Локально компактное пространство

В топологии и смежных разделах математики топологическое пространство называется локально компактным, если, грубо говоря, каждая малая часть пространства выглядит как малая часть компактного пространства . Точнее, это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет компактную окрестность .

В математическом анализе локально-компактные пространства, хаусдорфовы особый интерес представляют ; они сокращенно обозначаются как пространства LCH .

Формальное определение

Пусть X — топологическое пространство . Чаще всего X называется локально компактным, если каждая точка x из X имеет компактную окрестность , т. е. существует открытое множество U и компактное множество K такие, что $x\in U\subseteq K$.

Есть и другие общие определения: все они эквивалентны, если X — хаусдорфово пространство (или предрегулярное). они не эквивалентны Но в целом :

1. каждая точка X имеет компактную окрестность .

2. каждая точка X имеет замкнутую компактную окрестность.

2'. каждая точка X имеет относительно компактную окрестность.

2″. каждая точка X имеет локальную базу относительно компактных окрестностей.

3. каждая точка X имеет локальную базу компактных окрестностей.

4. каждая точка X имеет локальную базу замкнутых компактных окрестностей.

5. X хаусдорфово и удовлетворяет любому (или, что то же самое, всем) предыдущим условиям.

Логические отношения между условиями:

• Каждое условие влечет за собой (1).
• Условия (2), (2′), (2″) эквивалентны.
• Ни одно из условий (2), (3) не влечет за собой другое.
• Условие (4) влечет за собой (2) и (3).
• Компактность подразумевает условия (1) и (2), но не (3) или (4).

Условие (1), вероятно, является наиболее часто используемым определением, поскольку оно является наименее ограничительным, а остальные эквивалентны ему, когда X является Хаусдорфовым . Эта эквивалентность является следствием того, что компакты хаусдорфовых пространств замкнуты, а замкнутые подмножества компактов компактны. Пространства, удовлетворяющие (1), называются также слабо локально компактен , поскольку они удовлетворяют самому слабому из условий здесь.

Поскольку они определены в терминах относительно компактных множеств, пространства, удовлетворяющие (2), (2'), (2"), более конкретно можно назвать локально относительно компактными . Стин и Сибах называет (2), (2'), (2") сильно локально компактным в отличие от свойства (1), которое они называют локально компактным .

Пространства, удовлетворяющие условию (4), являются в точности локально компактные регулярные пространства. Действительно, такое пространство является регулярным, поскольку каждая точка имеет локальную базу замкнутых окрестностей. Обратно, пусть в регулярном локально-компактном пространстве существует точка $x$ имеет компактное окружение $K$. По регулярности, учитывая произвольную окрестность $U$ из $x$, там закрытый район $V$ из $x$ содержится в $K\cap U$ и $V$ компактно как замкнутое множество в компактном множестве.

Условие (5) используется, например, у Бурбаки . Любое пространство, локально компактное (в смысле условия (1)) и хаусдорфово, автоматически удовлетворяет всем указанным выше условиям. Поскольку в большинстве приложений локально компактные пространства также являются хаусдорфовыми, эти локально компактные хаусдорфовы пространства ( LCH ) будут пространствами, которым в первую очередь посвящена эта статья.

Примеры и контрпримеры

Компактные хаусдорфовые пространства

Каждый бикомпакт также локально компактен, и многие примеры бикомпактов можно найти в статье « Компактное пространство» .Здесь мы упомянем только:

• единичный интервал [0,1];
• Кантора множество ;
• куб Гильберта .

Локально компактные хаусдорфовы пространства, не являющиеся компактными.

• Евклидовы пространства R ^н (и, в частности, вещественная прямая R ) локально компактны как следствие теоремы Гейне–Бореля .
• Топологические многообразия обладают локальными свойствами евклидовых пространств и поэтому также локально компактны. Сюда входят даже непаракомпактные многообразия, такие как длинная линия .
• Все дискретные пространства локально компактны и хаусдорфовы (это не что иное, как нуль -мерные многообразия). Они компактны только в том случае, если они конечны.
• Все открытые или замкнутые подмножества локально компактного хаусдорфова пространства локально компактны в топологии подпространства . Это дает несколько примеров локально компактных подмножеств евклидовых пространств, таких как единичный круг (открытая или закрытая версия).
• Пространство Q _p -адических p чисел локально компактно, поскольку оно гомеоморфно канторову множеству минус одна точка. Таким образом, локально компактные пространства столь же полезны в p -адическом анализе, как и в классическом анализе .

Хаусдорфы пространства, не являющиеся локально компактными.

