Локально конечная коллекция

Коллекция подмножеств топологического пространства. $X$ называется локально конечным, если каждая точка пространства имеет окрестность , пересекающую только конечное число множеств в коллекции.

В математической области топологии . локальная свойство совокупности подмножеств — топологического пространства конечность Это имеет фундаментальное значение для изучения паракомпактности и топологической размерности .

Обратите внимание, что термин « локально конечный» имеет разные значения в других математических областях.

Примеры и свойства

набор Конечный подмножеств топологического пространства локально конечен. Бесконечные коллекции также могут быть локально конечными: например, коллекция подмножеств $\mathbb {R}$ формы $(n,n+2)$ для целого числа $n$. Счетная коллекция подмножеств не обязательно должна быть локально конечной, как показывает совокупность всех подмножеств $\mathbb {R}$ формы $(-n,n)$ для натурального числа n .

Каждый локально конечный набор множеств является точечно конечным , что означает, что каждая точка пространства принадлежит только конечному числу множеств в наборе. Конечность точки — строго более слабое понятие, что иллюстрируется набором интервалов. $(0,1/n)$ в $\mathbb {R}$, который является точечно конечным, но не локально конечным в точке $0$. Эти две концепции используются в определениях паракомпактного пространства и метакомпактного пространства , и это причина, по которой каждое паракомпактное пространство является метакомпактным.

Если набор множеств локально конечен, то набор замыканий этих множеств также локально конечен. Причина этого в том, что если открытое множество , содержащее точку, пересекает замыкание множества, оно обязательно пересекает само множество, следовательно, окрестность может пересекать не более того же числа замыканий (она может пересекать меньшее количество замыканий, поскольку два различных, действительно непересекающиеся, множества могут иметь одно и то же замыкание). Обратное, однако, может оказаться невозможным, если замыкания множеств не различны. Например, в топологии конечного дополнения на $\mathbb {R}$ совокупность всех открытых множеств не локально конечна, но совокупность всех замыканий этих множеств локально конечна (поскольку единственными замыканиями являются $\mathbb {R}$ и пустое множество ).

Произвольное объединение замкнутых множеств, вообще говоря, не является замкнутым. Однако объединение локально конечного набора замкнутых множеств замкнуто. Чтобы убедиться в этом, заметим, что если $x$ является точкой вне объединения этого локально конечного набора замкнутых множеств, мы просто выбираем окрестность $V$ из $x$ который пересекает этот набор только в конечном числе этих множеств. Определите биективное отображение из набора множеств, которые $V$ пересекается с ${1,\dots ,k}$ таким образом давая индекс каждому из этих наборов. Затем для каждого набора выберите открытый набор $U_{i}$ содержащий $x$ это не пересекается с ним. Пересечение всех подобных $U_{i}$ для $1\leq i\leq k$ пересекался с $V$, является окрестностью $x$ которое не пересекает объединение этого набора замкнутых множеств.

В компактных помещениях

Всякий локально конечный набор множеств в компакте конечен. Действительно, пусть $G=\{G_{a}|a\in A\}$ — локально конечное семейство подмножеств компакта $X$ . Для каждой точки $x\in X$, выберите открытое соседство $U_{x}$ который пересекает конечное число подмножеств в $G$. Очевидно, семейство множеств: $\{U_{x}|x\in X\}$ представляет собой открытую крышку $X$, и, следовательно, имеет конечное подпокрытие : $\{U_{k_{n}}|n\in 1\dots n\}$. Поскольку каждый $U_{k_{i}}$ пересекает только конечное число подмножеств в $G$, объединение всех таких $U_{k_{i}}$ пересекает только конечное число подмножеств в $G$. Поскольку этот союз представляет собой все пространство $X$, отсюда следует, что ${\displaystyle }$ пересекает только конечное число подмножеств в наборе $G$. И поскольку $G$ состоит из подмножеств $X$ каждый член $G$ должен пересекаться $X$, таким образом $G$ конечно.

В пространствах Линделефа

Всякий локально конечный набор множеств в пространстве Линделефа , в частности, в пространстве со второй счетностью , счетен. Это доказывается теми же рассуждениями, что и приведенный выше результат для компактных пространств.

Счётно локально конечные коллекции

Совокупность подмножеств топологического пространства называется σ-локально конечный или счетно локально конечный если это счетное объединение локально конечных наборов.

Понятие σ-локально конечного является ключевым компонентом теоремы о метризации Нагаты-Смирнова , которая утверждает, что топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно , по Хаусдорфу и имеет σ-локально конечную базу .

В пространстве Линделефа , в частности в пространстве со второй счетностью , каждый σ-локально конечный набор множеств счетен.

Ссылки

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN  3-88538-006-4 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000), Топология (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN  0-13-181629-2
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .