Круглый комплект

В математике пучок окружностей — это расслоение , в котором слоем является круг. $S^{1}$.

Расслоения ориентированных окружностей также известны как главные U (1)-расслоения или, что то же самое, как главные SO (2)-расслоения. В физике пучки кругов являются естественной геометрической обстановкой электромагнетизма . Расслоение кругов является частным случаем расслоения сфер .

Как 3-многообразия

Расслоения кругов над поверхностями являются важным примером трехмерных многообразий . Более общий класс 3-многообразий — это расслоения Зейферта , которые можно рассматривать как своего рода «сингулярное» расслоение окружностей или как расслоение окружностей над двумерным орбифолдом .

Связь с электродинамикой

Уравнения Максвелла соответствуют электромагнитному полю , представленному 2-формой F с $\pi ^{\!*}F$ будучи когомологичным нулю, т.е. точным . В частности, всегда существует 1-форма A , электромагнитный четырехпотенциал (т. е. аффинная связность ), такая, что

$\pi ^{*}F=dA.$

Учитывая расслоение окружностей P над M и его проекцию

$\pi :P\to M$

существует гомоморфизм

$\pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )$

где $\pi ^{*}$ это откат . Каждому гомоморфизму соответствует монополь Дирака ; целочисленные группы когомологий соответствуют квантованию электрического заряда . Эффект Ааронова-Бома можно понимать как голономию связи на связанном линейном расслоении, описывающем волновую функцию электрона. По сути, эффект Ааронова-Бома не является квантово-механическим эффектом (вопреки распространенному мнению), поскольку при построении пучков волокон или соединений не требуется и не требуется квантование.

Примеры

• Расслоение Хопфа является примером нетривиального расслоения окружностей.
• Единичное касательное расслоение к поверхности является еще одним примером расслоения окружностей.
• Единичное касательное расслоение неориентируемой поверхности — это расслоение окружностей, не являющееся главным $U(1)$ пучок. Только ориентируемые поверхности имеют касательные расслоения с главной единицей.
• Другой метод построения пучков окружностей — использование сложного линейного расслоения. $L\to X$ и берем связанный пучок сферы (в данном случае круга). Поскольку это расслоение имеет ориентацию, индуцированную из $L$ у нас есть, что это главный $U(1)$-пучок. Более того, характеристические классы из теории Черна-Вейля $U(1)$-расслоение согласуется с характерными классами $L$.
• Например, рассмотрим анализ $X$ сложная плоская кривая ${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\right)$. С $H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})$ и характеристические классы нетривиально возвращаются назад, мы имеем, что линейное расслоение, связанное с пучком ${\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}$ имеет класс Черна $c_{1}=a\in H^{2}(X)$.

Классификация

Классы изоморфизма главных $U(1)$-расслоения над многообразием M находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений $M\to BU(1)$, где $BU(1)$ называется классифицирующим пространством для U(1) . Обратите внимание, что $BU(1)=\mathbb {C} P^{\infty }$ является бесконечномерным комплексным проективным пространством и является примером пространства Эйленберга – Маклейна. $K(\mathbb {Z} ,2).$ Такие расслоения классифицируются элементом второй целой группы когомологий $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$ М , поскольку

$[M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)$.

Этот изоморфизм реализуется классом Эйлера ; эквивалентно, это первый класс Чженя гладкого комплексного линейного расслоения (по сути, потому, что окружность гомотопически эквивалентна $\mathbb {C} ^{*}$, комплексная плоскость с удаленным началом координат; и поэтому комплексное линейное расслоение с удаленным нулевым сечением гомотопически эквивалентно круговому расслоению.)

Круговой пучок является основным $U(1)$ пакет тогда и только тогда, когда связанная карта $M\to B\mathbb {Z} _{2}$ является нуль-гомотопным, что верно тогда и только тогда, когда расслоение послойно ориентируемо. Таким образом, в более общем случае, когда расслоение окружностей над M может быть неориентируемым, классы изоморфизма находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений. $M\to BO_{2}$. Это следует из расширения групп: $SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}$, где $SO_{2}\equiv U(1)$.

Сложные линии

Основная статья: Когомологии Делиня

Приведенная выше классификация применима только к пучкам кругов в целом; соответствующая классификация гладких расслоений окружностей или, скажем, расслоений окружностей с аффинной связностью требует более сложной теории когомологий. Результаты включают в себя то, что гладкие расслоения окружностей классифицируются вторыми когомологиями Делиня. $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )$; расслоения окружностей с аффинной связностью классифицируются по $H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))$ пока $H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )$ линейных пучков классифицированные шкивы .

См. также

• Последовательность Ванга

Ссылки

• Черн, Шиинг-шэнь (1977), «Пучки кругов», Конспект лекций по математике , т. 1, с. 597/1977, Springer Berlin/Heidelberg, стр. 114–131, doi : 10.1007/BFb0085351 , ISBN.  978-3-540-08345-0 .