Jump to content

Архимедова группа

В абстрактной алгебре , разделе математики , архимедова группа — это линейно упорядоченная группа , для которой выполняется свойство Архимеда : каждые два положительных элемента группы ограничены целыми числами, кратными друг другу. Множество R действительных чисел вместе с операцией сложения и обычным отношением порядка между парами чисел представляет собой архимедову группу. По результату Отто Гёльдера каждая архимедова группа этой группы изоморфна подгруппе . Название «архимедово» происходит от Отто Штольца , который назвал архимедово свойство по имени его появления в трудах Архимеда . [1]

Определение [ править ]

Аддитивная группа состоит из набора элементов — операции ассоциативного сложения, которая объединяет пары элементов и возвращает один элемент.единичный элемент (или нулевой элемент), сумма которого с любым другим элементом является другим элементом, и аддитивную обратную операцию, такую, что сумма любого элемента и его обратного элемента равна нулю. [2] Группа является линейно упорядоченной группой , если, кроме того, ее элементы могут быть линейно упорядочены способом, совместимым с групповой операцией: для всех элементов x , y и z , если x y, то x + z y + z и z + x z + y .

Обозначение na (где n натуральное число ) обозначает групповую сумму n копий a .Архимедова группа ( G , +, ≤ ) — это линейно упорядоченная группа, подчиняющаяся следующему дополнительному условию — архимедовому свойству: для каждых a и b в G , больших 0, можно найти натуральное число n , для которого выполнено неравенство b na . [3]

Эквивалентное определение состоит в том, что архимедова группа — это линейно упорядоченная группа без каких-либо ограниченных циклических подгрупп : не существует циклической подгруппы S и элемента x у которого x больше, чем все элементы в S. , [4] Нетрудно видеть, что это эквивалентно другому определению: архимедово свойство пары элементов a и b — это просто утверждение о том, что циклическая подгруппа, порожденная a, не ограничена b .

Примеры архимедовых групп [ править ]

Множества целых чисел, рациональных чисел и действительных чисел вместе с операцией сложения и обычным упорядочиванием (≤) являются архимедовыми группами. Каждая подгруппа архимедовой группы сама по себе является архимедовой, поэтому отсюда следует, что каждая подгруппа этих групп, такая как аддитивная группа четных чисел или диадических рациональных чисел , также образует архимедову группу.

И наоборот , как показал Отто Гёльдер , каждая архимедова группа изоморфна (как упорядоченная группа) подгруппе действительных чисел. [5] [6] [7] [8] Отсюда следует, что каждая архимедова группа обязательно является абелевой группой : операция ее сложения должна быть коммутативной . [5]

Примеры неархимедовых групп [ править ]

Группы, которые не могут быть линейно упорядочены, такие как конечные группы , не являются архимедовыми. Другой пример см. в p -адических числах , системе чисел, обобщающей рациональные числа иначе, чем действительные числа.

Существуют также неархимедовы упорядоченные группы; упорядоченная группа ( G , +, ≤ ), определенная следующим образом, не является архимедовой. Пусть элементами G будут точки евклидовой плоскости , заданные их декартовыми координатами : пары ( x , y ) действительных чисел. Пусть операция сложения группы будет поточечным (векторным) сложением, и упорядочим эти точки в лексикографическом порядке : если a = ( u , v ) и b = ( x , y ), то a + b = ( u + x , v + y ), и a b ровно тогда, когда либо v < y , либо v = y и u x . Тогда это дает упорядоченную группу, но не архимедову. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим элементы (1, 0) и (0, 1), оба из которых больше нулевого элемента группы ( начала координат ). Из этих определений для каждого натурального числа n следует, что n (1, 0) = ( n , 0) < (0, 1), поэтому не существует n , удовлетворяющего свойству Архимеда. [9] Эту группу можно рассматривать как аддитивную группу пар вещественного и бесконечно малого чисел . где представляет собой бесконечно малую единицу: но для любого положительного действительного числа . Неархимедовы упорядоченные поля могут быть определены аналогично, а их аддитивные группы являются неархимедовыми упорядоченными группами. Они используются в нестандартном анализе и включают в себя гиперреальные числа и сюрреалистические числа .

