Симплициальный предпучок

В математике, более конкретно в теории гомотопии , симплициальный предпучок — это предпучок на сайте (например, в топологических категории пространств ), принимающий значения в симплициальных множествах (т. е. контравариантный функтор от сайта до категории симплициальных множеств). Эквивалентно, симплициальный предпучок — это симплициальный объект в категории предпучков на сайте. Понятие было введено А. Джоялом в 1970-е годы. ^[1] Аналогично, симплициальный пучок на сайте — это симплициальный объект в категории пучков на сайте. ^[2]

Пример: рассмотрим этальный сайт схемы S . Каждая U на сайте представляет собой предпучок. $\operatorname {Hom} (-,U)$ . Таким образом, симплициальная схема , симплициальный объект на сайте, представляет собой симплициальный предпучок (фактически часто симплициальный пучок).

Пример: Пусть G — предпучок группоидов. Тогда, рассматривая нервы по секциям, получаем симплициальный предпучок $BG$ . Например, можно установить $B\operatorname {GL} =\varinjlim B\operatorname {GL_{n}}$ . Подобные примеры встречаются в К-теории.

Если $f:X\to Y$ является локальной слабой эквивалентностью симплициальных предпучков, то индуцированное отображение $\mathbb {Z} f:\mathbb {Z} X\to \mathbb {Z} Y$ также является локальной слабой эквивалентностью.

Гомотопические пучки симплициального предпучка

Пусть F — симплициальный предпучок на сайте. Гомотопические пучки $\pi _{*}F$ F . определяется следующим образом Для любого $f:X\to Y$ в узле и 0-симплекс s в F ( X ), положим $(\pi _{0}^{\text{pr}}F)(X)=\pi _{0}(F(X))$ и $(\pi _{i}^{\text{pr}}(F,s))(f)=\pi _{i}(F(Y),f^{*}(s))$ . Затем мы установили $\pi _{i}F$ быть пучком, связанным с предпучком $\pi _{i}^{\text{pr}}F$ .

Модельные структуры

Категория симплициальных предпучков на узле допускает множество различных модельных структур .

Некоторые из них получены путем рассмотрения симплициальных предпучков как функторов.

S^{op}\to \Delta ^{op}Sets

Категория таких функторов наделена (по крайней мере) тремя модельными структурами, а именно проективной структурой Риди и инъективной модельной структурой. Слабые эквивалентности/расслоения в первом являются отображениями

{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}

такой, что

{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)

является слабой эквивалентностью/расслоением симплициальных множеств для всех U в узле S . Структура инъективной модели аналогична, но вместо этого используются слабые эквивалентности и корасслоения.

Куча

Симплициальный предпучок F на сайте называется стеком, если для любого X и любого гипернакрытия H → X каноническое отображение

F(X)\to \operatorname {holim} F(H_{n})

является слабой эквивалентностью симплициальных множеств, где справа — гомотопический предел

[n]=\{0,1,\dots ,n\}\mapsto F(H_{n})

.

Любой пучок F на узле можно рассматривать как стек, просмотрев $F(X)$ как постоянное симплициальное множество; таким образом, категория пучков на сайте включается как подкатегория гомотопической категории симплициальных предпучков на сайте. Функтор включения имеет левый сопряженный, и это в точности $F\mapsto \pi _{0}F$ .

Если A — пучок абелевой группы (на том же узле), то определим $K(A,1)$ выполняя классификацию построения пространства по уровням (понятие происходит из теории препятствий ) и устанавливая $K(A,i)=K(K(A,i-1),1)$ . Можно показать (по индукции): для любого X в узле

\operatorname {H} ^{i}(X;A)=[X,K(A,i)]

где слева обозначен пучок когомологий, а справа — гомотопический класс отображений.

См. также

Примечания

^ Тоен, Бертран (2002), «Стеки и неабелевы когомологии» (PDF) , вводный семинар по алгебраическим стекам, теории пересечений и неабелевой теории Ходжа , MSRI
^ Жардин 2007 , §1

Дальнейшее чтение

Конрад Фелькель, Модельные структуры на симплициальных предпучках

Ссылки

Жардин, Дж. Ф. (2004). «Обобщенные теории пучков когомологии». В Гринлисе, JPC (ред.). Аксиоматическая, обогащенная и мотивная теория гомотопий. Труды Института перспективных исследований НАТО, Кембридж, Великобритания, 9–20 сентября 2002 г. Серия НАТО по науке II: Математика, физика и химия. Том. 131. Дордрехт: Клювер Академик. стр. 29–68. ISBN 1-4020-1833-9 . Збл 1063.55004 .
Жардин, Дж. Ф. (2007). «Упрощенные предпусковые шкивы» (PDF) .
Б. Тоен, Симплициальные предпучки и производная алгебраическая геометрия

Внешние ссылки

Домашняя страница JF Jardine

[1] Тоен, Бертран (2002), «Стеки и неабелевы когомологии» (PDF) , вводный семинар по алгебраическим стекам, теории пересечений и неабелевой теории Ходжа , MSRI

[2] Жардин 2007 , §1

[1]

[2]