С начала 1980-х годов струйные пучки появились как краткий способ описания явлений, связанных с производными карт, особенно тех, которые связаны с вариационным исчислением . [1] Следовательно, расслоение струй теперь признано правильной областью для геометрической ковариантной теории поля , и большая работа проделана в области общерелятивистских формулировок полей с использованием этого подхода.
Предположим, что M — m -мерное многообразие и что ( E , π, M ) — расслоение . Для p ∈ M пусть Γ(p) обозначает множество всех локальных сечений, область определения которых содержит p . Пусть быть мультииндексом ( набор m неотрицательных целых чисел, не обязательно в порядке возрастания), затем определите:
Определим локальные сечения σ, η ∈ Γ(p) так, чтобы они имели одну и ту же r -струю в точке p, если
Отношение того, что два отображения имеют одну и ту же r -струю, является отношением эквивалентности . r - джет является классом эквивалентности по этому отношению, а r -джет с представителем σ обозначается . Целое число r также называется порядком струи, p — ее источник , а σ( p ) — ее цель .
Мы можем определить проекции π r и π r ,0, называемые исходной и целевой проекциями соответственно, следующим образом:
Если 1 ⩽ k ⩽ r , то проекция k -струи — это функция π r,k, определенная формулой
Из этого определения ясно, что π r = π o π r ,0 и что если 0 ⩽ m ⩽ k , то π r,m = π k,m o π r,k . Традиционно π r,r рассматривают как тождественное отображение на J р ( π ) и идентифицировать J 0 ( π ) с E .
Система координат на E создаст систему координат на J. р ( π ). Пусть ( U , u ) — адаптированная координатная карта на E , где u = ( x я , в а ). Индуцированная координатная карта ( U р , в р ) это Дж р ( π ) определяется формулой
где
и функции, известные как производные координаты :
Учитывая атлас адаптированных карт ( U , u ) на E , соответствующий набор карт ( U р , в р ) является конечномерным C ∞ атлас на J р ( п ).
Поскольку атлас на каждом определяет многообразие, тройки , и все определяют расслоенные многообразия. В частности, если представляет собой расслоение, тройка определяет r -е струйное расслоение π .
Если W ⊂ M — открытое подмногообразие, то
Если p ∈ M , то слой обозначается .
локальное сечение π с областью определения W ⊂ M. Пусть σ — r - е струйное продолжение σ — это отображение определяется
Обратите внимание, что , так действительно это раздел. В местных координатах дается
Самостоятельно мотивированное построение пучка секций. дано .
Рассмотрим диагональную карту , где гладкое многообразие является окольцованным пространством локально за каждое открытие . Позволять быть идеальным снопом , эквивалентно, пусть быть пучком гладких зародышей , которые исчезают на для всех . Откат факторпучка от к к представляет собой пучок k-струй. [2]
Прямой предел последовательности инъекций, заданной каноническими включениями пучков, порождает бесконечный реактивный сноп . Заметим, что по конструкции прямого предела это фильтруемое кольцо.
Если π — тривиальное расслоение ( M × R , pr 1 , M ), то существует канонический диффеоморфизм между первым струйным расслоением и Т* × Р. М Чтобы построить этот диффеоморфизм, для каждого σ в писать .
Тогда всякий раз, когда p ∈ M
Следовательно, отображение
четко определен и явно инъективен . Запись его в координатах показывает, что это диффеоморфизм, поскольку если (x я , u) — координаты на M × R , где u = id R — единичная координата, то производные координаты u i на J 1 (π) соответствуют координатам ∂i на T*M .
Аналогично, если π — тривиальное расслоение ( R × M , pr 1 , R ), то существует канонический диффеоморфизм между и R × TM .
Пространство Дж р (π) несет естественное распределение , т. е. подрасслоение касательного расслоения TJ р (π)), называемое распределением Картана . Распределение Картана натянуто всеми касательными плоскостями к графикам голономных сечений; то есть сечения вида j р φ для φ — сечение π.
Аннулятор распределения Картана — это пространство дифференциальных одноформ, называемых контактными формами , на J р (π). Пространство дифференциальных одноформ на J р (π) обозначается а пространство контактных форм обозначим через . Единичная форма является контактной формой при условии, что ее откат вдоль каждого продолжения равен нулю. Другими словами, является контактной формой тогда и только тогда, когда
для всех локальных сечений σ точки π над M .
Распределение Картана является основной геометрической структурой в пространствах джетов и играет важную роль в геометрической теории уравнений в частных производных . Распределения Картана совершенно неинтегрируемы. В частности, они не инволютивны . Размерность распределения Картана растет с увеличением порядка струйного пространства. Однако в пространстве бесконечных струй J ∞ распределение Картана становится инволютивным и конечномерным: его размерность совпадает с размерностью базового многообразия M .
