Теорема Стокса

Теорема Стокса , ^{[ 1 ]} также известная как теорема Кельвина – Стокса ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} после лорда Кельвина и Джорджа Стокса , фундаментальная теорема о роторах или просто теорема о роторах , ^{[ 4 ]} — это теорема векторного исчисления о $\mathbb {R} ^{3}$ . Для векторного поля теорема связывает интеграл ротора линейным векторного поля по некоторой поверхности с интегралом векторного поля вокруг границы поверхности. Классическую теорему Стокса можно сформулировать в одном предложении: линейный интеграл векторного поля по петле равен поверхностному интегралу от его ротора по замкнутой поверхности. Это показано на рисунке, где направление положительной циркуляции ограничивающего контура $\partialΣ$ и направление $n$ положительного потока через поверхность $Σ$ связаны правилом правой руки. На правой руке пальцы движутся вдоль $\partialΣ$ , а большой палец направлен вдоль $n$ .

Теорема Стокса является частным случаем обобщенной теоремы Стокса . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} В частности, векторное поле на $\mathbb {R} ^{3}$ можно рассматривать как 1-форму, и в этом случае ее ротор является его внешней производной , 2-формой.

Теорема

Позволять $\Sigma$ быть гладкой ориентированной поверхностью в $\mathbb {R} ^{3}$ с границей $\partial \Sigma \equiv \Gamma$ . Если векторное поле $\mathbf {F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))$ определен и имеет непрерывные частные производные первого порядка в области, содержащей $\Sigma$ , затем $\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } .$ Более явно равенство говорит, что ${\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{aligned}}$

Основная проблема точной формулировки теоремы Стокса заключается в определении понятия границы. Хорошо известно, что такие поверхности, как снежинка Коха , например, не имеют границы, интегрируемой по Риману, а понятие поверхностной меры в теории Лебега не может быть определено для нелипшицевой поверхности . Один (продвинутый) метод состоит в том, чтобы перейти к слабой формулировке и затем применить аппарат геометрической теории меры ; для этого подхода см. формулу coarea . Вместо этого в этой статье мы используем более элементарное определение, основанное на том факте, что границу можно различить для полномерных подмножеств $\mathbb {R} ^{2}$ .

Более подробное заявление будет дано для последующих обсуждений. Позволять $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ — кусочно- гладкая плоская жорданова кривая . Теорема Жордана о кривой означает, что $\gamma$ делит $\mathbb {R} ^{2}$ на две компоненты: компактную и некомпактную. Позволять $D$ обозначаем компактную часть; затем $D$ ограничен $\gamma$ . Теперь достаточно перенести это понятие границы по непрерывному отображению на нашу поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ . карта: параметризация Но у нас уже есть такая $\Sigma$ .

Предполагать $\psi :D\to \mathbb {R} ^{3}$ кусочно гладко окрестности в $D$ , с $\Sigma =\psi (D)$ . ^{[ примечание 1 ]} Если $\Gamma$ - пространственная кривая, определяемая формулой $\Gamma (t)=\psi (\gamma (t))$ ^{[ примечание 2 ]} тогда мы позвоним $\Gamma$ граница $\Sigma$ , написано $\partial \Sigma$ .

С учетом приведенных выше обозначений, если $\mathbf {F}$ любое гладкое векторное поле на $\mathbb {R} ^{3}$ , затем ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } .$

Здесь " $\cdot$ " представляет скалярное произведение в $\mathbb {R} ^{3}$ .

Частный случай более общей теоремы

Теорему Стокса можно рассматривать как частный случай следующего тождества ^{[ 9 ]}: $\oint _{\partial \Sigma }(\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } })\,\mathbf {g} =\iint _{\Sigma }\left[\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} -\mathbf {F} \times \nabla \right)\right]\mathbf {g} ,$ где $\mathbf {g}$ любое гладкое векторное или скалярное поле в $\mathbb {R} ^{3}$ . Когда $\mathbf {g}$ — однородное скалярное поле, стандартная теорема Стокса восстановлена.