Хотя неархимедовы упорядоченные группы не могут быть вложены в действительные числа, они могут быть вложены в степень действительных чисел с лексикографическим порядком по теореме вложения Хана ; приведенный выше пример представляет собой двумерный случай.

Дополнительные свойства [ править ]

Каждая архимедова группа обладает тем свойством, что для каждого дедекиндова разреза группы и каждого элемента группы ε > 0 существует другой элемент группы x , у которого x находится на нижней стороне разреза и x + ε на верхней стороне разреза. . Однако существуют неархимедовы упорядоченные группы с таким же свойством. Тот факт, что архимедовы группы абелевы, можно обобщить: каждая упорядоченная группа, обладающая этим свойством, абелева. [10]

Обобщения [ править ]

Архимедовы группы могут быть обобщены до архимедовых моноидов , линейно упорядоченных моноидов , подчиняющихся свойству Архимеда . Примеры включают натуральные числа, неотрицательные рациональные числа и неотрицательные действительные числа с обычной двоичной операцией. и заказать . Посредством того же доказательства , что и для архимедовых групп, можно показать, что архимедовы моноиды коммутативны .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Марвин, Стивен (2012), Словарь научных принципов , John Wiley & Sons, стр. 17, ISBN  9781118582244 .
  2. ^ Аддитивные обозначения групп обычно используются только для абелевых групп , в которых операция сложения является коммутативной . Определение здесь не предполагает коммутативности, но оно, как окажется, следует из архимедова свойства.
  3. ^ Алайбегович Дж.; Мокор, Дж. (1992), Аппроксимационные теоремы в коммутативной алгебре: классические и категориальные методы , Серия NATO ASI. Серия D, Поведенческие и социальные науки, том. 59, Спрингер, с. 5, ISBN  9780792319481 .
  4. ^ Белеградек, Олег (2002), "Полирегулярные упорядоченные абелевы группы", Логика и алгебра , Contemp. Матем., вып. 302, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, стр. 101–111, номер документа : 10.1090/conm/302/05049 , MR   1928386 .
  5. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Фукс, Ласло; Сальсе, Луиджи (2001), Модули над ненетеровыми областями , Математические обзоры и монографии, том. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , с. 61, ISBN  978-0-8218-1963-0 , МР   1794715
  6. ^ Фукс, Ласло (2011) [1963]. Частично упорядоченные алгебраические системы . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 45–46. ISBN  978-0-486-48387-0 .
  7. ^ Копытов В.М.; Медведев, Н.Я. (1996), Правоупорядоченные группы , Сибирская школа алгебры и логики, Springer, стр. 33–34, ISBN  9780306110603 .
  8. ^ Доказательство . для абелевых групп см Рибенбойм, Пауло (1999), Теория классических оценок , Монографии по математике, Springer, стр. 60, ISBN  9780387985251 .
  9. ^ Крупка, Деметра (2000), Введение в глобальную вариационную геометрию , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 13, Эльзевир, с. 8, ISBN  9780080954202 .
  10. ^ Виноградов А.А. (1967), "Упорядоченные алгебраические системы", Алгебра, топология, геометрия, 1965 (рус.) , Акад. Ин-т Наук СССР. Научн. Техн. Информации, Москва, стр. 83–131, МР   0215761 . Переведено на английский язык в Филиппов Н.Д., изд. (1970), Десять статей по алгебре и функциональному анализу , Переводы Американского математического общества, серия 2, том. 96, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, стр. 69–118, ISBN.  9780821896662 , МР   0268000 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8089ed50af2db41071fab6f455c7b3db__1709001780
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/80/db/8089ed50af2db41071fab6f455c7b3db.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Archimedean group - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)