Теорема вложения Хана

В математике , особенно в области абстрактной алгебры, имеющей дело с упорядоченными структурами абелевых групп , теорема вложения Хана дает простое описание всех линейно упорядоченных абелевых групп . Он назван в честь Ганса Хана . ^[1]

Обзор

Теорема утверждает, что любую линейно упорядоченную абелеву группу G можно вложить как упорядоченную подгруппу аддитивной группы. $\mathbb {R} ^{\Omega }$ наделены лексикографическим порядком , где $\mathbb {R}$ — аддитивная группа чисел (со стандартным порядком), $Ω$ — множество классов архимедовой эквивалентности G действительных и $\mathbb {R} ^{\Omega }$ — множество всех функций от $Ω$ до $\mathbb {R}$ которые исчезают вне упорядоченного множества .

обозначает единичный элемент G Пусть 0 . Для любого ненулевого элемента g группы G ровно один из элементов g или − g больше 0; обозначим этот элемент | г |. Два ненулевых элемента g и h из G , архимедовы эквивалентны если существуют натуральные числа N и M такие, что N | г | > | ч | и М | ч | > | г |. Интуитивно это означает, что ни g, ни h не являются «бесконечно малыми» по отношению к другому. Группа G является архимедовой , если все ненулевые элементы архимедово эквивалентны. В этом случае $Ω$ является одноэлементным , поэтому $\mathbb {R} ^{\Omega }$ это просто группа действительных чисел. Тогда теорема вложения Хана сводится к теореме Гёльдера (которая утверждает, что линейно упорядоченная абелева группа является архимедовой тогда и только тогда, когда она является подгруппой упорядоченной аддитивной группы действительных чисел).

Граветт (1956) дает четкое изложение и доказательство теоремы. Статьи Клиффорда (1954) и Хауснера и Венделя (1952) вместе дают еще одно доказательство. См. также Fuchs & Salce (2001 , стр. 62).

См. также

Архимедова группа

Ссылки

^ «lo.logic — Теорема Хана о вложении и старейший открытый вопрос в теории множеств» . MathOverflow . Проверено 28 января 2021 г.

Фукс, Ласло; Сальсе, Луиджи (2001), Модули над ненетеровыми областями , Математические обзоры и монографии, том. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-1963-0 , МР 1794715
Эрлих, Филип (1995), «Über die nichtarchimedischen Grössensysteme» Хана и истоки современной теории величин и чисел для их измерения», в Хинтикка, Яакко (ред.), От Дедекинда до Гёделя: очерки развития Основы математики (PDF) , Kluwer Academic Publishers, стр. 165–213.
Хан, Х. (1907), «О неархимедовых системах размеров», Труды Императорской академии наук, Вена, Класс математики и естествознания (Wien. Ber.) (на немецком языке), 116 : 601–655.
Граветт, К.А.Х (1956), «Упорядоченные абелевы группы», Ежеквартальный журнал математики , вторая серия, 7 : 57–63, doi : 10.1093/qmath/7.1.57
Клиффорд, AH (1954), «Заметки о теореме Хана об упорядоченных абелевых группах», Труды Американского математического общества , 5 (6): 860–863, doi : 10.2307/2032549
Хауснер, М.; Вендел, Дж. Г. (1952), «Упорядоченные векторные пространства», Труды Американского математического общества , 3 : 977–982, doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0052045-1

[1] «lo.logic — Теорема Хана о вложении и старейший открытый вопрос в теории множеств» . MathOverflow . Проверено 28 января 2021 г.

[1]