Доказательство

Доказательство теоремы состоит из 4 шагов. Мы предполагаем теорему Грина , поэтому нас интересует, как свести трехмерную сложную задачу (теорему Стокса) к двумерной элементарной задаче (теорема Грина). ^{[ 10 ]} При доказательстве этой теоремы математики обычно выводят ее как частный случай более общего результата , который формулируется в терминах дифференциальных форм и доказывается с использованием более сложной техники. Несмотря на свою мощь, эти методы требуют существенного опыта, поэтому приведенное ниже доказательство их избегает и не предполагает каких-либо знаний, кроме знакомства с основами векторного исчисления и линейной алгебры. ^{[ 8 ]} В конце этого раздела дается краткое альтернативное доказательство теоремы Стокса как следствие обобщенной теоремы Стокса.

Элементарное доказательство

Первый шаг элементарного доказательства (параметризация интеграла)

Как и в § Теоремы , мы уменьшаем размерность, используя естественную параметризацию поверхности. Пусть $ψ$ и $γ$ такие же, как в этом разделе, и обратите внимание, что путем замены переменных $\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } ))\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\,\mathrm {d} \gamma }$ где $J y ψ$ обозначает матрицу Якоби ψ $y$ в точке $знак равно γ (t)$ .

Пусть теперь ${e u, e v}$ — ортонормированный базис в координатных направлениях $R 2$ . ^{[ примечание 3 ]}

Признавая, что столбцы $J y ψ$ являются в точности частными производными $ψ$ в точке $y$ , мы можем разложить предыдущее уравнение в координатах как ${\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }&=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} }\end{aligned}}$

Второй шаг элементарного доказательства (определение обратного пути)

Предыдущий шаг предполагает, что мы определим функцию $\mathbf {P} (u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{v}$

Теперь, если функции скалярного значения $P_{u}$ и $P_{v}$ определяются следующим образом: ${P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)$ ${P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)$ затем, $\mathbf {P} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v}.$

Это возврат F $, и$ вдоль $ψ$ , согласно вышесказанному, он удовлетворяет условию $\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {P} (\mathbf {y} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }$

Мы успешно свели одну часть теоремы Стокса к двумерной формуле; теперь мы обратимся к другой стороне.

Третий шаг элементарного доказательства (второе уравнение)

Сначала вычислите частные производные, фигурирующие в теореме Грина , с помощью правила произведения : ${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial v\,\partial u}}\\[5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial u\,\partial v}}\end{aligned}}$

Удобно, что второй член в разности исчезает из-за равенства смешанных частиц . Так, ^{[ примечание 4 ]} ${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}-{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}&&{\text{(chain rule)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot \left(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\end{aligned}}$

Но теперь рассмотрим матрицу в этой квадратичной форме, т. е. $J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}$ . Мы утверждаем, что эта матрица фактически описывает векторное произведение. Здесь надстрочный индекс " ${}^{\mathsf {T}}$ " представляет собой транспонирование матриц .

Если быть точным, пусть $A=(A_{ij})_{ij}$ — произвольная $матрица размера 3 \times 3$ , и пусть $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}$

Обратите внимание, что $x \mapsto a \times x$ линейно, поэтому определяется его действием на базисные элементы. Но по прямому расчету ${\begin{aligned}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{1}&={\begin{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$ Здесь ${e 1, e 2, e 3}$ представляет собой ортонормированный базис в координатных направлениях $\mathbb {R} ^{3}$ . ^{[ примечание 5 ]}

Таким образом $(A - A Т) x знак равно а \times x$ для любого $x$ .

