Семейство наборов

В теории множеств и смежных разделах математики семейство ) может означать, в (или коллекция зависимости от контекста, любое из следующих значений: множество , индексированное множество , мультимножество или класс . Коллекция $F$ подмножеств данного множества $S$ называется подмножеств семейством $S$ , или семейство множеств над $S.$ В более общем смысле совокупность любых множеств называется семейством множеств , семейством множеств или системой множеств . Кроме того, семейство множеств можно определить как функцию множества. $I$ , известный как набор индексов, для $F$ , и в этом случае множества семейства индексируются членами $I$ . ^[1] В некоторых контекстах семейству наборов может быть разрешено содержать повторяющиеся копии любого данного члена. ^[2]^[3]^[4] а в других контекстах он может образовывать собственный класс .

Конечное семейство подмножеств конечного множества $S$ еще называют гиперграфом . Предмет экстремальной теории множеств касается наибольших и наименьших примеров семейств множеств, удовлетворяющих определенным ограничениям.

Примеры

Набор всех подмножеств данного набора $S$ называется мощности набором $S$ и обозначается $\wp (S).$ Набор мощности $\wp (S)$ из заданного набора $S$ это семейство множеств над $S.$

Подмножество $S$ имея $k$ элементы, называется $k$ -подмножество $S.$ $k$ -подмножества $S^{(k)}$ из набора $S$ образуют семейство множеств.

Позволять $S=\{a,b,c,1,2\}.$ Пример семейства множеств над $S$ (в смысле мультимножества ) определяется выражением $F=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\},$ где $A_{1}=\{a,b,c\},A_{2}=\{1,2\},A_{3}=\{1,2\},$ и $A_{4}=\{a,b,1\}.$

Класс $\operatorname {Ord}$ всех порядковых чисел представляет собой большое семейство множеств. То есть это сам по себе не набор, а полноценный класс .

Характеристики

Любое семейство подмножеств множества $S$ само по себе является подмножеством набора мощности $\wp (S)$ если в нем нет повторяющихся членов.

Любое семейство множеств без повторений является подклассом надлежащего класса всех множеств ( вселенной ).

Теорема Холла о браке , принадлежащая Филипу Холлу , дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы конечное семейство непустых множеств (допускаются повторения) имело систему различных представителей .

Если ${\mathcal {F}}$ какое-либо семейство множеств тогда $\cup {\mathcal {F}}:={\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}}F$ обозначает объединение всех множеств в ${\mathcal {F}},$ где, в частности, $\cup \varnothing =\varnothing .$ Любая семья ${\mathcal {F}}$ комплектов - это семья более $\cup {\mathcal {F}}$ а также семья над любым супермножеством $\cup {\mathcal {F}}.$

Связанные понятия

Определенные типы объектов из других областей математики эквивалентны семействам множеств, поскольку их можно описать просто как набор множеств объектов некоторого типа:

Гиперграф гиперребер также называемый системой множеств, состоит из набора вершин вместе с другим набором , , каждое из которых может быть произвольным набором. Гиперребра гиперграфа образуют семейство множеств, и любое семейство множеств можно интерпретировать как гиперграф, вершинами которого является объединение множеств.
Абстрактный симплициальный комплекс — это комбинаторная абстракция понятия симплициального комплекса , формы, образованной объединением отрезков прямой, треугольников, тетраэдров и симплексов более высокой размерности , соединенных лицом к лицу. В абстрактном симплициальном комплексе каждый симплекс представляется просто как набор его вершин. Любое семейство конечных множеств без повторений, в котором подмножества любого множества в семействе также принадлежат этому семейству, образует абстрактный симплициальный комплекс.
состоит Структура инцидентности из набора точек , набора линий и (произвольного) бинарного отношения , называемого отношением инцидентности , определяющего, какие точки каким линиям принадлежат. Структура инцидентности может быть задана семейством множеств (даже если две разные линии содержат один и тот же набор точек), наборы точек, принадлежащие каждой линии, и любое семейство множеств можно таким образом интерпретировать как структуру инцидентности.
Двоичный блочный код состоит из набора кодовых слов, каждое из которых представляет собой строку из нулей и единиц одинаковой длины. Когда каждая пара кодовых слов имеет большое расстояние Хэмминга , ее можно использовать в качестве кода, исправляющего ошибки . Блочный код также можно описать как семейство наборов, описывая каждое кодовое слово как набор позиций, в которых оно содержит 1.
Топологическое пространство состоит из пары $(X,\tau )$ где $X$ представляет собой множество (элементы которого называются точками ) и $\tau$ это топология на $X,$ которое представляет собой семейство множеств (элементы которого называются открытыми множествами ) над $X$ который содержит как пустой набор $\varnothing$ и $X$ сам по себе и замкнут относительно произвольных объединений множеств и пересечений конечных множеств.

Покрытия и топологии

Говорят, что семейство множеств покрывает множество $X$ если каждая точка $X$ принадлежит какому-либо члену семьи. Подсемейство обложки $X$ это тоже кавер $X$ называется подпокрытием . Семейство называется точечно-конечной совокупностью, если каждая точка $X$ принадлежит только конечному числу членов семейства. Если каждая точка покрытия лежит ровно в одном члене, то покрытие разбиением является $X.$

Когда $X$ — топологическое пространство , покрытие, членами которого являются все открытые множества, называется открытым покрытием . Семейство называется локально конечным, если каждая точка пространства имеет окрестность , пересекающую лишь конечное число членов семейства.σ -локально конечный или счетный локально конечный набор — это семейство, являющееся объединением счетного числа локально конечных семейств.