Рассмотрим случай (E, π, M) , где E ≃ R 2 и М ≃ Р. Тогда (Дж. 1 (π), π, M) определяет первый пучок струй и может координироваться с помощью (x, u, u 1 ) , где
для всех p ∈ M и σ в Γ p (π). Общая 1-форма на J 1 (π) принимает вид
Сечение σ в Γ p (π) имеет первое продолжение
Следовательно, (j 1 σ)*θ можно вычислить как
Это будет равно нулю для всех участков σ тогда и только тогда, когда c = 0 и a = − bσ′(x) . Следовательно, θ = b(x, u, u 1 )θ 0 обязательно должно быть кратным основной контактной форме θ 0 = du − u 1 dx . Переход во второе реактивное пространство J 2 (π) с дополнительной координатой u 2 , такой, что
общая 1-форма имеет конструкцию
Это контактная форма тогда и только тогда, когда
откуда следует, что e = 0 и a = − bσ′(x) − cσ′′(x) . Следовательно, θ является контактной формой тогда и только тогда, когда
где θ 1 = du 1 − u 2 dx — следующая базовая форма контакта (обратите внимание, что здесь мы отождествляем форму θ 0 с ее обратным ходом к Дж 2 (п) ).
В общем случае, если x, u ∈ R , контактная форма на J г+1 (π) можно записать как линейную комбинацию основных форм контакта
где
Подобные рассуждения приводят к полной характеристике всех контактных форм.
В локальных координатах каждый контакт одноформен на J г+1 (π) можно записать в виде линейной комбинации
с гладкими коэффициентами основных контактных форм
|Я| известен как заказ контактной формы . Обратите внимание, что контактные формы на J г+1 (π) имеют порядок не более r . Контактные формы дают характеристику тех локальных сечений π r+1 , которые являются продолжениями сечений π.
Пусть ψ ∈ Γ W ( π r+1 ), тогда ψ = j г+1 σ, где σ ∈ Γ W (π), тогда и только тогда, когда
Пусть (E, π, M) — расслоение. Уравнение r -го порядка в частных производных на π — это замкнутое вложенное подмногообразие S струйного многообразия J р (п) . Решением является локальное сечение σ ∈ Γ W (π), удовлетворяющее , для всех p в M .
Рассмотрим пример уравнения в частных производных первого порядка.
Пусть π — тривиальное расслоение ( R 2 × Р , пр 1 , Р 2 ) с глобальными координатами ( x 1 , х 2 , в 1 ). Тогда отображение F : J 1 (π) → R, определенный формулой
приводит к дифференциальному уравнению
который можно написать
Конкретный
имеет первое продолжение, заданное формулой
и является решением этого дифференциального уравнения, поскольку
Локальный диффеоморфизм ψ : J р ( п ) → Дж р ( π ) определяет контактное преобразование порядка r , если оно сохраняет контактный идеал, а это означает, что если θ является любой контактной формой на J р ( π ), то ψ*θ также является контактной формой.
Поток, порождаемый векторным полем V р на реактивном пространстве J р (π) образует однопараметрическую группу контактных преобразований тогда и только тогда, когда производная Ли любой контактной формы θ сохраняет контактный идеал.
Начнем со случая первого порядка. Рассмотрим общее векторное поле V 1 это Дж 1 ( π ), заданный формулой
Теперь мы применяем к основным контактным формам и разложим внешнюю производную функций по их координатам, чтобы получить:
Следовательно, В 1 определяет контактное преобразование тогда и только тогда, когда коэффициенты при dx я и в формуле исчезают. Последние требования подразумевают условия контакта
Первые требования дают явные формулы для коэффициентов членов первой производной в V 1 :
где
обозначает усечение нулевого порядка полной производной D i .
Таким образом, условия контакта однозначно предписывают продолжение любой точки или контактного векторного поля. То есть, если удовлетворяет этим уравнениям, V р называется r -м продолжением V до векторного поля на J р (п) .
Эти результаты лучше всего понятны применительно к конкретному примеру. Поэтому давайте рассмотрим следующее.
