Двойной группоид

В математике , особенно в многомерной алгебре и теории гомотопий , двойной группоид обобщает понятие группоида и категории до более высокого измерения.

Определение

Двойной группоид D более высокой размерности — это группоид , включающий отношения как для «горизонтальных», так и для «вертикальных» группоидных структур. (Двойной группоид также можно рассматривать как обобщение некоторых многомерных групп. ) Геометрия квадратов и их композиции приводят к распространенному представлению двойного группоида на следующей схеме :

где M — набор «точек», H и V — соответственно «горизонтальные» и «вертикальные» группоиды, а S — набор «квадратов» с двумя композициями. Законы композиции двойного группоида D делают его также описываемым как группоид, внутренний по отношению к категории группоидов .

Для двух группоидов H и V над множеством M существует двойной группоид $\Box (H,V)$ с H, V как горизонтальными и вертикальными реберными группоидами, а квадраты заданы четверками

${\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v'\\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}$

для которого всегда предполагается, что h, h' находятся в H , а v, v' находятся в V , и что начальная и конечная точки этих ребер совпадают в M, как следует из обозначений; то есть, например, sh = sv, th = sv', ... и т. д. Композиции должны быть унаследованы от композиций H,V ; то есть:

${\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v'\\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}\circ _{1}{\begin{pmatrix}&h'&\\[-0.9ex]w&&w'\\[-0.9ex]&h''&\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]vw&&v'w'\\[-0.9ex]&h''&\end{pmatrix}}$

и

${\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v'\\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}\circ _{2}{\begin{pmatrix}&k&\\[-0.9ex]v'&&v''\\[-0.9ex]&k'&\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}&hk&\\[-0.9ex]v&&v''\\[-0.9ex]&h'k'&\end{pmatrix}}$

Эта конструкция является правым сопряжением функтора забвения, который переводит двойной группоид, как указано выше, в пару группоидов H,V над M .

Другими родственными конструкциями являются конструкции двойного группоида со связностью. и гомотопические двойные группоиды. Гомотопический двойной группоид пары точечных пространств является ключевым элементом доказательства двумерной теоремы Зейферта-ван Кампена, впервые доказанной Брауном и Хиггинсом в 1978 году: и получил подробное рассмотрение в книге.

Примеры

Простой класс примеров можно составить, рассматривая скрещенные модули или, что то же самое, данные морфизма групп.

$[G_{1}\xrightarrow {\phi } G_{0}]$

который имеет эквивалентное описание как группоид, внутренний по отношению к категории групп.

$s,t:G_{0}\times G_{1}\to G_{0}$

где

${\begin{matrix}s(g_{0},g_{1})=g_{0}&t(g_{0},g_{1})=\phi (g_{1})g_{0}\end{matrix}}$

являются структурными морфизмами этого группоида. Поскольку группы встраиваются в категорию группоидов, отправляющих группу $G$ в категорию ${\textbf {B}}G$ с одним объектом и морфизмами, дающими группу $G$, структура выше дает двойной группоид. Приведем явный пример: из расширения группы

$1\to \mathbb {Z} _{4}\to Q_{8}\to \mathbb {Z} _{2}\to 1$

и встраивание $\mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{4}$, существует ассоциированный двойной группоид из двухчленного комплекса групп

$Q_{8}\to \mathbb {Z} _{4}$

с ядром есть $\mathbb {Z} _{4}$ и коядро определяется выражением $\mathbb {Z} _{2}$. Это дает связанный гомотопический тип $X$ с

$\pi _{1}(X)=\mathbb {Z} _{2}$ и $\pi _{2}(X)=\mathbb {Z} _{4}$

Его постниковский инвариант можно определить по классу $Q_{8}\to \mathbb {Z} _{4}$ в групповых когомологий группе $H^{3}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2$. Поскольку это не тривиальный скрещенный модуль, его инвариант Постникова равен $1$, дающий гомотопический тип, который не эквивалентен геометрической реализации симплициальной абелевой группы .

