Группоидный объект

В теории категорий , разделе математики , группоидный объект является одновременно обобщением группоида , который построен на более богатых структурах, чем множества, и обобщением групповых объектов, когда умножение определено лишь частично.

Определение

Группоидный объект в категории C, допускающий конечные расслоенные произведения, состоит из пары объектов $R,U$ вместе с пятью морфизмами

$s,t:R\to U,\ e:U\to R,\ m:R\times _{U,t,s}R\to R,\ i:R\to R$

удовлетворяющие следующим аксиомам группоида

1. $s\circ e=t\circ e=1_{U},\,s\circ m=s\circ p_{1},t\circ m=t\circ p_{2}$ где $p_{i}:R\times _{U,t,s}R\to R$ две проекции,
2. (ассоциативность) $m\circ (1_{R}\times m)=m\circ (m\times 1_{R}),$
3. (единица) $m\circ (e\circ s,1_{R})=m\circ (1_{R},e\circ t)=1_{R},$
4. (обратный) $i\circ i=1_{R}$, $s\circ i=t,\,t\circ i=s$, $m\circ (1_{R},i)=e\circ s,\,m\circ (i,1_{R})=e\circ t$.

Примеры

Групповые объекты

Групповой объект — это частный случай группоидного объекта, где $R=U$ и $s=t$. Таким образом, можно восстановить топологические группы , взяв категорию топологических пространств , или группы Ли, взяв категорию многообразий , и т. д.

Группоиды

Группоидный объект в категории множеств — это в точности группоид в обычном смысле: категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом. Действительно, для такой категории C возьмем U за множество всех объектов в C , R за множество всех стрелок в C , пять морфизмов, заданных формулами $s(x\to y)=x,\,t(x\to y)=y$, $m(f,g)=g\circ f$, $e(x)=1_{x}$ и $i(f)=f^{-1}$. Когда термин «группоид» естественным образом может относиться к группоидному объекту в некоторой конкретной категории, термин « группоидный набор» используется для обозначения группоидного объекта в категории множеств.

Однако, в отличие от предыдущего примера с группами Ли, группоидный объект в категории многообразий не обязательно является группоидом Ли , поскольку отображения s и t не удовлетворяют дальнейшим требованиям (они не обязательно являются субмерсиями ).

Группоидные схемы

Группоидная — это S -схема группоидный объект в категории схем над некоторой фиксированной базовой S. схемой Если $U=S$, то группоидная схема (где $s=t$ обязательно являются структурной картой) то же самое, что и групповая схема . Группоидную схему еще называют алгебраическим группоидом . для передачи идеи это обобщение алгебраических групп и их действий.

Например, предположим, что алгебраическая группа G действует справа на схеме U . Тогда возьми $R=U\times G$, s проекция, t данное действие. Это определяет группоидную схему.

Конструкции

Учитывая группоидный объект ( , U ) , эквалайзер R $R{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}U$, если таковой имеется, является групповым объектом, называемым группой инерции группоида. Коэквалайзер той же диаграммы, если таковой имеется , является фактором группоида.

Каждый группоидный объект в категории C (если таковой имеется) можно рассматривать как контравариантный функтор из C в категорию группоидов. Таким образом, каждый объект группоида определяет предварительный стек в группоидах. Этот предварительный стек не является стеком , но его можно объединить в стек.

Основное использование этого понятия заключается в том, что оно обеспечивает атлас стека. Точнее, пусть $[R\rightrightarrows U]$ быть категорией $(R\rightrightarrows U)$-торсоры . Тогда это категория, расслоенная на группоиды ; на самом деле (в хорошем случае) это стек Делиня-Мамфорда . И наоборот, любой стек DM имеет такую ​​форму.

См. также

• Упрощенная схема

Ссылки

• Беренд, Кай; Конрад, Брайан; Эдидин, Дэн; Фултон, Уильям; Фантечи, Барбара; Гетше, Лотар; Креш, Эндрю (2006), Алгебраические стеки , заархивировано из оригинала 5 мая 2008 г. , получено 11 февраля 2014 г.
• Жилле, Анри (1984), «Теория пересечений алгебраических стеков и Q -многообразий» , Труды конференции Luminy по алгебраической K -теории (Luminy, 1983), Journal of Pure and Applied Algebra , 34 (2–3): 193 –240, дои : 10.1016/0022-4049(84)90036-7 , МР   0772058