Гипотеза Атьи

В математике гипотеза Атьи — собирательный термин для ряда утверждений об ограничениях на возможные значения $l^{2}$ -Числа Бетти .

История

В 1976 году Майкл Атья представил $l^{2}$ -когомологии многообразий универсальное со свободным кокомпактным действием дискретной счетной группы (например, накрытие многообразия компактного вместе с действием фундаментальной группы ) преобразованиями колоды . Атья определил также $l^{2}$ -Числа Бетти как размерности фон Неймана результирующего $l^{2}$ -группы когомологий и вычислил несколько примеров, которые оказались рациональными числами . Поэтому он спросил, возможно ли $l^{2}$ -Числа Бетти иррациональны .

С тех пор различные исследователи задавались более тонкими вопросами о возможных значениях $l^{2}$ -Числа Бетти, которые обычно называют «гипотезой Атьи».

Результаты

Многие положительные результаты были доказаны Питером Линнеллом . Например, если действующая группа является свободной группой , то $l^{2}$ -Числа Бетти являются целыми числами .

Самый общий вопрос, открытый по состоянию на конец 2011 года, заключается в том, $l^{2}$ -Числа Бетти рациональны, если существует граница порядков конечных подгрупп действующей группы. Фактически, предполагается точная связь между возможными знаменателями и рассматриваемыми порядками ; в случае групп без кручения это утверждение обобщает гипотезу о делителях нуля . Для обсуждения см.статья Б. Экмана.

В случае, если такой границы нет, Тим Остин показал в 2009 году, что $l^{2}$ -Числа Бетти могут принимать трансцендентные значения. Позже было показано, что в этом случае это могут быть любые неотрицательные действительные числа .

Ссылки

Атья, MF (1976). «Эллиптические операторы, дискретные группы и алгебры фон Неймана». Конференция «Анализ и топология» в честь Анри Картана (Орсе, 1974) . Париж: Сок. Математика. Франция. стр. 43–72. Звездочка, № 32–33.

Остин, Тим (2013). «Элементы кольца рациональной группы с ядрами, имеющими иррациональную размерность». Труды Лондонского математического общества . 107 (6): 1424–1448. arXiv : 0909.2360 . дои : 10.1112/plms/pdt029 .

Экманн, Бено (2000). «Введение в $\ell _{2}$ -методы в топологии: сокращены $\ell _{2}$ -гомологии, гармонические цепочки, $\ell _{2}$ -Числа Бетти». Израильский математический журнал . Том 117. стр. 183–219. doi : 10.1007/BF02773570 .