B -допустимое представление

В математике формализм B представлений обеспечивает конструкции полных таннаковых подкатегорий категории представлений группы G E. на конечномерных векторных пространствах над заданным полем допустимых - В этой теории B выбирается как так называемое ( E , G )-регулярное кольцо , т.е. E -алгебра с E -линейным действием G , удовлетворяющим определенным условиям, данным ниже. наиболее широко используется в p -адической теории Ходжа для определения важных подкатегорий p -адических представлений Галуа абсолютной группы Галуа локальных Эта теория и глобальных полей .

( E , G )-кольца и функтор D

Пусть G — группа, а E — поле. Пусть Rep( G ) обозначает нетривиальную строго полную подкатегорию категории Таннака E -линейных представлений группы G в конечномерных векторных пространствах над E , устойчивых относительно подобъектов , факторобъектов , прямых сумм , тензорных произведений и двойственных объектов .

называется ( E , G )-кольцом коммутативное кольцо B, являющееся E -алгеброй с E -линейным действием G. группы Пусть F = B ^Г — G - B . инварианты Ковариантный функтор D _B : Rep( G ) → Mod _F , определенный формулой

$D_{B}(V):=(B\otimes _{E}V)^{G}$

является E -линейным (Mod _F обозначает категорию F -модулей ). Включение DB _B V) в ⊗ ( _E V индуцирует гомоморфизм

$\alpha _{B,V}:B\otimes _{F}D_{B}(V)\longrightarrow B\otimes _{E}V$

называется морфизмом сравнения .

Регулярные ( E , G )-кольца и B -допустимые представления

( E , G )-кольцо B называется регулярным , если

1. B уменьшен ​ ;
2. для любого V из Rep( G ) α _,V инъективен B ;
3. каждый b ∈ B , для которого прямая bE , G -стабильна обратима в B .

Третье условие подразумевает, что F — поле. Если B — поле, оно автоматически является регулярным.

Когда B регулярен,

$\dim _{F}D_{B}(V)\leq \dim _{E}V$

с равенством тогда и только тогда, когда α _B,V является изоморфизмом .

Представление V ∈ Rep( G ) называется B -допустимым, если α _B,V является изоморфизмом. Полная подкатегория B -допустимых представлений, обозначаемая Rep _B ( G ), является таннаковой.

Если B имеет дополнительную структуру, такую ​​как фильтрация или E -линейный эндоморфизм , то DB _{как принимающий значения в} ( V ) наследует эту структуру, и функтор DB _{можно рассматривать} соответствующей категории.

Примеры

• Пусть K — поле характеристики p (простое число), K _— сепарабельное замыкание K . а Если E = Fp _{) (} ( конечное поле с p элементами) и G = Gal( Ks _/ , K абсолютная группа Галуа поля K ), то является регулярным ( _{B = Ks} E G ) -кольцом . На K _s существует инъективный эндоморфизм Фробениуса σ : K _s → K _s, переводящий x в x ^п . Учитывая представление G → GL( V ) для некоторого конечномерного F _p -векторного пространства V , $D=D_{K_{s}}(V)$ — конечномерное векторное пространство над F =( K _s ) ^Г = K , которая наследует от B = K _s инъективную функцию φ _D : D → D , которая является σ-полулинейной (т. е. φ( ad ) = σ( a )φ( d ) для всех a ∈ K и всех d ∈ D ). K s _, -допустимыми представлениями являются непрерывные представления (где G имеет топологию Крулла а V имеет дискретную топологию ). Фактически, $D_{K_{s}}$ является эквивалентностью категорий между K _s -допустимыми представлениями (т.е. непрерывными) и конечномерными векторными пространствами над K, снабженными инъективным σ-полулинейным φ.

Потенциально B -допустимые представления

Потенциально допустимым B -допустимое представление отражает идею представления, которое становится - при ограничении некоторой подгруппой G B .

Ссылки

• Фонтен, Жан-Марк (1994), « p Полустабильные -адические представления», в Фонтен, Жан-Марк (редактор), P-адические периоды , Asterisk, vol. 223, Париж: Математическое общество Франции, стр. 113–184, МР   1293969