Рассмотрим случай (E, π, M) , где E ≅ R 2 и М ≃ Р. Тогда (Дж. 1 (π), π, E) определяет первый пучок струй и может координироваться с помощью (x, u, u 1 ) , где
для всех p ∈ M и σ в Γ p ( π ). Контактная форма на J 1 (π) имеет вид
Рассмотрим вектор V на E , имеющий вид
Тогда первое продолжение этого векторного поля на J 1 (π) есть
Если теперь мы возьмем производную Ли контактной формы по этому продолженному векторному полю, мы получаем
Следовательно, для сохранения контактного идеала потребуем
Итак, первое продолжение V до векторного поля на J 1 (π) есть
Вычислим также второе продолжение V до векторного поля на J 2 (π) . У нас есть как координаты на J 2 (π) . Следовательно, продленный вектор имеет вид
Контактные формы
Для сохранения контактного идеала потребуем
Теперь θ не имеет u2 зависимости от . Следовательно, из этого уравнения мы подберем формулу для ρ , которая обязательно будет тем же результатом, что мы нашли для V 1 . Следовательно, задача аналогична продолжению векторного поля V 1 к Дж 2 (π). Другими словами, мы можем сгенерировать r -е продолжение векторного поля, рекурсивно применяя производную Ли контактных форм по отношению к продолженным векторным полям r раз. Итак, у нас есть
и так
Поэтому производная Ли второй контактной формы по V 2 является
Следовательно, для для сохранения контактного идеала нам потребуется
Итак, второе продолжение V до векторного поля на J 2 (π) есть
Обратите внимание, что первое продолжение V можно восстановить, опуская члены второй производной в V. 2 , или проецируя обратно на J 1 (п) .
Обратный предел последовательности проекций порождает бесконечное струйное пространство J ∞ (π) . В точку — класс эквивалентности сечений π, которые имеют ту же k -струю в p, что и σ, для всех значений k . Естественная проекция π ∞ отображает в п .
Просто думая в терминах координат, Дж. ∞ (π) кажется бесконечномерным геометрическим объектом. Фактически, самый простой способ введения дифференцируемой структуры на J ∞ (π) , не опираясь на дифференцируемые карты, задается дифференциальным исчислением над коммутативными алгебрами . Двойственно последовательности проекций многообразий – это последовательность инъекций коммутативных алгебр. Обозначим просто . Возьмите теперь прямой предел принадлежащий х. Это будет коммутативная алгебра, которую можно считать алгеброй гладких функций над геометрическим объектом J ∞ (π) . Обратите внимание, что , рожденная как прямой предел, несет в себе дополнительную структуру: это фильтрованная коммутативная алгебра.
Грубо говоря, конкретный элемент всегда будет принадлежать какому-то , поэтому это гладкая функция на конечномерном многообразии J к (π) в обычном смысле.
Для k системы УЧП -го порядка E ⊆ J к (π) , совокупность I(E) исчезающих на E гладких функций на J ∞ (π) — идеал в алгебре , и, следовательно, в прямом пределе слишком.
Улучшите I(E), добавив все возможные композиции полных производных, примененных ко всем его элементам. мы получаем новый идеал Я Таким образом , который теперь замкнут при операции взятия полной производной. Подмногообразие E (∞) в J ∞ вырезанный I, называется бесконечным продолжением E (π) , .
Геометрически E (∞) это многообразие формальных решений E . — точка легко видеть , что E (∞) представлено сечением σ, график k -джета которого касается E в точке со сколь угодно высоким порядком касания.
Аналитически, если E задается формулой φ = 0, формальное решение можно понимать как набор коэффициентов Тейлора сечения σ в точке p , которые обращают в нуль ряд Тейлора в точке п .
Самое главное, что свойства замыкания I подразумевают, что E (∞) касается контактной структуры бесконечного порядка . это Дж ∞ (π) , так что, ограничив к E (∞) получаем разность , и может изучить связанную с ней последовательность Виноградова (C-спектральную) .
В этой статье определены струи локальных сечений расслоения, но можно определить струи функций f: M → N , где M и N — многообразия; тогда струя f просто соответствует струе сечения
гр ж : М → М × N
gr f (p) = (p, f(p))
( gr f известен как график функции f ) тривиального расслоения ( M × N , π 1 , M ). Однако это ограничение не упрощает теорию, поскольку из глобальной тривиальности π не следует глобальная тривиальность π 1 .
Эресманн, К., «Введение в теорию бесконечно малых структур и псевдогрупп Ли». Дифференциальная геометрия, Коллок. Интер. Центра Нац. научных исследований, Страсбург, 1953, 97–127.
Сондерс, ди-джей, «Геометрия пучков струй», Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
Красильщик И.С., Виноградов А.М. [и др.], "Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики", Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1999 г., ISBN 0-8218-0958-X .
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: 3553475f0db9b2d9296ef33b664809fb__1692278940 URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/35/fb/3553475f0db9b2d9296ef33b664809fb.html Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Jet bundle - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)