Очистить формулу

В математической области геометрической теории меры выражает формула коплощади интеграл функции по открытому множеству в евклидовом пространстве через интегралы по множествам уровня другой функции. Особым случаем является теорема Фубини , которая гласит, что при подходящих гипотезах интеграл от функции по области, заключенной в прямоугольный прямоугольник, может быть записан как повторный интеграл по множествам уровня координатных функций. Другой частный случай — интегрирование в сферических координатах , при котором интеграл от функции на R ^н связано с интегралом функции по сферическим оболочкам: множествам уровня радиальной функции. Формула играет решающую роль в современном исследовании изопериметрических задач .

Для гладких функций формула является результатом многомерного исчисления , который следует из замены переменных . Более общие формы формулы для липшицевых функций были впервые установлены Гербертом Федерером ( Federer 1959 ), а для $BV$ функций - Флемингом и Ришелем (1960) .

Точная формулировка формулы следующая. Предположим, что Ω — открытое множество в $\mathbb {R} ^{n}$ и u — вещественная липшицева функция на Ω. Тогда для L ¹ функция г ,

\int _{\Omega }g(x)|\nabla u(x)|\,dx=\int _{\mathbb {R} }\left(\int _{u^{-1}(t)}g(x)\,dH_{n-1}(x)\right)\,dt

где Hn _{− 1} — ( n −1)-мерная мера Хаусдорфа . В частности, если принять g за единицу, это означает

\int _{\Omega }|\nabla u|=\int _{-\infty }^{\infty }H_{n-1}(u^{-1}(t))\,dt,

и наоборот, последнее равенство влечет за собой первое с помощью стандартных методов интегрирования Лебега .

В более общем смысле формула коплощади может быть применена к функциям Липшица u, определенным в $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n},$ приобретая ценности в $\mathbb {R} ^{k}$ где к ≤ п . В этом случае имеет место тождество

\int _{\Omega }g(x)|J_{k}u(x)|\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{k}}\left(\int _{u^{-1}(t)}g(x)\,dH_{n-k}(x)\right)\,dt

где J _k u — k -мерный якобиан u , определитель которого определяется выражением

|J_{k}u(x)|=\left({\det \left(Ju(x)Ju(x)^{\intercal }\right)}\right)^{1/2}.

Приложения [ править ]

Принимая ты ( Икс ) знак равно | Икс - Икс ₀ | дает формулу интегрирования в сферических координатах интегрируемой функции f :

\int _{\mathbb {R} ^{n}}f\,dx=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{\partial B(x_{0};r)}f\,dS\right\}\,dr.

Объединение формулы коплощади с изопериметрическим неравенством дает доказательство неравенства Соболева для W ^1,1 с лучшей константой:

\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{\frac {n}{n-1}}\right)^{\frac {n-1}{n}}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-{\frac {1}{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|

где

\omega _{n}

- объем единичного шара в

\mathbb {R} ^{n}.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , Основные принципы математических наук, том 153, Нью-Йорк: Springer-Verlag New York Inc., стр. xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7 , МР 0257325 .
Федерер, Герберт (1959), «Меры кривизны», Труды Американского математического общества , 93 (3), Труды Американского математического общества, Том. 93, № 3: 418–491, номер документа : 10.2307/1993504 , JSTOR 1993504 .
Флеминг, штат Вашингтон; Ришель, Р. (1960), «Интегральная формула для изменения общего градиента», Archiv der Mathematik , 11 (1): 218–222, doi : 10.1007/BF01236935
Малый, Дж; Суонсон, Д; Цимер, В. (2002), «Формула совместной площади для отображений Соболева» (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 355 (2): 477–492, doi : 10.1090/S0002-9947-02-03091-X .