Как упоминалось в следующем разделе, если хаусдорфово пространство локально компактно, то оно также является тихоновским пространством . По этой причине примеры хаусдорфовых пространств, которые не могут быть локально компактными, поскольку они не являются тихоновскими пространствами, можно найти в статье, посвященной тихоновским пространствам .Но есть также примеры тихоновских пространств, которые не могут быть локально компактными, например:

• пространство Q рациональных чисел (наделенное топологией из R ), поскольку любая окрестность содержит последовательность Коши, соответствующую иррациональному числу, не имеющему сходящейся подпоследовательности в Q ;
• подпространство $\{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )$ из $\mathbf {R} ^{2}$, поскольку начало координат не имеет компактной окрестности;
• топология нижнего предела или топология верхнего предела на множестве R действительных чисел (полезна при изучении односторонних пределов );
• любое T ₀ , следовательно, Хаусдорф, топологическое векторное пространство является бесконечномерным которое , , например, бесконечномерное гильбертово пространство .

Первые два примера показывают, что подмножество локально компактного пространства не обязательно должно быть локально компактным, что контрастирует с открытым и закрытым подмножествами из предыдущего раздела.Последний пример контрастирует с евклидовыми пространствами из предыдущего раздела; более конкретно, топологическое векторное пространство Хаусдорфа локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно (в этом случае оно является евклидовым пространством).Этот пример также контрастирует с кубом Гильберта как примером компактного пространства; противоречия нет, поскольку куб не может быть окрестностью какой-либо точки гильбертова пространства.

Нехаусдорфовские примеры

• Одноточечная компактификация рациональных чисел Q компактна и, следовательно, локально компактна в смыслах (1) и (2), но не локально компактна в смыслах (3) и (4).
• Конкретная точечная топология на любом бесконечном множестве локально компактна в смысле (1) и (3), но не в смысле (2) или (4), поскольку замыканием любой окрестности является все пространство, которое некомпактно.
• Дизъюнктное объединение двух приведенных выше примеров локально компактно в смысле (1), но не в смысле (2), (3) или (4).
• Топология правого порядка на вещественной прямой локально компактна в смысле (1) и (3), но не в смысле (2) или (4), поскольку замыканием любой окрестности является все некомпактное пространство.
• Пространство Серпинского локально компактно в смыслах (1), (2) и (3), а также компактно, но оно не является хаусдорфовым или регулярным (или даже предрегулярным), поэтому оно не локально компактно в смысле (4) или ( 5). Дизъюнктное объединение счетного числа копий пространства Серпинского представляет собой некомпактное пространство, которое все еще локально компактно в смыслах (1), (2) и (3), но не (4) или (5).
• В более общем смысле топология исключенной точки локально компактна в смысле (1), (2) и (3) и компактна, но не локально компактна в смысле (4) или (5).
• Коконечная топология на бесконечном множестве локально компактна в смысле (1), (2) и (3), а также компактна, но она не является хаусдорфовой или регулярной, поэтому она не локально компактна в смысле (4) или ( 5).
• Индискретная топология на множестве, содержащем по крайней мере два элемента, локально компактна в смысле (1), (2), (3) и (4), а также компактна, но она не хаусдорфова, поэтому она не локально компактна в смысле (1), (2), (3) и (4). смысл (5).

Общие классы примеров

• Всякое пространство с топологией Александрова локально компактно в смысле (1) и (3).

Характеристики

Всякое локально компактное предрегулярное пространство на самом деле вполне регулярно . Отсюда следует, что всякое локально компактное хаусдорфово пространство является тихоновским пространством . Поскольку прямая регулярность является более привычным условием, чем предрегулярность (которая обычно более слабая) или полная регулярность (которая обычно более сильная), локально компактные предрегулярные пространства обычно называются в математической литературе локально компактными регулярными пространствами . Аналогично локально компактные тихоновские пространства обычно называют просто локально компактными хаусдорфовыми пространствами .

Всякое локально компактное регулярное пространство, в частности всякое локально компактное хаусдорфово пространство, является пространством Бэра . То есть справедлив вывод теоремы Бэра о категориях : внутренность всякого счетного объединения нигде не плотных подмножеств пуста.

Подпространство X X локально компактного хаусдорфова пространства Y локально компактно тогда и только тогда, когда X в локально замкнуто Y ( т. е. можно записать как теоретико-множественную разность двух замкнутых подмножеств Y ). В частности, каждое замкнутое множество и каждое открытое множество в локально компактном хаусдорфовом пространстве локально компактно. Кроме того, как следствие, плотное подпространство X локально компактного хаусдорфова пространства Y локально компактно тогда и только тогда, когда X открыто в Y . Более того, если подпространство X любого , вообще говоря , хаусдорфова пространства Y локально компактно, то X все равно должно быть локально замкнутым в Y , хотя обратное неверно.

