Откат (когомологии)

В алгебраической топологии , учитывая непрерывное отображение f : X → Y топологических пространств и кольцо R , обратный образ вдоль f -алгебры , сохраняющий степень в теории когомологий представляет собой гомоморфизм R :

$f^{*}:H^{*}(Y;R)\to H^{*}(X;R)$

из когомологий Y X с коэффициентами из R в кольцо кольца . Использование верхнего индекса призвано указать на его контрвариантный характер: он меняет направление карты. Например, если X , Y — многообразия, R — поле действительных чисел, а когомологии — это когомологии де Рама , то обратный образ индуцируется обратным образом дифференциальных форм .

Гомотопическая инвариантность когомологий утверждает, что если два отображения f , g : X → Y гомотопны друг другу, то они определяют один и тот же обратный образ: f ^* = г ^* .

Напротив, продвижение когомологий де Рама, например, дается интегрированием вдоль слоев .

Определение из цепных комплексов

Сначала мы рассмотрим определение когомологий, двойственных цепному комплексу. Пусть R — коммутативное кольцо, C — цепной комплекс R -модулей и G — R -модуль. Так же, как можно $H_{*}(C;G)=H_{*}(C\otimes _{R}G)$, можно

$H^{*}(C;G)=H^{*}(\operatorname {Hom} _{R}(C,G))$

где Hom — это частный случай Hom между цепным комплексом и коцепным комплексом, при этом G рассматривается как коцепной комплекс, сконцентрированный в нулевой степени. (Чтобы сделать это строгим, нужно выбирать знаки аналогично знакам в тензорном произведении комплексов .) Например, если C — сингулярный цепной комплекс, ассоциированный с топологическим пространством X , то это определение сингулярные когомологии X с коэффициентами из G .

Пусть теперь f : C → C ' — отображение цепных комплексов (например, оно может быть индуцировано непрерывным отображением между топологическими пространствами). Тогда есть

$f^{*}:\operatorname {Hom} _{R}(C',G)\to \operatorname {Hom} _{R}(C,G)$

что, в свою очередь, определяет

$f^{*}:H^{*}(C';G)\to H^{*}(C;G).$

Если C , C ' — сингулярные цепные комплексы пространств X , Y , то это обратный путь к теории сингулярных когомологий.

Ссылки

• Дж. П. Мэй (1999), Краткий курс алгебраической топологии .
• S. P. Novikov (1996), Topology I - General Survey .