Верхний комплект
В математике — верхнее множество (также называемое вверх-замкнутым множеством , расстройством или набором изотонов в X ). [1] множества частично упорядоченного является подмножеством со следующим свойством: если s находится в S и если x в X больше s (т. е. если ), то x находится в S . Другими словами, это означает, что любой элемент x из X , который некоторому элементу S обязательно является также элементом S . Термин «нижнее множество» (также называемый « закрытым вниз множеством» , «нисходящим множеством» , «убывающим множеством» , «начальным сегментом» или «полуидеальным» ) определяется аналогично как подмножество S множества X , обладающее свойством, что любой элемент x из X, который некоторому элементу S обязательно является также элементом S .
Определение [ править ]
Позволять быть предварительно заказанным набором . Верхний комплект в (также называемый восходящим закрытым набором , расстройством или изотонов набором ) [1] является подмножеством то есть «закрыто при движении вверх», в том смысле, что
- для всех и все если затем
Двойственное нижним понятие — это нижнее множество (также называемое нисходящим замкнутым множеством , множеством , убывающим множеством , начальным сегментом или полуидеальным ), которое является подмножеством то есть «закрыто при опускании», в том смысле, что
- для всех и все если затем
Термины «идеальный порядок» или «идеальный» иногда используются как синонимы нижнего множества. [2] [3] [4] Такой выбор терминологии не отражает понятие идеала решетки , поскольку нижнее множество решетки не обязательно является подрешеткой. [2]
Свойства [ править ]
- Каждое частично упорядоченное множество само по себе является верхним множеством.
- Пересечение . и объединение любого семейства верхних множеств снова является верхним множеством
- Дополнением к любому верхнему набору является нижний, и наоборот.
- Учитывая частично упорядоченный набор семейство верхних множеств упорядоченный по отношению включения является полной решеткой , решеткой верхнего множества .
- Учитывая произвольное подмножество частично упорядоченного множества наименьший верхний набор, содержащий обозначается стрелкой вверх как (см. верхнее закрытие и нижнее закрытие ).
- Двойственно, наименьшее нижнее множество, содержащее обозначается стрелкой вниз как
- Младший набор называется главным, если он имеет вид где является элементом
- Каждый нижний набор конечного частично упорядоченного множества равно наименьшему нижнему множеству, содержащему все максимальные элементы
- где обозначает множество, содержащее максимальные элементы
- нижнее множество Направленное называется идеалом порядка .
- Для частичных порядков, удовлетворяющих условию нисходящей цепи , антицепи и верхние множества находятся во взаимно однозначном соответствии посредством следующих биекций : сопоставьте каждую антицепь с ее верхним замыканием (см. ниже); и наоборот, сопоставьте каждое верхнее множество с множеством его минимальных элементов. Это соответствие не справедливо для более общих частичных порядков; например наборы действительных чисел и оба отображаются в пустую антицепь.
Верхняя застежка и нижняя застежка [ править ]
Учитывая элемент частично упорядоченного множества верхнее закрытие или вверх закрытие обозначается или определяется
Наборы и являются соответственно наименьшими верхним и нижним множествами, содержащими как элемент. В более общем смысле, учитывая подмножество определить верхнее / восходящее закрытие и нижнее / нисходящее закрытие обозначается и соответственно, как
Таким образом, и где верхние множества и нижние множества этого вида называются главными . Верхнее замыкание и нижнее замыкание множества — это соответственно наименьшее верхнее множество и нижнее множество, содержащее его.
Верхнее и нижнее замыкание, если рассматривать их как функции из набора сил сами по себе являются примерами операторов замыкания , поскольку они удовлетворяют всем аксиомам замыкания Куратовского . В результате верхнее замыкание множества равно пересечению всех содержащих его верхних множеств, и аналогично для нижних множеств. (Действительно, это общее явление операторов замыкания. Например, топологическое замыкание множества — это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих его; длина множества векторов — это пересечение всех содержащих его подпространств ; подгруппа, порождающая подмножеством группы пересечение является пересечение всех содержащих его подгрупп; идеал, порожденный подмножеством кольца, есть всех содержащих его идеалов и т. д.;
Порядковые номера [ править ]
Порядковый номер обычно отождествляется с совокупностью всех меньших порядковых чисел. Таким образом, каждое порядковое число образует нижний набор в классе всех порядковых чисел, которые полностью упорядочены путем включения множества.
См. также [ править ]
- Абстрактный симплициальный комплекс (также называемый: Система независимости ) — семейство множеств, замкнутое сверху вниз относительно отношения содержания.
- Кофинальное множество - подмножество частично упорядоченного множества который содержит для каждого элемента какой-то элемент такой, что
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Долецки и Минард, 2016 , стр. 27–29.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Брайан А. Дэйви; Хилари Энн Пристли (2002). Введение в решетки и порядок (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . стр. 20, 44. ISBN. 0-521-78451-4 . LCCN 2001043910 .
- ^ Стэнли, Р.П. (2002). Перечислительная комбинаторика . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том. 1. Издательство Кембриджского университета. п. 100. ИСБН 978-0-521-66351-9 .
- ^ Лоусон, М.В. (1998). Инверсные полугруппы: теория частичных симметрий . Всемирная научная. п. 22 . ISBN 978-981-02-3316-7 .
- Бланк, Дж. (2000). «Области представления топологических пространств» (PDF) . Теоретическая информатика . 247 (1–2): 229–255. дои : 10.1016/s0304-3975(99)00045-6 .
- Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4 . OCLC 945169917 .
- Хоффман, К.Х. (2001), Аксиомы низкого разделения (T 0 ) и (T 1 )