Число Пифагора

Не путать с константой Пифагора или высотой поля .

В математике число Пифагора или приведенная высота описывает поля структуру набора квадратов в поле. Число Пифагора p ( K ) поля K — это наименьшее целое положительное число p такое, что каждая сумма квадратов в K является суммой p квадратов.

Поле Пифагора — это поле с пифагоровым числом 1: то есть каждая сумма квадратов уже является квадратом.

Примеры

• Каждое неотрицательное действительное число является квадратом, поэтому p ( R ) = 1.
• Для конечного поля нечетной характеристики не каждый элемент является квадратом, а все являются суммой двух квадратов. поэтому р = 2.
• По теореме Лагранжа о четырех квадратах каждое положительное рациональное число представляет собой сумму четырех квадратов, и не все они являются суммами трех квадратов, поэтому p ( Q ) = 4.

Свойства

• Каждое положительное целое число встречается как число Пифагора некоторого формально вещественного поля .
• Число Пифагора связано с числом Стуфа соотношением p ( F ) ≤ s ( F ) + 1. Если F формально не веществен, то s ( F ) ⩽ p ( F ) ⩽ s ( F ) + 1, и оба случая возможны: для F = C имеем s = p = 1, тогда как для F = F ₅ имеем s = 1, p = 2.
• Как следствие, число Пифагора неформально-вещественного поля является либо степенью 2, либо на 1 больше степени 2. Имеются все такие случаи: т. е. для каждой пары ( s , p ) вида ( 2 ^к ,2 ^к ) или (2 ^к ,2 ^к + 1), существует поле F такое, что ( s ( F ), p ( F )) = ( s , p ). Например, квадратично замкнутые поля (например, C ) и поля характеристики 2 (например, F2 ₎ дают ( s ( F ), p ( F )) = (1,1); для простых чисел p ≡ 1 (mod 4) F _p и p -адическое поле Q _p дают (1,2); для простых чисел p ≡ 3 (mod 4) F _p дает (2,2), а Q _p дает (2,3); Q ₂ дает (4,4), а функциональное поле Q ₂ ( X ) дает (4,5).
• Число Пифагора связано с высотой поля F : если F формально вещественно, то h ( F ) — наименьшая степень 2, которая не меньше p ( F ); если F формально не веществен, то час ( F ) = 2 с ( F ).

Ссылки

• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2 . МР   2104929 . Збл   1068.11023 .
• Раджваде, Арканзас (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 171. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-42668-5 . Збл   0785.11022 .