Принцип минимакса Куранта

В математике принцип минимакса Куранта дает собственные значения вещественной симметричной матрицы . Он назван в честь Рихарда Куранта .

Введение

Принцип минимакса Куранта дает условие нахождения собственных значений вещественной симметричной матрицы. Принцип минимакса Куранта заключается в следующем:

Для любой вещественной симметричной A матрицы

$\lambda _{k}=\min \limits _{C}\max \limits _{{\|x\|=1},{Cx=0}}\langle Ax,x\rangle ,$

где $C$ есть ли какой-нибудь $(k-1)\times n$ матрица.

Обратите внимание, что вектор x является собственным вектором соответствующего собственного значения λ .

Принцип минимакса Куранта является результатом теоремы о максимуме, которая гласит, что для $q(x)=\langle Ax,x\rangle$, A — действительная симметричная матрица, наибольшее собственное значение определяется выражением $\lambda _{1}=\max _{\|x\|=1}q(x)=q(x_{1})$, где $x_{1}$ — соответствующий собственный вектор. Также (в теореме о максимуме) последующие собственные значения $\lambda _{k}$ и собственные векторы $x_{k}$ находятся по индукции и ортогональны друг другу; поэтому, $\lambda _{k}=\max q(x_{k})$ с $\langle x_{j},x_{k}\rangle =0,\ j<k$.

Принцип минимакса Куранта, как и принцип максимума, можно визуализировать, представив, что если || х || = 1 является гиперсферой , то матрица A деформирует эту гиперсферу в эллипсоид . Когда большая ось пересекающейся гиперплоскости максимальна — т. е. длина квадратичной формы q ( x ) максимальна — это собственный вектор, а его длина — собственное значение. Все остальные собственные векторы будут перпендикулярны этому.

Принцип минимакса также обобщается на собственные значения положительных самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах , где он обычно используется для изучения проблемы Штурма – Лиувилля .

См. также

• Теорема Мин-Макса
• Неравенство Макс-Мин
• коэффициент Рэлея

Ссылки

• Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (1989), Метод математической физики, Vol. Я , Wiley-Interscience, ISBN  0-471-50447-5 (Страницы 31–34; в большинстве учебников «метод максимума-минимума» обычно приписывают Рэлею и Ритцу , которые применили вариационное исчисление в теории звука.)
• Кинер, Джеймс П. Принципы прикладной математики: преобразование и приближение . Кембридж: Вествью Пресс, 2000. ISBN   0-7382-0129-4
• Хорн, Роджер; Джонсон, Чарльз (1985), Матричный анализ , издательство Кембриджского университета, стр. 179, ISBN  978-0-521-38632-6