Обобщенный квантор

В формальной семантике ( обобщенный квантор GQ ) — это выражение, обозначающее набор множеств . Это стандартная семантика, приписываемая количественным именным группам . Например, обобщенный квантор каждый мальчик обозначает множество множеств, членом которых является каждый мальчик:

\{X\mid \forall x(x{\text{ is a boy}}\to x\in X)\}

Такая обработка кванторов сыграла важную роль в достижении композиционной семантики предложений, содержащих кванторы. ^[1]^[2]

Теория типов [ править ]

Версия теории типов часто используется для явного определения семантики различных видов выражений. определяет набор типов Стандартная конструкция рекурсивно следующим образом:

e и t — типы.
Если a и b относятся к обоим типам, то и $\langle a,b\rangle$
Ничто не является типом, кроме того, что можно сконструировать на основе строк 1 и 2 выше.

Учитывая это определение, у нас есть простые типы e и t , а также счетное множество сложных типов, некоторые из которых включают:

\langle e,t\rangle ;\qquad \langle t,t\rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle ;\qquad \langle e,\langle e,t\rangle \rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle ;\qquad \ldots

Выражения типа e обозначают элементы вселенной дискурса , набора сущностей, о которых идет речь. Это множество обычно записывается как $D_{e}$ . Примеры выражений типа e включают John и he .
Выражения типа t обозначают значение истинности , обычно отображаемое как набор $\{0,1\}$ , где 0 означает «ложь», а 1 — «истина». Примерами выражений, которые иногда называют типа t, являются предложения или предложения .
Выражения типа $\langle e,t\rangle$ обозначают функции от множества сущностей к множеству истинностных значений. Этот набор функций отображается как $D_{t}^{D_{e}}$ . Такие функции являются характеристическими множеств . функциями Они отображают каждую единицу, являющуюся элементом множества, как «истинную», а все остальное — как «ложную». Принято говорить, что они обозначают множества, а не характеристические функции, хотя, строго говоря, последнее точнее. Примерами выражений этого типа являются предикаты , существительные и некоторые виды прилагательных .
В общем случае выражения сложных типов $\langle a,b\rangle$ обозначают функции из множества сущностей типа $a$ множеству сущностей типа $b$ , конструкцию мы можем написать следующим образом: $D_{b}^{D_{a}}$ .

Теперь мы можем присвоить типы словам в нашем предложении выше (Каждый мальчик спит) следующим образом.

Тип(мальчик) = $\langle e,t\rangle$
Тип(спит) = $\langle e,t\rangle$
Тип(каждый) = $\langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle$
Тип(каждый мальчик) = $\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle$

и поэтому мы видим, что обобщенный квантор в нашем примере имеет тип $\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle$

Таким образом, каждый обозначает функцию от множества к функции от множества к значению истинности. Другими словами, оно обозначает функцию от множества к множеству множеств. Это та функция, которая для любых двух множеств A,B каждый ( A ) ( B )= 1 тогда и только тогда, когда $A\subseteq B$ .

Типизированное лямбда-исчисление [ править ]

Полезным способом написания сложных функций является лямбда-исчисление . Например, можно записать значение сна в виде следующего лямбда-выражения, которое является функцией от отдельного x до утверждения, что x спит .

\lambda x.\mathrm {sleep} '(x)

Такие лямбда-термины — это функции, областью действия которых является то, что предшествует точке, а диапазон — это тип объекта, следующего за точкой. Если x — переменная, которая варьируется по элементам

D_{e}

, то следующий лямбда-терм обозначает тождественную функцию отдельных лиц:

\lambda x.x

Теперь мы можем записать значение каждого с помощью следующего лямбда-терма, где X,Y — переменные типа $\langle e,t\rangle$ :

\lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y

Если мы сократим значение слов « мальчик и спит» как « Б » и « С » соответственно, мы получим, что предложение «каждый мальчик спит » теперь означает следующее:

(\lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y)(B)(S)

Путем β-редукции ,

(\lambda Y.B\subseteq Y)(S)

и

B\subseteq S

Выражение каждый является определителем . В сочетании с существительным оно дает обобщенный квантор типа $\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle$ .

Свойства [ править ]

Монотонность [ править ]

Монотонный GQ рост

GQ Обобщенный квантор называется монотонно возрастающим (также называемым восходящим выводом ), если для каждой пары множеств X и Y выполняется следующее:

если

X\subseteq Y

, то GQ( X ) влечет за собой GQ( Y ).

GQ каждого мальчика монотонно увеличивается. Например, набор вещей, которые работают быстро, является подмножеством множества вещей, которые работают . Таким образом, первое предложение ниже влечет за собой второе:

Каждый мальчик бегает быстро.
Каждый мальчик бежит.

