Теорема Гельмгольца (классическая механика)

Чтобы узнать о других значениях, см. Теорему Гельмгольца (значения) .

Теорема Гельмгольца классической механики гласит:

Позволять $$H(x,p;V)=K(p)+\varphi (x;V)$$ – гамильтониан одномерной системы, где $$K={\frac {p^{2}}{2m}}$$ это кинетическая энергия и $$\varphi (x;V)$$ представляет собой «U-образный» профиль потенциальной энергии , который зависит от параметра $V$.Позволять $\left\langle \cdot \right\rangle _{t}$ обозначают среднее по времени. Позволять

• $E=K+\varphi ,$
• $T=2\left\langle K\right\rangle _{t},$
• $P=\left\langle -{\frac {\partial \varphi }{\partial V}}\right\rangle _{t},$
• $S(E,V)=\log \oint {\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}\,dx.$

Затем $$dS={\frac {dE+PdV}{T}}.$$

Примечания

Тезис этой теоремы классической механики читается точно так же, как теорема термодинамики тепловая . Этот факт показывает, что между некоторыми механическими величинами существуют отношения термодинамического типа. Это, в свою очередь, позволяет определить «термодинамическое состояние» одномерной механической системы. В частности, температура $T$ определяется средним временем кинетической энергии и энтропии $S$ логарифмом действия ( т.е. ${\textstyle \oint dx{\sqrt {2m\left(E-\varphi \left(x,V\right)\right)}}}$).
Важность этой теоремы была признана Людвигом Больцманом, который увидел, как применить ее к макроскопическим системам (т.е. многомерным системам), чтобы обеспечить механическую основу равновесной термодинамики . Эта исследовательская деятельность была строго связана с формулировкой им эргодической гипотезы .Многомерная версия теоремы Гельмгольца, основанная на эргодической теореме Джорджа Дэвида Биркгофа, известна как обобщенная теорема Гельмгольца.

Обобщенная версия

Обобщенная теорема Гельмгольца является многомерным обобщением теоремы Гельмгольца и звучит следующим образом.

Позволять

$\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},...,p_{s}),$

$\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},...,q_{s}),$

— канонические координаты , s -мерной гамильтоновой системы и пусть

$H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ;V)=K(\mathbf {p} )+\varphi (\mathbf {q} ;V)$

— функция Гамильтона , где

$K=\sum _{i=1}^{s}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}$,

это кинетическая энергия и

$\varphi (\mathbf {q} ;V)$

- потенциальная энергия , которая зависит от параметра $V$.Пусть гиперповерхности постоянной энергии в 2 s -мерном фазовом пространстве системы метрически неразложимы и пусть $\left\langle \cdot \right\rangle _{t}$ обозначают среднее по времени. Определите количества $E$, $P$, $T$, $S$, следующее:

$E=K+\varphi$,

$T={\frac {2}{s}}\left\langle K\right\rangle _{t}$,

$P=\left\langle -{\frac {\partial \varphi }{\partial V}}\right\rangle _{t}$,

$S(E,V)=\log \int _{H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ;V)\leq E}d^{s}\mathbf {p} d^{s}\mathbf {q} .$

Затем:

$dS={\frac {dE+PdV}{T}}.$

Ссылки

• Гельмгольц, Х., из (1884a). Основы статики моноциклических систем. Журнал Борхардта-Крелля по чистой и прикладной математике , 97, 111–140 (также в Wiedemann G. (Ed.) (1895) Научные трактаты. Том 3 (стр. 142–162, 179–202). Лейпциг: Иоганн Амброзиус Барт).
• Гельмгольц, Х., из (1884b). Исследования по статике моноциклических систем. Труды Королевской прусской академии наук в Берлине , I, 159–177 (также в Wiedemann G. (Ed.) (1895) Scientific Treatises. Vol. 3 (стр. 163–178). Лейпциг: Иоганн Амброзиус Барт).
• Больцманн, Л. (1884). О свойствах моноциклических и других родственных систем. Crelles Journal , 98: 68–94 (т.е. Больцманн, Л. (1909). Научные трактаты (том 3, стр. 122–152), Ф. Хазенёрль (ред.). Лейпциг. Переиздано в Нью-Йорке: Челси, 1969). ).
• Галлавотти, Г. (1999). Статистическая механика: Краткий трактат . Берлин: Шпрингер.
• Кампизи, М. (2005) О механических основах термодинамики: обобщенная теорема Гельмгольца Исследования по истории и философии современной физики 36: 275–290