Замена ${(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}$ для $A$ получаем $\left({(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}-{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$

Теперь мы можем распознать разницу частичных чисел как (скалярное) тройное произведение : ${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\end{aligned}}$

С другой стороны, в определение поверхностного интеграла входит и тройное произведение — то самое! ${\begin{aligned}\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d\mathbf {\Sigma } &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}\end{aligned}}$

Итак, мы получаем $\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

Четвертый шаг элементарного доказательства (сведение к теореме Грина)

Объединение второго и третьего шагов с последующим применением теоремы Грина завершает доказательство. Теорема Грина утверждает следующее: для любой области D, ограниченной жордановой замкнутой кривой γ и двумя скалярнозначными гладкими функциями $P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)$ определено на D;

$\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

Мы можем подставить вывод ШАГА 2 в левую часть приведенной выше теоремы Грина, а вывод ШАГА 3 — в правую часть. КЭД

Доказательство через дифференциальные формы

Функции $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ можно отождествить с дифференциальными 1-формами на $\mathbb {R} ^{3}$ через карту $F_{x}\mathbf {e} _{1}+F_{y}\mathbf {e} _{2}+F_{z}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z.$

Запишите дифференциальную 1-форму, ассоциированную с функцией $F,$ как $ω F$ . Тогда можно это вычислить $\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }=\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} },$ где $★$ — звезда Ходжа , а $\mathrm {d}$ является внешней производной . Таким образом, по обобщенной теореме Стокса ^{[ 11 ]} $\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\gamma } }=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\Sigma }{\nabla \times \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$

Приложения

Безвихревые поля

В этом разделе мы обсудим безвихревое поле ( ламеллярное векторное поле ), основанное на теореме Стокса.

Определение 2-1 (безвихревое поле). Гладкое векторное поле $F$ на открытом $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ является безвихревым ( пластинчатое векторное поле ), если $\nabla \times F = 0$ .

Это понятие очень фундаментально в механике; как мы докажем позже, если $и$ область F безвихревое определения $F$ односвязна , то $F$ является консервативным векторным полем .

Теорема Гельмгольца

В этом разделе мы представим теорему, выведенную из теоремы Стокса и характеризующую безвихревые векторные поля. В классической механике и гидродинамике это называется теоремой Гельмгольца .

Теорема 2-1 (теорема Гельмгольца в гидродинамике). ^{[ 5 ]}^{[ 3 ]}^: 142 Позволять $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ — открытое подмножество с ламеллярным векторным полем $F$ и пусть $c 0, c 1 : [0, 1] \to U$ — кусочно-гладкие петли. Если существует функция $H : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ такая, что

[TLH0] $H$ кусочно-гладкая,
[TLH1] $H (t, 0) = c 0 (t)$ для всех $t \in [0, 1]$ ,
[TLH2] $H (t, 1) = c 1 (t)$ для всех $t \in [0, 1]$ ,
[TLH3] $H (0, s) = H (1, s)$ для всех $s \in [0, 1]$ .

Затем, $\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{1}$

Некоторые учебники, такие как Лоуренс ^{[ 5 ]} связь между $c 0$ и $c 1$ , установленную в теореме 2-1, назовем «гомотопной», а функцию $H : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ — «гомотопией между $c 0$ и $c 1$ ». Однако «гомотопность» или «гомотопия» в указанном выше смысле отличаются (сильнее) от типичных определений «гомотопии» или «гомотопии»; последний опускает условие [TLH3]. Поэтому в дальнейшем мы будем называть гомотопию (гомотоп) в смысле теоремы 2-1 трубчатой гомотопией (соответственно трубчато-гомотопической) . ^{[ примечание 6 ]}

Доказательство теоремы Гельмгольца

В дальнейшем мы злоупотребляем обозначениями и используем " $\oplus$ " для объединения путей в фундаментальном группоиде и " $\ominus$ "для изменения ориентации пути.

