статей о расширяющихся аттракторах. Особые случаи малых размерностей известны как железнодорожные пути ( n = 1) и разветвленные поверхности ( n = 2) и играют заметную роль в геометрии трехмерных многообразий после Терстона .

Определение

Пусть K — метризуемое пространство вместе с:

совокупность Ui _} замкнутых подмножеств K { ;
для каждого U _i конечный набор { D _ij } замкнутых подмножеств U _i ;
для каждого i отображение π _i : U _i → D _i^н к замкнутому n -диску класса C ^к в Р ^н.

Эти данные должны удовлетворять следующим требованиям:

∪ _j D _{ij знак} равно U _i и ∪ _i Int U _i = K ;
ограничение π _i на D _ij является гомеоморфизмом на его образ π _i ( D _ij ), который является замкнутым классом C ^к n -диск относительно границы D _i^н;
существует коцикл диффеоморфизмов { α _lm } класса C ^к ( k ≥ 1) такое, что π _l = α _lm · π _m, если оно определено. Область определения α _lm равна π _m ( U _l ∩ U _m ).

Тогда пространство K является разветвленным n -многообразием класса C ^к.

Стандартный аппарат дифференциальной топологии может быть адаптирован к случаю разветвленных многообразий. Это приводит к определению касательного пространства T _p K к разветвленному n -многообразию K в данной точке p , которое является n -мерным вещественным векторным пространством ; естественное понятие C ^к дифференцируемое отображение f : K → L между разветвленными многообразиями, его df : T p _K → T f _{( p ) L} , росток f в дифференциал точке p , пространства струй и другие связанные понятия.

Примеры

Внешне разветвленные n- многообразия представляют собой n -мерные комплексы, вложенные в некоторое евклидово пространство , где каждая точка имеет четко определенное n -мерное касательное пространство.

Конечный граф дуги , ребра которого представляют собой гладко вложенные в поверхность , такие, что все ребра, инцидентные данной вершине v, имеют одну и ту же касательную в точке v , представляет собой разветвленное одномногообразие или железнодорожный путь (существует несколько вариантов понятия железнодорожный путь — здесь нет ограничений на валентности вершин). В качестве конкретного примера рассмотрим «восьмерку», образованную двумя касающимися снаружи окружностями на плоскости.
Двукомплекс в R ³ состоящая из нескольких листов, которые могут сходиться попарно по касательной вдоль некоторых двойных кривых или сходиться в тройки в изолированных особых точках, где эти двойные кривые трансверсально пересекаются, представляет собой разветвленное двумерное многообразие, или разветвленную поверхность . Например, рассмотрим пространство K , полученное из трех копий евклидовой плоскости, помеченных T (вверху), M (в середине) и B (внизу), путем идентификации полуплоскостей y ≤ 0 в T и M и полуплоскостей x. в M и B. ≤ 0 Можно представить, что M — это плоская координатная плоскость z=0 в R. ³, T - лист, скручивающийся вверх от M вдоль оси x вправо (положительное направление y ), а B - другой лист, скручивающийся вниз от M вдоль оси y спереди (положительное направление x ). Координатные оси в плоскости M представляют собой двойные кривые K , которые трансверсально пересекаются в единственной тройной точке (0,0).

Ссылки

Роберт Ф. Уильямс, Расширяющиеся аттракторы , Опубл. Математика. ИХЭС, т. 1, с. 43 (1974), с. 169–203