Без гипотезы Хаусдорфа некоторые из этих результатов не работают с более слабыми понятиями локальной компактности. Каждое замкнутое множество в слабо локально компактном пространстве (= условие (1) в приведенных выше определениях) слабо локально компактно. Но не всякое открытое множество в слабо локально компактном пространстве является слабо локально компактным. Например, одноточечная компактификация $\mathbb {Q} ^{*}$ рациональных чисел $\mathbb {Q}$ компактно и, следовательно, слабо локально компактно. Но оно содержит $\mathbb {Q}$ как открытое множество, не являющееся слабо локально компактным.

Факторпространства локально компактных хаусдорфовых пространств компактно порождены .Обратно, каждое компактно порожденное хаусдорфово пространство является фактором некоторого локально компактного хаусдорфова пространства.

Для функций, определенных в локально компактном пространстве, локальная равномерная сходимость аналогична компактной сходимости .

Точка в бесконечности

В этом разделе исследуются компактификации локально компактных пространств. Каждое компактное пространство есть своя компактификация. Поэтому, чтобы избежать тривиальности, ниже предполагается, что пространство X некомпактно.

Поскольку каждое локально компактное хаусдорфово пространство X тихоновское, его можно вложить в компактное хаусдорфово пространство. $b(X)$ с использованием компактификации Стоуна-Чеха .Но на самом деле в локально компактном случае существует более простой метод; одноточечная компактификация вложит X в компактное хаусдорфово пространство. $a(X)$ всего лишь с одним дополнительным баллом.(Одноточечная компактификация может быть применена и к другим пространствам, но $a(X)$ будет хаусдорфовым тогда и только тогда, когда X локально компактно и хаусдорфово.)Таким образом, локально компактные хаусдорфовы пространства можно охарактеризовать как открытые подмножества компактных хаусдорфовых пространств.

Интуитивно, дополнительная точка в $a(X)$ можно представить как точку на бесконечности . находящуюся на бесконечности, следует рассматривать как лежащую вне всякого компактного подмножества X. Точку , Используя эту идею, многие интуитивные представления о стремлении к бесконечности можно сформулировать в локально компактных хаусдорфовых пространствах.Например, , что непрерывная действительная или комплекснозначная областью функция f с определения X говорят обращается в нуль на бесконечности , если для любого положительного числа e существует компактное подмножество K из X такое, что $|f(x)|<e$ всякий раз, когда точка x лежит вне K . имеет смысл для любого топологического пространства X. Это определение Если X локально компактен и хаусдорфов, то такими функциями являются в точности те функции, которые можно продолжить до непрерывной функции g при ее одноточечной компактификации. $a(X)=X\cup \{\infty \}$ где $g(\infty )=0.$

Представительство Гельфанда

Для локально компактного хаусдорфова пространства X множество $C_{0}(X)$ всех непрерывных комплекснозначных функций на X , обращающихся в нуль на бесконечности, является коммутативной С*-алгеброй . С*-алгебра изоморфна В самом деле, каждая коммутативная $C_{0}(X)$ для некоторого единственного ( с точностью до гомеоморфизма локально компактного хаусдорфова пространства X. ) Это показано с помощью представления Гельфанда .

Локально компактные группы

Понятие локальной компактности важно при изучении топологических групп главным образом потому, что каждая хаусдорфова локально компактная группа G несет естественные меры , называемые мерами Хаара , которые позволяют интегрировать измеримые функции, определенные на G .Мера Лебега на действительной линии $\mathbb {R}$ это частный случай этого.

Двойственная Понтрягину по топологическая абелева группа A локально компактна тогда и только тогда, когда A локально компактна.Точнее, двойственность Понтрягина определяет самодвойственность категории локально . компактных абелевых групп Изучение локально компактных абелевых групп является основой гармонического анализа — области, которая с тех пор распространилась на неабелевы локально компактные группы.

См. также

• Компактная группа - Топологическая группа с компактной топологией.
• Теорема Ф. Рисса
• Локально компактное поле
• Локально компактная квантовая группа – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группам. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Локально компактная группа - топологическая группа G, для которой базовая топология является локально компактной и хаусдорфовой, так что можно определить меру Хаара. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• σ-компактное пространство - объединение счетного числа компактных топологических пространств. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Ядро-компактное пространство

Ссылки

• Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-0-471-31716-6 .
• Келли, Джон (1975). Общая топология . Спрингер . ISBN  978-0387901251 .
• Манкрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN  978-0131816299 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-486-68735-3 . МР   0507446 .
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Аддисон-Уэсли . ISBN  978-0486434797 .