Пусть $D = [0, 1] \times [0, 1]$ и разобьем $\partial D$ на четыре отрезка $γ j$ . ${\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\end{aligned}}$ так что $\partial D=\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4}$

предположению, что $кусочно гладкие$ - $H c0 и c1$ гомотопы, существует кусочно-гладкая гомотопия $\to : D По нашему M$ ${\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned}}$

Пусть $S$ образ $D$ под $H.$ — Что $\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$ следует непосредственно из теоремы Стокса. $F$ пластинчатый, поэтому левая часть обращается в нуль, т.е. $0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$

Поскольку $H$ является трубчатым (удовлетворяющим [TLH3]), $\Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}$ и $\Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}$ . Таким образом, линейные интегралы вдоль $Γ 2 (s)$ и $Γ 4 (s)$ сокращаются, оставляя $0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma$

другой стороны, $c1 С = Γ1$ , $c_{3}=\ominus \Gamma _{3}$ , так что желаемое равенство получается почти сразу.

Консервативные силы

Вышеприведенная теорема Гельмгольца дает объяснение, почему работа, совершаемая консервативной силой по изменению положения объекта, не зависит от пути. Сначала мы введем лемму 2–2, которая является следствием и частным случаем теоремы Гельмгольца.

Лемма 2-2. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Позволять $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ быть открытым подмножеством с ламеллярным векторным полем $F$ и кусочно гладкой петлей $c 0 : [0, 1] \to U$ . Зафиксируем точку $p \in U$ , если существует гомотопия $H : [0, 1] \times [0, 1] \to U$ такая, что

[SC0] $H$ гладкая кусочно- ,
[SC1] $H (t, 0) = c 0 (t)$ для всех $t \in [0, 1]$ ,
[SC2] $H (t, 1) = p$ для всех $t \in [0, 1]$ ,
[SC3] $H (0, s) = H (1, s) = p$ для всех $s \in [0, 1]$ .

Затем, $\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0$

Приведенная выше лемма 2–2 следует из теоремы 2–1. В лемме 2.2 решающее значение имеет существование $H,$ удовлетворяющего [SC0]–[SC3]; вопрос в том, можно ли взять такую гомотопию для произвольных петель. Если $U$ односвязен, то такой $H$ существует. Определение односвязного пространства следующее:

Определение 2-2 (односвязное пространство). ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Позволять $M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ быть непустым и связным по путям . $M$ называется односвязным тогда и только тогда, когда для любой непрерывной петли $c : [0, 1] \to M$ существует непрерывная трубчатая гомотопия $H : [0, 1] \times [0, 1] \to M$ из $c$ в неподвижную точку. $п с €$ ; то есть,

[SC0' $H$ непрерывен , ]
[SC1] $H (t, 0) = c (t)$ для всех $t \in [0, 1]$ ,
[SC2] $H (t, 1) = p$ для всех $t \in [0, 1]$ ,
[SC3] $H (0, s) = H (1, s) = p$ для всех $s \in [0, 1]$ .

Утверждение о том, что «для консервативной силы работа, совершаемая по изменению положения объекта, не зависит от пути», может показаться очевидным, если М просто связен. Однако напомним, что простая связность гарантирует только существование непрерывной гомотопии, удовлетворяющей [SC1-3]; вместо этого мы ищем кусочно-гладкую гомотопию, удовлетворяющую этим условиям.

К счастью, пробел в регулярности устраняется аппроксимационной теоремой Уитни . ^{[ 6 ]}^{: 136, 421}^{[ 12 ]} Другими словами, возможность найти непрерывную гомотопию, но не иметь возможности интегрировать по ней, фактически исключается в пользу высшей математики. Таким образом, мы получаем следующую теорему.