Гомотопический двойной группоид

Обобщение фундаментального группоида на множестве базовых точек на размерность 2 было дано Брауном и Хиггинсом в 1978 году следующим образом. Позволять $(X,A,C)$ быть тройкой пространств, т.е. $C\subseteq A\subseteq X$. Определять $\rho (X,A,C)$ быть множеством гомотопических классов rel вершин отображений квадрата в X, которые переводят ребра в A , а вершины в C . Не совсем тривиально доказать, что естественные композиции таких квадратов в двух направлениях наследуются этими гомотопическими классами, образуя двойной группоид, который также имеет дополнительную структуру так называемых связей, необходимую для обсуждения идеи коммутативного куба в двойной группоид. Этот двойной группоид существенно используется для доказательства двумерной теоремы Зейферта-ван Кампена, которая дает новую информацию и вычисления для вторых относительных гомотопических групп как части скрещенного модуля. Для получения дополнительной информации см. Часть I книги Брауна , Хиггинса и Сиверы, указанной ниже.

Категория двойного группоида

Категория , объектами которой являются двойные группоиды и чьи морфизмы являются гомоморфизмами двойной группоидной диаграммы ( D ), двойных группоидов, которые являются функторами называется категорией двойных группоидов или категорией двойных группоидов .

См. также

• 2-группа
• Скрещенный модуль
• N-группа (теория категорий)
• ∞-группоид

Примечания

Эта статья включает в себя материалы из алгебры высших измерений на платформе PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Ссылки

• Браун, Рональд и С.Б. Спенсер: « Двойные группоиды и скрещенные модули », Cahiers Top. Геом. Диф. . 17 (1976), 343–362.
• Браун Р., Харди К., Кампс Х. и Т. Портер: 2002, «Гомотопический двойной группоид хаусдорфова пространства», Теория и приложения категорий: 10,71–93.
• Браун, Рональд, 1987, « От групп к группоидам: краткий обзор », Bull. Лондонская математика. Соц. 19 : 113–34. Обзор истории группоидов до 1987 года, начиная с работы Брандта по квадратичным формам. В загружаемой версии обновляются многие ссылки.
• Браун, Рональд, 2006. Топология и группоиды. Книжный всплеск. Переработанное и расширенное издание книги, ранее опубликованной в 1968 и 1988 годах. Группоиды представлены в контексте их топологического применения.
• Браун, Рональд, Теория групп многомерности . Объясняет, как концепция группоида привела к появлению многомерных гомотопических группоидов, имеющих приложения в теории гомотопий групп и когомологиях .
• Ф. Борсо, Г. Джанелидзе, 2001, Теории Галуа. Кембриджский университет. Нажимать. Показывает, как обобщения теории Галуа приводят к группоидам Галуа .
• Каннас да Силва, А. и А. Вайнштейн , Геометрические модели для некоммутативных алгебр. Особенно Часть VI.
• Голубицкий, М. , Ян Стюарт , 2006, « Нелинейная динамика сетей: группоидный формализм », Bull. амер. Математика. Соц. 43 : 305–64
• Хиггинс, П.Дж., «Фундаментальный группоид графа групп », J. London Math. Соц. (2) 13 (1976) 145–149.
• Хиггинс П.Дж. и Тейлор Дж. «Фундаментальный группоид и гомотопический скрещенный комплекс орбитального пространства », в теории категорий (Гуммерсбах, 1981), Конспекты лекций по математике, том 962. Springer, Berlin (1982), 115. –122.
• Хиггинс, П.Дж., 1971. Категории и группоиды. Ван Ностранд Заметки по математике. Переиздано в «Reprints in Theory and Applications of Category» , № 7 (2005), стр. 1–195; свободно загружаемый . Существенное введение в теорию категорий с особым акцентом на группоиды. Представлены приложения группоидов в теории групп, например, для обобщения теоремы Грушко , и в топологии, например, фундаментальный группоид .
• Вайнштейн, Алан, « Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии – экскурсия по некоторым примерам ». Также доступно в Postscript. , Уведомления AMS, июль 1996 г., стр. 744–752.