Архимедова группа
В абстрактной алгебре , разделе математики , архимедова группа — это линейно упорядоченная группа , для которой выполняется свойство Архимеда : каждые два положительных элемента группы ограничены целыми числами, кратными друг другу. Множество R действительных чисел вместе с операцией сложения и обычным отношением порядка между парами чисел представляет собой архимедову группу. По результату Отто Гёльдера каждая архимедова группа этой группы изоморфна подгруппе . Название «архимедово» происходит от Отто Штольца , который назвал архимедово свойство по имени его появления в трудах Архимеда . [1]
Определение [ править ]
Аддитивная группа состоит из набора элементов — операции ассоциативного сложения, которая объединяет пары элементов и возвращает один элемент.единичный элемент (или нулевой элемент), сумма которого с любым другим элементом является другим элементом, и аддитивную обратную операцию, такую, что сумма любого элемента и его обратного элемента равна нулю. [2] Группа является линейно упорядоченной группой , если, кроме того, ее элементы могут быть линейно упорядочены способом, совместимым с групповой операцией: для всех элементов x , y и z , если x ≤ y, то x + z ≤ y + z и z + x ≤ z + y .
Обозначение na (где n — натуральное число ) обозначает групповую сумму n копий a .Архимедова группа ( G , +, ≤ ) — это линейно упорядоченная группа, подчиняющаяся следующему дополнительному условию — архимедовому свойству: для каждых a и b в G , больших 0, можно найти натуральное число n , для которого выполнено неравенство b ≤ na . [3]
Эквивалентное определение состоит в том, что архимедова группа — это линейно упорядоченная группа без каких-либо ограниченных циклических подгрупп : не существует циклической подгруппы S и элемента x у которого x больше, чем все элементы в S. , [4] Нетрудно видеть, что это эквивалентно другому определению: архимедово свойство пары элементов a и b — это просто утверждение о том, что циклическая подгруппа, порожденная a, не ограничена b .
Примеры архимедовых групп [ править ]
Множества целых чисел, рациональных чисел и действительных чисел вместе с операцией сложения и обычным упорядочиванием (≤) являются архимедовыми группами. Каждая подгруппа архимедовой группы сама по себе является архимедовой, поэтому отсюда следует, что каждая подгруппа этих групп, такая как аддитивная группа четных чисел или диадических рациональных чисел , также образует архимедову группу.
И наоборот , как показал Отто Гёльдер , каждая архимедова группа изоморфна (как упорядоченная группа) подгруппе действительных чисел. [5] [6] [7] [8] Отсюда следует, что каждая архимедова группа обязательно является абелевой группой : операция ее сложения должна быть коммутативной . [5]
Примеры неархимедовых групп [ править ]
Группы, которые не могут быть линейно упорядочены, такие как конечные группы , не являются архимедовыми. Другой пример см. в p -адических числах , системе чисел, обобщающей рациональные числа иначе, чем действительные числа.
Существуют также неархимедовы упорядоченные группы; упорядоченная группа ( G , +, ≤ ), определенная следующим образом, не является архимедовой. Пусть элементами G будут точки евклидовой плоскости , заданные их декартовыми координатами : пары ( x , y ) действительных чисел. Пусть операция сложения группы будет поточечным (векторным) сложением, и упорядочим эти точки в лексикографическом порядке : если a = ( u , v ) и b = ( x , y ), то a + b = ( u + x , v + y ), и a ≤ b ровно тогда, когда либо v < y , либо v = y и u ≤ x . Тогда это дает упорядоченную группу, но не архимедову. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим элементы (1, 0) и (0, 1), оба из которых больше нулевого элемента группы ( начала координат ). Из этих определений для каждого натурального числа n следует, что n (1, 0) = ( n , 0) < (0, 1), поэтому не существует n , удовлетворяющего свойству Архимеда. [9] Эту группу можно рассматривать как аддитивную группу пар вещественного и бесконечно малого чисел . где представляет собой бесконечно малую единицу: но для любого положительного действительного числа . Неархимедовы упорядоченные поля могут быть определены аналогично, а их аддитивные группы являются неархимедовыми упорядоченными группами. Они используются в нестандартном анализе и включают в себя гиперреальные числа и сюрреалистические числа .
Хотя неархимедовы упорядоченные группы не могут быть вложены в действительные числа, они могут быть вложены в степень действительных чисел с лексикографическим порядком по теореме вложения Хана ; приведенный выше пример представляет собой двумерный случай.
Дополнительные свойства [ править ]
Каждая архимедова группа обладает тем свойством, что для каждого дедекиндова разреза группы и каждого элемента группы ε > 0 существует другой элемент группы x , у которого x находится на нижней стороне разреза и x + ε на верхней стороне разреза. . Однако существуют неархимедовы упорядоченные группы с таким же свойством. Тот факт, что архимедовы группы абелевы, можно обобщить: каждая упорядоченная группа, обладающая этим свойством, абелева. [10]
Обобщения [ править ]
Архимедовы группы могут быть обобщены до архимедовых моноидов , линейно упорядоченных моноидов , подчиняющихся свойству Архимеда . Примеры включают натуральные числа, неотрицательные рациональные числа и неотрицательные действительные числа с обычной двоичной операцией. и заказать . Посредством того же доказательства , что и для архимедовых групп, можно показать, что архимедовы моноиды коммутативны .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Марвин, Стивен (2012), Словарь научных принципов , John Wiley & Sons, стр. 17, ISBN 9781118582244 .
- ^ Аддитивные обозначения групп обычно используются только для абелевых групп , в которых операция сложения является коммутативной . Определение здесь не предполагает коммутативности, но оно, как окажется, следует из архимедова свойства.
- ^ Алайбегович Дж.; Мокор, Дж. (1992), Аппроксимационные теоремы в коммутативной алгебре: классические и категориальные методы , Серия NATO ASI. Серия D, Поведенческие и социальные науки, том. 59, Спрингер, с. 5, ISBN 9780792319481 .
- ^ Белеградек, Олег (2002), "Полирегулярные упорядоченные абелевы группы", Логика и алгебра , Contemp. Матем., вып. 302, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, стр. 101–111, номер документа : 10.1090/conm/302/05049 , MR 1928386 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Фукс, Ласло; Сальсе, Луиджи (2001), Модули над ненетеровыми областями , Математические обзоры и монографии, том. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , с. 61, ISBN 978-0-8218-1963-0 , МР 1794715
- ^ Фукс, Ласло (2011) [1963]. Частично упорядоченные алгебраические системы . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 45–46. ISBN 978-0-486-48387-0 .
- ^ Копытов В.М.; Медведев, Н.Я. (1996), Правоупорядоченные группы , Сибирская школа алгебры и логики, Springer, стр. 33–34, ISBN 9780306110603 .
- ^ Доказательство . для абелевых групп см Рибенбойм, Пауло (1999), Теория классических оценок , Монографии по математике, Springer, стр. 60, ISBN 9780387985251 .
- ^ Крупка, Деметра (2000), Введение в глобальную вариационную геометрию , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 13, Эльзевир, с. 8, ISBN 9780080954202 .
- ^ Виноградов А.А. (1967), "Упорядоченные алгебраические системы", Алгебра, топология, геометрия, 1965 (рус.) , Акад. Ин-т Наук СССР. Научн. Техн. Информации, Москва, стр. 83–131, МР 0215761 . Переведено на английский язык в Филиппов Н.Д., изд. (1970), Десять статей по алгебре и функциональному анализу , Переводы Американского математического общества, серия 2, том. 96, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, стр. 69–118, ISBN. 9780821896662 , МР 0268000 .