Теорема 2-2. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Позволять $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ быть открытым и односвязным с безвихревым векторным полем $F$ . Для всех кусочно гладких петель $c : [0, 1] \to U$ $\int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0$

Уравнения Максвелла

В физике электромагнетизма теорема Стокса дает обоснование эквивалентности дифференциальной формы уравнения Максвелла-Фарадея и уравнения Максвелла-Ампера и интегральной формы этих уравнений. Что касается закона Фарадея, к электрическому полю применяется теорема Стокса: $\mathbf {E}$ : $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .$

Что касается закона Ампера, к магнитному полю применяется теорема Стокса: $\mathbf {B}$ : $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .$

Примечания

^ $\Sigma =\psi (D)$ представляет собой изображений набор $D$ к $\psi$
^ $\Gamma$ может не быть жордановой кривой, если петля $\gamma$ плохо взаимодействует с $\psi$ . Тем не менее, $\Gamma$ всегда является петлей и топологически связной суммой счетного числа жордановых кривых, так что интегралы корректно определены.
^ В этой статье $\mathbf {e} _{u}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{v}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.$ Обратите внимание, что в некоторых учебниках по векторному анализу им присвоены разные вещи. Например, в обозначениях некоторых учебников ${e u, e v}$ может означать следующие ${t u, t v}$ соответственно. Однако в данной статье это две совершенно разные вещи. $\mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.$ Здесь, $h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,$ и " $\|\cdot \|$ " представляет собой евклидову норму .
^ Для всех ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ , для всех $A;n\times n$ квадратная матрица , ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ и поэтому ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}$ .
^ В этой статье $\mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}.$ Обратите внимание, что в некоторых учебниках по векторному анализу им присвоены разные вещи.
^ Существуют учебники, в которых используются термины «гомотопия» и «гомотопия» в смысле теоремы 2-1. ^{[ 5 ]} Действительно, это очень удобно для конкретной проблемы консервативных сил. Однако оба варианта использования гомотопии встречаются достаточно часто, поэтому для устранения неоднозначности необходима определенная терминология, и принятый здесь термин «трубчатая гомотопия» достаточно хорошо подходит для этой цели.

Ссылки

^ Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление - Ранние трансценденталии (7-е изд.). Брукс/Коул Сенгедж Обучение. п. 1122. ИСБН 978-0-538-49790-9 .
^ Нагайоши Ивахори и др.: «Би-Бун-Секи-Бун-Гаку» Шо-Ка-Боу (яп) 1983/12 ISBN 978-4-7853-1039-4 [1] (написано на японском языке)
^ Перейти обратно: ^а ^б Ацуо Фудзимото; «Вектор-Кай-Секи Гендай су-гаку рекуча цу. C(1)» Бай-Фу-Кан (яп) (1979/01) ISBN 978-4563004415 [2] (написано на японском языке)
^ Гриффитс, Дэвид (2013). Введение в электродинамику . Пирсон. п. 34. ISBN 978-0-321-85656-2 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Конлон, Лоуренс (2008). Дифференцируемые многообразия . Современная классика Биркгаузера. Бостон: Биркхойзер.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Ли, Джон М. (2002). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 218. Спрингер.
^ Стюарт, Джеймс (2010). Эссенциальное исчисление: ранние трансценденталии . Коул.
^ Перейти обратно: ^а ^б Роберт Шейхль, конспекты лекций по Университета Бата курсу математики [3]
^ Перес-Гарридо, Антонио (2024). «Восстановление редко используемых теорем векторного исчисления и их применение к проблемам электромагнетизма». Американский журнал физики . 92 (5): 354–359. arXiv : 2312.17268 . дои : 10.1119/5.0182191 .
^ Колли, Сьюзан Джейн (2002). Векторное исчисление (4-е изд.). Бостон: Пирсон. стр. 500–3.
^ Эдвардс, Гарольд М. (1994). Продвинутое исчисление: подход дифференциальных форм . Биркхойзер. ISBN 0-8176-3707-9 .
^ Л. С. Понтрягин, Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий, Переводы Американского математического общества, Сер. 2, Том. 11, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 1959, стр. 1–114. МИСТЕР 0115178 (22 №5980 [4] ). См. теоремы 7 и 8.

