этап (алгебра)

В теории поля , разделе математики , Stufe (/ ʃtuːfə /; немецкий: уровень) s ( F ) поля F — это наименьшее количество квадратов, сумма которых равна −1. Если −1 нельзя записать в виде суммы квадратов, s ( F ) = $\infty$. В этом случае F — формально вещественное поле . Альбрехт Пфистер доказал, что Штуфе, если оно конечное, всегда является степенью двойки, и что, наоборот, встречается каждая степень двойки.

Полномочия 2

Если $s(F)\neq \infty$ затем $s(F)=2^{k}$ для некоторого натурального числа $k$.

Доказательство: Пусть $k\in \mathbb {N}$ быть выбран таким, чтобы $2^{k}\leq s(F)<2^{k+1}$. Позволять $n=2^{k}$. Тогда есть $s=s(F)$ элементы $e_{1},\ldots ,e_{s}\in F\setminus \{0\}$ такой, что

$0=\underbrace {1+e_{1}^{2}+\cdots +e_{n-1}^{2}} _{=:\,a}+\underbrace {e_{n}^{2}+\cdots +e_{s}^{2}} _{=:\,b}\;.$

Оба $a$ и $b$ представляют собой суммы $n$ квадраты и $a\neq 0$, поскольку в противном случае $s(F)<2^{k}$, вопреки предположению о $k$.

Согласно теории форм Пфистера , произведение $ab$ само по себе является суммой $n$ квадраты, то есть $ab=c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$ для некоторых $c_{i}\in F$. Но поскольку $a+b=0$, у нас также есть $-a^{2}=ab$, и, следовательно,

$-1={\frac {ab}{a^{2}}}=\left({\frac {c_{1}}{a}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {c_{n}}{a}}\right)^{2},$

и таким образом $s(F)=n=2^{k}$.

Положительная характеристика

Любое поле $F$ с положительной характеристикой имеет $s(F)\leq 2$.

Доказательство: Пусть $p=\operatorname {char} (F)$. Достаточно доказать утверждение о $\mathbb {F} _{p}$.

Если $p=2$ затем $-1=1=1^{2}$, так $s(F)=1$.

Если $p>2$ рассмотрим набор $S=\{x^{2}:x\in \mathbb {F} _{p}\}$ квадратов. $S\setminus \{0\}$ является подгруппой индекса ​ $2$ в циклической группе $\mathbb {F} _{p}^{\times }$ с $p-1$ элементы. Таким образом $S$ содержит ровно ${\tfrac {p+1}{2}}$ элементы, а также $-1-S$.С $\mathbb {F} _{p}$ имеет только $p$ элементы в сумме, $S$ и $-1-S$ не могут быть непересекающимися , то есть существуют $x,y\in \mathbb {F} _{p}$ с $S\ni x^{2}=-1-y^{2}\in -1-S$ и таким образом $-1=x^{2}+y^{2}$.

Характеристики

Число Стуфа s ( F ) связано с числом Пифагора p ( F ) соотношением p ( F ) ≤ s ( F ) + 1. Если F формально не веществен, то s ( F ) ≤ p ( F ) ≤ s ( F ) + 1. Аддитивный порядок формы (1), а значит, и показатель группы Витта группы F равен 2 s ( F ).

Примеры

• Стуф квадратично замкнутого поля равен 1.
• Штуф поля алгебраических чисел равен ∞, 1, 2 или 4 (теорема Зигеля). Примерами являются Q , Q (√−1), Q (√−2) и Q (√−7).
• Стуф конечного поля GF( q ) равен 1, если q ≡ 1 mod 4, и 2, если q ≡ 3 mod 4.
• Стуф локального поля с нечетной характеристикой вычетов равен значению его поля вычетов. Стуф 2-адического поля Q ₂ равен 4.

Ссылки

• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2 . Збл   1068.11023 .
• Милнор, Дж .; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Результаты математики и ее пограничные области . Том 73. Шпрингер-Верлаг . ISBN  3-540-06009-Х . Збл   0292.10016 .
• Раджваде, Арканзас (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 171. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-42668-5 . Збл   0785.11022 .

Дальнейшее чтение

• Кнебуш, Манфред; Шарлау, Винфрид (1980). Алгебраическая теория квадратичных форм. Общие методы и формы Пфистера . Семинар ДМВ. Том. 1. Заметки Хейсука Ли . Бостон – Базель – Штутгарт: Birkhäuser Verlag. ISBN  3-7643-1206-8 . Збл   0439.10011 .