Монотонно уменьшающиеся GQ

GQ называется монотонно убывающим (также называемым нисходящим ), если для каждой пары множеств X и Y выполняется следующее:

Если

X\subseteq Y

, то GQ( Y ) влечет за собой GQ( X ).

Пример монотонного уменьшения GQ — no boy . Для этого GQ мы имеем, что первое предложение ниже влечет за собой второе.

Ни один мальчик не убегает.
Ни один мальчик не бегает быстро.

Лямбда-член для определителя № следующий. Он говорит, что два множества имеют пустое пересечение .

\lambda X.\lambda Y.X\cap Y=\emptyset

Монотонно уменьшающиеся GQ относятся к числу выражений, которые могут лицензировать предмет с отрицательной полярностью , например любой . Монотонно увеличивающиеся GQ не лицензируют предметы с отрицательной полярностью.

Хорошо: Ни у одного мальчика нет денег .
Плохо: *У каждого мальчика есть деньги .

Немонотонные GQ [ править ]

GQ называется немонотонным, если он не монотонно возрастает и не монотонно убывает. Пример такого GQ — ровно три мальчика . Ни одно из следующих предложений не влечет за собой другое.

Бежали ровно три студента.
Ровно трое студентов быстро побежали.

Первое предложение не влечет за собой второе. Тот факт, что число бегущих студентов равно трем, не означает, что каждый из этих студентов бежал быстро , поэтому число бегущих студентов может быть меньше трех. И наоборот, второе предложение не влечет за собой первое. Предложение , что ровно три ученика бежали быстро, может быть истинным, даже если число учеников, которые просто бежали (т. е. не так быстро), больше 3.

Лямбда-член для (комплексного) определителя ровно три следующий. Он говорит, что двух множеств мощность пересечения равна 3.

\lambda X.\lambda Y.|X\cap Y|=3

Консервативность [ править ]

Определитель D называется консервативным, если имеет место следующая эквивалентность:

D(A)(B)\leftrightarrow D(A)(A\cap B)

Например, следующие два предложения эквивалентны.

Каждый мальчик спит.
Каждый мальчик – мальчик, который спит.

Было высказано предположение, что все определители в каждом естественном языке являются консервативными. ^[2] выражение Только не консервативное. Следующие два предложения не эквивалентны. Но на самом деле не принято анализировать только как определяющий фактор . Скорее, оно обычно рассматривается как чувствительное к фокусу наречие, .

Спят только мальчики.
Только мальчики — мальчики, которые спят.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Монтегю, Ричард (1974). «Правильное обращение с количественной оценкой на английском языке». В Куласе, Дж.; Фетцер, Дж. Х.; Рэнкин, Т.Л. (ред.). Философия, язык и искусственный интеллект (PDF) . Исследования когнитивных систем. Том. 2. Спрингер, Дордрехт. стр. 141–162. дои : 10.1007/978-94-009-2727-8_7 . ISBN 978-94-010-7726-2 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Барвайз, Джон ; Купер, Робин (1981). «Обобщенные кванторы и естественный язык» . Языкознание и философия . 4 (2): 159–219. дои : 10.1007/BF00350139 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Стэнли Питерс ; Даг Вестерстол (2006). Кванторы в языке и логике . Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-929125-0 .
Антонио Бадиа (2009). Квантификаторы в действии: обобщенная квантификация в запросах, логических и естественных языках . Спрингер. ISBN 978-0-387-09563-9 .
Вонгиэль М (2021). Субатомное количественное определение (pdf) . Берлин: Language Science Press. дои : 10.5281/zenodo.5106382 . ISBN 978-3-98554-011-2 .

Внешние ссылки [ править ]

Даг Вестерстол, 2011. « Обобщенные квантификаторы ». Стэнфордская энциклопедия философии .

[1] Монтегю, Ричард (1974). «Правильное обращение с количественной оценкой на английском языке». В Куласе, Дж.; Фетцер, Дж. Х.; Рэнкин, Т.Л. (ред.). Философия, язык и искусственный интеллект (PDF) . Исследования когнитивных систем. Том. 2. Спрингер, Дордрехт. стр. 141–162. дои : 10.1007/978-94-009-2727-8_7 . ISBN 978-94-010-7726-2 .

[Barwise-2] Перейти обратно: ^а ^б Барвайз, Джон ; Купер, Робин (1981). «Обобщенные кванторы и естественный язык» . Языкознание и философия . 4 (2): 159–219. дои : 10.1007/BF00350139 .

[1]

[2]