[imgg-7] $\Sigma =\psi (D)$ представляет собой изображений набор $D$ к $\psi$

[cgamma-8] $\Gamma$ может не быть жордановой кривой, если петля $\gamma$ плохо взаимодействует с $\psi$ . Тем не менее, $\Gamma$ всегда является петлей и топологически связной суммой счетного числа жордановых кривых, так что интегралы корректно определены.

[orf2-13] В этой статье $\mathbf {e} _{u}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{v}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.$ Обратите внимание, что в некоторых учебниках по векторному анализу им присвоены разные вещи. Например, в обозначениях некоторых учебников ${e u, e v}$ может означать следующие ${t u, t v}$ соответственно. Однако в данной статье это две совершенно разные вещи. $\mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.$ Здесь, $h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,$ и " $\|\cdot \|$ " представляет собой евклидову норму .

[naiseki-14] Для всех ${\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ , для всех $A;n\times n$ квадратная матрица , ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}$ и поэтому ${\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}$ .

[orf3-15] В этой статье $\mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {e} _{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}.$ Обратите внимание, что в некоторых учебниках по векторному анализу им присвоены разные вещи.

[TLH-17] Существуют учебники, в которых используются термины «гомотопия» и «гомотопия» в смысле теоремы 2-1. ^{[ 5 ]} Действительно, это очень удобно для конкретной проблемы консервативных сил. Однако оба варианта использования гомотопии встречаются достаточно часто, поэтому для устранения неоднозначности необходима определенная терминология, и принятый здесь термин «трубчатая гомотопия» достаточно хорошо подходит для этой цели.

[1] Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление - Ранние трансценденталии (7-е изд.). Брукс/Коул Сенгедж Обучение. п. 1122. ИСБН 978-0-538-49790-9 .

[iwahori-2] Нагайоши Ивахори и др.: «Би-Бун-Секи-Бун-Гаку» Шо-Ка-Боу (яп) 1983/12 ISBN 978-4-7853-1039-4 [1] (написано на японском языке)

[fujimno-3] Перейти обратно: ^а ^б Ацуо Фудзимото; «Вектор-Кай-Секи Гендай су-гаку рекуча цу. C(1)» Бай-Фу-Кан (яп) (1979/01) ISBN 978-4563004415 [2] (написано на японском языке)

[4] Гриффитс, Дэвид (2013). Введение в электродинамику . Пирсон. п. 34. ISBN 978-0-321-85656-2 .

[DTPO-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Конлон, Лоуренс (2008). Дифференцируемые многообразия . Современная классика Биркгаузера. Бостон: Биркхойзер.

[lee-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Ли, Джон М. (2002). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 218. Спрингер.

[Jame-9] Стюарт, Джеймс (2010). Эссенциальное исчисление: ранние трансценденталии . Коул.

[bath-10] Перейти обратно: ^а ^б Роберт Шейхль, конспекты лекций по Университета Бата курсу математики [3]

[11] Перес-Гарридо, Антонио (2024). «Восстановление редко используемых теорем векторного исчисления и их применение к проблемам электромагнетизма». Американский журнал физики . 92 (5): 354–359. arXiv : 2312.17268 . дои : 10.1119/5.0182191 .

[12] Колли, Сьюзан Джейн (2002). Векторное исчисление (4-е изд.). Бостон: Пирсон. стр. 500–3.

[16] Эдвардс, Гарольд М. (1994). Продвинутое исчисление: подход дифференциальных форм . Биркхойзер. ISBN 0-8176-3707-9 .

[ptr-18] Л. С. Понтрягин, Гладкие многообразия и их приложения в теории гомотопий, Переводы Американского математического общества, Сер. 2, Том. 11, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 1959, стр. 1–114. МИСТЕР 0115178 (22 №5980 [4] ). См. теоремы 7 и 8.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ примечание 1 ]

[ примечание 2 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ примечание 3 ]

[ примечание 4 ]

[ примечание 5 ]

[ 11 ]

[ примечание 6 ]

[ 12 ]