Обложка ${\mathcal {F}}$ говорят, что он улучшает другое (более грубое) покрытие ${\mathcal {C}}$ если каждый член ${\mathcal {F}}$ содержится в некотором члене ${\mathcal {C}}.$ Звездная доработка — это особый тип доработки.

Особые типы наборных семейств

Семейство Спернера — это семейство множеств, в котором ни одно из множеств не содержит других. Теорема Спернера ограничивает максимальный размер семейства Спернера.

Семейство Хелли — это такое семейство множеств, что любое минимальное подсемейство с пустым пересечением имеет ограниченный размер. Теорема Хелли утверждает, что выпуклые множества в евклидовых пространствах ограниченной размерности образуют семейства Хелли.

Абстрактный симплициальный комплекс — это семейство множеств. $F$ (состоящий из конечных множеств), замкнутый вниз ; то есть каждое подмножество множества в $F$ также находится в $F.$ Матроид свойством — это абстрактный симплициальный комплекс с дополнительным свойством, называемым увеличения .

Каждый фильтр представляет собой семейство наборов.

Пространство выпуклости — это семейство множеств, замкнутое относительно произвольных пересечений и объединений цепей (относительно отношения включения ).

Другими примерами семейств множеств являются системы независимости , гридоиды , антиматроиды и борнологические пространства .

Семьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$ v т и
Обязательно верно для ${\mathcal {F}}\colon$ или, есть ${\mathcal {F}}$ закрыто под:	Режиссер к $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	ФИП
$π$ -система
Полукольцо										Никогда
Полуалгебра (Полуполе)										Никогда
Монотонный класс						только если $A_{i}\searrow$	только если $A_{i}\nearrow$
𝜆 система (Система Дынкина)				только если $A\subseteq B$			только если $A_{i}\nearrow$ или они непересекающиеся			Никогда
Кольцо (Теория порядка)
Кольцо (Теория меры)										Никогда
δ-кольцо										Никогда
𝜎-Кольцо										Никогда
Алгебра (Поле)										Никогда
𝜎-Алгебра (𝜎-Поле)										Никогда
Двойной идеал
Фильтр				Никогда	Никогда				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Предварительный фильтр (основа фильтра)				Никогда	Никогда				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Основание фильтра				Никогда	Никогда				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Открытая топология							(даже произвольный $\cup$ )			Никогда
Закрытая топология						(даже произвольный $\cap$ )				Никогда
Обязательно верно для ${\mathcal {F}}\colon$ или, есть ${\mathcal {F}}$ закрыто под:	направленный вниз	конечный перекрестки	конечный профсоюзы	родственник дополняет	дополняет в $\Omega$	счетный перекрестки	счетный профсоюзы	содержит $\Omega$	содержит $\varnothing$	Конечный Пересечение Свойство
Кроме того, *полукольцо* — это $π$ -система , в которой каждое дополнение $B\setminus A$ равно конечному непересекающемуся объединению множеств из ${\mathcal {F}}.$ Полуалгебра *дополнение* – это полукольцо, в котором каждое $\Omega \setminus A$ равно конечному непересекающемуся объединению множеств из ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ являются произвольными элементами ${\mathcal {F}}$ и предполагается, что ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

См. также

Алгебра множеств - Тождества и отношения с участием множеств.
Класс (теория множеств) - совокупность математических множеств, которые можно определить на основе свойств их членов.
Комбинаторный дизайн - симметричное расположение конечных множеств.
δ-кольцо - кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений.
Поле множеств - алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
Обобщенный квантор - выражение, обозначающее набор множеств в формальной семантике.
Индексированное семейство — коллекция объектов, каждый из которых связан с элементом из некоторого набора индексов.
λ-система (система Дынкина) - семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений.
π-система - семейство множеств, замкнутых относительно пересечения.
Кольцо множеств - Семья, замкнутая союзами и относительными дополнениями.
Парадокс Рассела - Парадокс в теории множеств (или набор множеств, которые не содержат самих себя )
σ-алгебра - алгебраическая структура алгебры множеств.
σ-кольцо - семейство множеств, замкнутых относительно счетных объединений.

Примечания

^ П. Халмош, Наивная теория множеств , стр.34. Университетская серия по математике для студентов, 1960. Litton Educational Publishing, Inc.
^ Бруальди 2010 , стр. 322
^ Робертс и Тесман 2009 , стр. 692
^ Биггс 1985 , стр. 89

Ссылки

Биггс, Норман Л. (1985), Дискретная математика , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 0-19-853252-0
Бруальди, Ричард А. (2010), Вводная комбинаторика (5-е изд.), Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис-Холл, ISBN 0-13-602040-2
Робертс, Фред С.; Тесман, Барри (2009), Прикладная комбинаторика (2-е изд.), Бока-Ратон: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9

Внешние ссылки

СМИ, связанные с семьями Сетов, на Викискладе?

[1] П. Халмош, Наивная теория множеств , стр.34. Университетская серия по математике для студентов, 1960. Litton Educational Publishing, Inc.

[2] Бруальди 2010 , стр. 322

[3] Робертс и Тесман 2009 , стр. 692

[4] Биггс 1985 , стр. 89

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo