Группа Фибоначчи

В математике для натурального числа $n\geq 2$ , n- я группа Фибоначчи , обозначаемая $F(2,n)$ или иногда $F(n)$ , определяется n генераторами $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ и n отношений :

$a_{1}a_{2}=a_{3},$
$a_{2}a_{3}=a_{4},$
$\dots$
$a_{n-2}a_{n-1}=a_{n},$
$a_{n-1}a_{n}=a_{1},$
$a_{n}a_{1}=a_{2}$ .

Эти группы были представлены Джоном Конвеем в 1965 году.

Группа $F(2,n)$ имеет конечный порядок для $n=2,3,4,5,7$ и бесконечный порядок для $n=6$ и $n\geq 8$ . Бесконечность $F(2,9)$ было доказано компьютером в 1990 году.

Гипотеза Капланского о единице

Из группы $G$ и поле $K$ (или, в более общем смысле, кольцо ), групповое кольцо $K[G]$ определяется как множество всех конечных формальных $K$ -линейные комбинации элементов $G$ − то есть элемент $a$ из $K[G]$ имеет форму $a=\sum _{g\in G}\lambda _{g}g$ , где $\lambda _{g}=0$ для всех, кроме конечного числа $g\in G$ так что линейная комбинация конечна. (Размер) опоры элемента $a=\sum \nolimits _{g}\lambda _{g}g$ в $K[G]$ , обозначенный $|\operatorname {supp} a\,|$ , — количество элементов $g\in G$ такой, что $\lambda _{g}\neq 0$ , т.е. количество членов в линейной комбинации. Кольцевая структура $K[G]$ является «очевидным»: линейные комбинации добавляются «покомпонентно», т.е. $\sum \nolimits _{g}\lambda _{g}g+\sum \nolimits _{g}\mu _{g}g=\sum \nolimits _{g}(\lambda _{g}\!+\!\mu _{g})g$ , носитель которого также конечен, а умножение определяется формулой $\left(\sum \nolimits _{g}\lambda _{g}g\right)\!\!\left(\sum \nolimits _{h}\mu _{h}h\right)=\sum \nolimits _{g,h}\lambda _{g}\mu _{h}\,gh$ , носитель которого снова конечен и который можно записать в виде $\sum _{x\in G}\nu _{x}x$ как $\sum _{x\in G}{\Bigg (}\sum _{g,h\in G \atop gh=x}\lambda _{g}\mu _{h}\!{\Bigg )}x$ .

Единичная гипотеза Капланского утверждает, что данное поле $K$ и группа без кручения $G$ (группа, в которой все неединичные элементы имеют бесконечный порядок ), групповое кольцо $K[G]$ не содержит нетривиальных единиц – то есть, если $ab=1$ в $K[G]$ затем $a=kg$ для некоторых $k\in K$ и $g\in G$ . Джайлс Гардам опроверг эту гипотезу в феврале 2021 года, приведя контрпример . ^[1]^[2]^[3] Он взял $K=\mathbb {F} _{2}$ , конечное поле с двумя элементами, и он взял $G$ быть 6-й группой Фибоначчи $F(2,6)$ . Нетривиальная единица $\alpha \in \mathbb {F} _{2}[F(2,6)]$ он обнаружил, что имеет $|\operatorname {supp} \alpha \,|=|\operatorname {supp} \alpha ^{-1}|=21$ . ^[1]