Трубчатый район

Кривая синего цвета и несколько линий, перпендикулярных ей, зеленого цвета. Небольшие части этих линий вокруг кривой выделены красным.

Рисунок выше крупным планом. Кривая выделена синим цветом, а ее трубчатая окрестность T — красным. Согласно обозначениям в статье, кривая — это S , пространство, содержащее кривую, — это M , а $T=j(N).$

Схематическое изображение нормального расслоения N с нулевым сечением. $N_{0}$ в синем цвете. Преобразование j отображает N ₀ в кривую S на рисунке выше, а N в трубчатую окрестность S .

В математике трубчатая окрестность подмногообразия многообразия гладкого вокруг него , — это открытое множество напоминающее нормальное расслоение .

Идею трубчатого соседства можно объяснить на простом примере. Рассмотрим гладкую кривую на плоскости без самопересечений. В каждой точке кривой проведите линию , перпендикулярную кривой. Если кривая не прямая, эти линии будут пересекаться между собой довольно сложным образом. Однако если смотреть только на узкую полосу вокруг кривой, части линий в этой полосе не будут пересекаться и охватят всю полосу без пробелов. Эта полоса представляет собой трубчатую окрестность.

В общем, пусть — подмногообразие многообразия M , пусть и — нормальное расслоение S M. в S N Здесь S играет роль кривой, а М — роль плоскости, содержащей кривую. Рассмотрим естественную карту

$i:N_{0}\to S$

которое устанавливает биективное соответствие между нулевым сечением $N_{0}$ N ​ подмногообразие S M . и Расширение j этого отображения на все нормальное расслоение N со значениями в M такое, что $j(N)$ — открытое множество в M , а j — гомеоморфизм между N и $j(N)$ называется трубчатой ​​окрестностью.

Часто называют открытое множество $T=j(N),$ а не сам j , трубчатая окрестность S , неявно предполагается, что гомеоморфизм j, отображающий N в T. существует

Обычная трубка

гладкой Нормальная трубка кривой определяемое — это многообразие, как объединение всех дисков такое, что

• все диски имеют одинаковый фиксированный радиус;
• центр каждого диска лежит на кривой ; и
• каждый диск лежит в плоскости, нормальной к кривой, где кривая проходит через центр этого диска.

Формальное определение

Позволять $S\subseteq M$ быть гладкими многообразиями. Трубчатый район $S$ в $M$ расслоение векторное $\pi :E\to S$ вместе с гладкой картой $J:E\to M$ такой, что

• $J\circ 0_{E}=i$ где $i$ это встраивание $S\hookrightarrow M$ и $0_{E}$ нулевой участок
• существует какой-то $U\subseteq E$ и некоторые $V\subseteq M$ с $0_{E}[S]\subseteq U$ и $S\subseteq V$ такой, что $J\vert _{U}:U\to V$ является диффеоморфизмом .

Нормальное расслоение является трубчатой ​​окрестностью, и из-за условия диффеоморфизма во второй точке все трубчатые окрестности имеют одинаковую размерность, а именно (размерность векторного расслоения, рассматриваемого как многообразие, равна) размерности $M.$

Обобщения

Обобщения гладких многообразий дают обобщения трубчатых окрестностей, таких как регулярные окрестности или сферические расслоения для пространств Пуанкаре .

Эти обобщения используются для создания аналогов нормального расслоения или, скорее, стабильного нормального расслоения , которые являются заменой касательного расслоения (которое не допускает прямого описания для этих пространств).

См. также

• Параллельная кривая (она же кривая смещения)
• Лемма о трубке — доказательство в топологии. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Рауль Ботт, Лоринг В. Ту (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90613-4 .

• Моррис В. Хирш (1976). Дифференциальная топология . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90148-5 .

• Валдир Мунис Олива (2002). Геометрическая механика . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-44242-1 .